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简单的线性规划典型例题篇一：典型例题：简单的线性规划问题 典型例题 【例1】求不等式x1+y12表示的平面区域的面积. 【例2】某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?参考答案 例1： 【分析】依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积. 【解】x1+y12可化为或其平面区域如图：或或 面积S=44=8 【点拨】画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界. 例2： 【分析】弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解. 【解】设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么 z=252x+160y， 作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图 作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小. 观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求. 此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时， zmin=2522+1605=1304. 答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低. 【点拨】用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点. 篇二：不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析 线性规划讲义 【考纲说明】 （1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义； （2）掌握简单的二元线性规划问题的解法 （3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法； （4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题 （5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力 【知识梳理】 简单的线性规划问题 一、知识点 1. 目标函数: 是一个含有两个变 量 和 的 函数，称为目标函数 2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域. 3. 整点:坐标为整数的点叫做整点 4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决 5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划 二、疑难知识导析 线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线 2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域若 直 线 不 过 原点，通 常 选 择 原 点 代入检验 3. 平 移 直 线 k 时，直线必须经过可行域 4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点 5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解. 积储知识： 一 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=0 2. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B 0时，Ax0+By0+C 当B 0时，Ax0+By0+C 0 3. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B 0时，Ax0+By0+C 当B 0时，Ax0+By0+C 0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C) 0 2.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C) 0 二.二元一次不等式表示平面区域: 二元一次不等式Ax+By+C 0（或 0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不包括边界; 二元一次不等式Ax+By+C0（或0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界; 注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域 原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C 0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。 方法二：利用规律： 1.Ax+By+C 0,当B 0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）， 当B 0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）; 2.Ax+By+C 0,当B 0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下） 当B 0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。 四、线性规划的有关概念： 线性约束条件： 线性目标函数： 线性规划问题： 可行解、可行域和最优解： 【经典例题】 一建构数学 ?4x?y?10?4x?3y?20? 1问题：在约束条件?下，如何求目标函数P?2x?y的最大值？ ?x?0?y?0 首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域，如图（1）所示 其次，将目标函数P?2x?y变形为y?2x?P的形式，它表示一条直线，斜率为，且在y轴上的截距为P 平移直线y?2x?P，当它经过两直线4x?y?10与4x?3y?20的交点A(,5)时，直线在y轴上的截距最 54大，如图（2）所示 因此，当x? 555 ,y?5时，目标函数取得最大值2?5?7.5，即当甲、乙两种产品分别生产t和5t时，可 444 54 获得最大利润7.5万元 这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题其中(,5)使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的最优解对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决 说明：平移直线y?2x?P时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点） 二数学运用 ?x?4y?3? 例1设z?2x?y，式中变量x,y满足条件?3x?5y?25，求z的最大值和最小值 ?x?1? 解：由题意，变量x,y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当x?0,y?0时，z?2x?y?0，即点(0,0)在直线l0：2x?y?0上， 作一组平行于l0的直线l：2x?y?t，t?R， 可知：当l在l0的右上方时，直线l上的点(x,y) 满足2x?y?0，即t?0， 而且，直线l往右平移时，t随之增大 由图象可知， 当直线l经过点A(5,2)时，对应的t最大， 当直线l经过点B(1,1)时，对应的t最小， 所以，zmax?2?5?2?12，zmin?2?1?1?3 y x?1 C A x?4y?3?0 O 3x?5y?25?0 x ?x?4y?3? 例2设z?6x?10y，式中x,y满足条件?3x?5y?25，求z的最大值和最小值 ?x?1? 解：由引例可知：直线l0与AC所在直线平行， 则由引例的解题过程知， 当l与AC所在直线3x?5y?25?0重合时z最大，此时满足条件的最优解有无数多个， 当l经过点B(1,1)时，对应z最小， zmax?6x?10y?50，zmin?6?1?10?1?16?2x?y?3?0? 例3已知x,y满足不等式组?2x?3y?6?0，求使x?y取最大值的整数x,y ?3x?5y?15?0? 解：不等式组的解集为三直线l1：2x?y?3?0，l2：2x?3y?6?0，l3：3x?5y?15?0所围成的三角形内部 y（不含边界），设l1与l2，l1与l3，l2与l3交点分别为A,B,C，则A,B,C坐标分别为Al1(8,4)，B(0,?3)， 7512C(,?)， l3 A 1919 作一组平行线l：x?y?t平行于l0：x?y?0， 当l往l0右上方移动时，t随之增大， 153 O C l2 x 63 当l过C点时x?y最大为，但不是整数解， 19 75 又由0?x?知x可取1,2,3， 19 当x?1时，代入原不等式组得y?2， x?y?1； 当x?2时，得y?0或?1， x?y?2或1； 当x?3时，y?1， x?y?2， ?x?2?x?3 故x?y的最大整数解为?或? ?y?0?y?1 例4投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？ 解：设生产A产品x百吨，生产B产品y米，利润为S百万元， ?2x?3y?14?2x?y?9? 则约束条件为?，目标函数为S?3x?2y ?x?0?y?0 作出可行域（如图）， 3S3S3S x?，它表示斜率为?，在y轴上截距为的直线，平移直线y?x?，当它经 222222135S135 过直线与2x?y?9和2x?3y?14的交点(,)时，最大，也即S最大此时，S?3?2?14.75 42242 将目标函数变形为y?因此，生产A产品3.25百吨，生产B产品2.5米，利润最大为1475万元 说明：（1）解线性规划应用题的一般步骤：设出未知数；列出约束条件（要注意考虑数据、变量、不等式的实际 含义及计量单位的统一）；建立目标函数；求最优解 一、对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最 佳位置一般通过这个凸多边形的顶点 三、画区域 1. 用不等式表示以A(1,4)，B(?3,0)，C(?2,?2)为顶点的三角形内部的平面区域 分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。 解：直线AB的斜率为：kAB?4?0?1，其方程为y?x?3 1?(?3)可求得直线BC的方程为y?2x?6直线AC的方程为y?2x?2 ?ABC的内部在不等式x?y?3?0所表示平面区域内，同时在不等式 同时又在不等式2x?y?2?0所表示2x?y?6?0所表示的平面区域内， 区域内（如图） ?x?y?3?0,所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组?2x?y?6?0,表示 ?2x?y?2?0? 的平面 说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线 2 画出2x?3?y?3表示的区域，并求所有的正整数解(x,y) ?y?2x?3, 解：原不等式等价于?而求正整数解则意味着x，y还有限制条件，即求 y?3.?x?0,y?0, ?x?z,y?z,? ? ?y?2x?3,?y?3. 依照二元一次不等式表示的平面区域， 知2x?3?y?3表示的区域如下图： 对于2x?3?y?3的正整数解，容易求 得，在其区域内的整数解为 (1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3) 3设x?0，y?0，z?0；p?3x?y?2z，q?x?2y?4z，x?y?z?1，用图表示出点(p,q)的范围 分析：题目中的p，q与x，y，z是线性关系 可借助于x，y，z的范围确定(p,q)的范围 1?x?(8?q?6p), ?3x?y?2z?p,?27 ? 解：由?得 1?x?2y?4z?q,?(14?5q?3p),?y? ?x?y?z?1,27? 1?z?(5?4p?3q),?27?篇三：简单的线性规划典型例题精析(二) 典例剖析 ?5x?3y?15?例1求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件?y?x?1 ?x?5y?3? ?5x?3y?15?【解】由不等式组?y?x?1 ?x?5y?3? 作出可行区域，如图726所示的阴影部分 目标函数为z=3x+5y, 作直线l:3x+5y=t(tR) 当直线l在l0的右上方时，l上的点(x,y)满足3x+5y0，即t0，而且，直线l向右平移时，t随之增大，在可行域内以经过点A(35,)的直线l1所对应的t最大 22 类似地，在可行域内，以经过B(2,1)的直线l2所对应的t最小 zmax35?3?5?17,zmin?3?(?2)?5?(?1)?11 22 【点评】正确地作出不等式组表示的平面区域(可行域)，再由线性目标函数作出一组平行线考查最值，是解线性规划问题的基本步骤 例2某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨;生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大? 【分析】将已知数据列成下表：?2x?y?300,?x?2y?250,?解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，那么? ?x?0, ?y?0; z=600x+900y. 作出以上不等式组所表示的平面区域(如图727)，即 可行域 作直线l:600x+900y=0，即直线l:2x+3y=0,把直线l向右 上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原 点距离最大，此时z=600x+900y取最大值解方程组 ?2x?y?300350200,得M的坐标为x=,y=. ?33?x?2y?250 【答】应生产甲种棉纱350200吨，乙种棉纱吨，能33 使利润总额达到最大 【点评】