函数的单调性的学习

1 / 18 函数的单调性的学习 函数的单调性的学习 函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数定义域、值域、比较两数大小、不等式的证明等具体问题中均需用到函数的单调性；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这部分内容中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学学习，学好函数的单调性对我们学好高中数学有很大的帮助。 在这部分内容中主要应该掌握以下几点： 增函数 与减函数的定义 定义：对于函数的定义域 D 内的某个区间上的任意两个自变量的值 ,. 若当时，都有 ,则说在这个区间上是增函数（如图 1）； 若当时，都有 ,则说在这个区间上是减函数（如图 2） . 说明：（ 1）增函数描述的是随的增大而增大，函数图像从左到右是呈上升的；减函数描述的是随的增大而减少，函数图像从左到右是呈下降的。 （ 2）增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较大的函数值、较小的自变量对应较小的函数值。即2 / 18 “ 大对大、小对小 ” ；减函数在相应区间上较大的 自变量对应较小的函数值、较小的自变量对应较大的函数值。即 “ 大对小、小对大 ” 。 （ 3）理解本定义应抓住的几个关键词语： 给定的 “ 某个区间 ” ：增函数、减函数是相对于相应区间而言的，有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数 .离开相应区间就根本谈不上增减性。如二次函数，在区间上是减函数，而在区间上是增函数，所以不能说是增函数或减函数。因此，交代某个函数的增减性时，一定必须标明是在哪个区间上是增函数或是减函数。 属于该区间的 “ 任意两个 ” 和 “ 都有 ” ：属于该区间，即是两个 自变量都必须取自给定区间，不能从区间外取。若区间是闭的，端点可以取也可以不取，因为对于端点，相应的函数值只有唯一的一个，无所谓是增还是减。 “ 任意两个 ” 是指不能取特定的值来判断，而 “ 都有 ”则是说只要，就必须都小于或都大于。 如在区间上，如果取定两个特定的值，显然，而，有。若由此判断在区间是减函数那就错了。 因此，一个函数在某个区间是增函数或减函数，不能由特定的两个点来判断，必须严格依旧定义：在给定区间内任取两个，根据它们的函数值和的大小来判断其增减性。反之，若已知函数在某 个区间上是增函数或减函数，那么，我3 / 18 们就可以通过自变量的大小去判断函数值的大小，也可以由函数值的大小去判断自变量的大小。即一般成立则特殊成立，反之特殊成立则一般不定成立，这是辨证法中一般与特殊的关系。 单调性与单调区间 若函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间 .此时也说函数是这一区间上的单调函数 . 在单调区间上，增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的 . 说明：（ 1）函数的单 调区间是其定义域的子集； （ 2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图 3 中，在 ,那样的特定位置上，虽然使得，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数； （ 3）除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的 “ 或 ” 改为“ 或 ” 即可； （ 4）定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延： 一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化 相反时是单调递减 . 几何特征：在自变量取值区4 / 18 间上，若单调函数的函数图象从左到右上升，则为增函数，函数图象从左到右下降则为减函数 . 例 1：图 4 是定义在闭区间上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数 . 解：函数的单调区间有，其中在区间，上是减函数，在区间，上是增函数 . 说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的函数，对于闭区间内的 任意都有意义，那么只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；但若的取值函数无意义时，则单调区间不包括该点 . 3单调性的证明 例 2 证明函数在上是减函数 . 证明：设，是上的任意两个实数，且， 则， 由，得， 又由 ,得 ,于是， 即 . 函数在上是减函数 . 5 / 18 说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的 一种常用数学方法 . 根据定义证明函数单调性的一般步骤是： （ 1）设，是给定区间内的任意两个值，且； （ 2）作差，并将此差式变形（要注意变形的程度）； （ 3）判断的正负（要注意说理的充分性）； （ 4）根据的符号确定其增减性 . 4复合函数的单调性 复合函数单调性的根据是：设， ,都是单调函数，则在上也是单调函数 . （ 1）若是上的增函数，则的增减性与的增减性相同； 若是上的减函数，则的增减性与的增减性相反 . 复 合函数单调性的规律见下表： y=f(u) 增 减 u=g(x) 增 减 增 减 6 / 18 y=fg(x) 增 减 减 增 以上规律还可总结为： “ 同向得增，异向得减 ” 或 “ 同增异减 ”. 例 3：已知函数在 R 上是增函数，在上是减函数，求证：在上是减函数 . 证明：设， ,且， 在上是减函数， , 又函数在 R 上是增函数，而， , 在上是减函数 . 关于函数的单调性，以后还会经常碰到，以上仅是刚开始学习函数单调性应掌握的内容。 函数的单调性的学习 魏姣林 函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数定义域、值域、比较两数大小、不等式的证明等具体问题中均需用到函数的单调性；在历年的高考中7 / 18 对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这部分内容中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学学习 ，学好函数的单调性对我们学好高中数学有很大的帮助。 在这部分内容中主要应该掌握以下几点： 增函数与减函数的定义 定义：对于函数的定义域 D 内的某个区间上的任意两个自变量的值 ,. 若当时，都有 ,则说在这个区间上是增函数（如图 1）； 若当时，都有 ,则说在这个区间上是减函数（如图 2） . 说明：（ 1）增函数描述的是随的增大而增大，函数图像从左到右是呈上升的；减函数描述的是随的增大而减少，函数图像从左到右是呈下降的。 （ 2）增函数就其本质而言是 在相应区间上较大的自变量对应较大的函数值、较小的自变量对应较小的函数值。即“ 大对大、小对小 ” ；减函数在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值、较小的自变量对应较大的函数值。即 “ 大对小、小对大 ” 。 （ 3）理解本定义应抓住的几个关键词语： 给定的 “ 某个区间 ” ：增函数、减函数是相对于相应区间而言的，有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数 .离开相应区间就根本谈不上增减性。如8 / 18 二次函数，在区间上是减函数，而在区间上是增函数，所以不能说是增函数或减函数。因此，交代某个函数的增减性时 ，一定必须标明是在哪个区间上是增函数或是减函数。 属于该区间的 “ 任意两个 ” 和 “ 都有 ” ：属于该区间，即是两个自变量都必须取自给定区间，不能从区间外取。若区间是闭的，端点可以取也可以不取，因为对于端点，相应的函数值只有唯一的一个，无所谓是增还是减。 “ 任意两个 ” 是指不能取特定的值来判断，而 “ 都有 ”则是说只要，就必须都小于或都大于。 如在区间上，如果取定两个特定的值，显然，而，有。若由此判断在区间是减函数那就错了。 因此，一个函数在某个区间是增函数或减函数，不能由特定 的两个点来判断，必须严格依旧定义：在给定区间内任取两个，根据它们的函数值和的大小来判断其增减性。反之，若已知函数在某个区间上是增函数或减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判断函数值的大小，也可以由函数值的大小去判断自变量的大小。即一般成立则特殊成立，反之特殊成立则一般不定成立，这是辨证法中一般与特殊的关系。 单调性与单调区间 若函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 y=f(x)9 / 18 的单调区间 .此时也说函数是这一区间上的单调函数 . 在单调区间上，增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的 . 说明：（ 1）函数的单调区间是其定义域的子集； （ 2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图 3 中，在 ,那样的特定位置上，虽然使得，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数； （ 3）除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的 “ 或 ” 改为“ 或 ” 即可； （ 4）定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延： 一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相反时是单调递减 . 几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的函数图象从左到右上升，则为增函数，函数图象从左到右下降则为减函数 . 例 1：图 4 是定义在闭区间上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数 . 解：函数的单调区间有，其中在区间，上是减函数，在区间，上是增函数 . 10 / 18 说明：函数 的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的函数，对于闭区间内的任意都有意义，那么只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；但若的取值函数无意义时，则单调区间不包括该点 . 3单调性的证明 例 2 证明函数在上是减函数 . 证明：设，是上的任意两个实数，且， 则， 由，得， 又由 ,得 ,于是， 即 . 函数在上是减函数 . 说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法 . 根据定义证明函数单调性的一般步骤是： （ 1）设，是给定区间内的任意两个值，且； （ 2）作差，并将此差式变形（要注意变形的程度）； （ 3）判断的正负（要注意说理的充分性）； 11 / 18 （ 4）根据的符号确定其增减性 . 4复合函数的单调性 复合函数单调性的根据是：设， ,都是单调 函数，则在上也是单调函数 . （ 1）若是上的增函数，则的增减性与的增减性相同； 若是上的减函数，则的增减性与的增减性相反 . 复合函数单调性的规律见下表： y=f(u) 增 减 u=g(x) 增 减 增 减 y=fg(x) 增 减 减 增 以上规律还可总结为： “ 同向得增，异向得减 ” 或 “ 同增异减 ”. 12 / 18 例 3：已知 函数在 R 上是增函数，在上是减函数，求证：在上是减函数 . 证明：设， ,且， 在上是减函数， , 又函数在 R 上是增函数，而， , 在上是减函数 . 关于函数的单调性，以后还会经常碰到，以上仅是刚开始学习函数单调性应掌握的内容。 函数的单调性的学习 魏姣林 函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数定义域、值域、比较两数大小、不等式的证明等具体问题 中均需用到函数的单调性；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这部分内容中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学学习，学好函数的单调性对我们学好高中数学有很大的帮助。 在这部分内容中主要应该掌握以下几点： 增函数与减函数的定义 定义：对于函数的定义域 D 内的某个区间上的任意两个13 / 18 自变量的值 ,. 若当时，都有 ,则说在这个区间上是增函数（如图 1）； 若当时，都有 ,则说在这个区间上是减函数（如图 2） . 说明：（ 1）增函数描述的是随的增大而增大，函数图像从左到右是呈上升的；减函数描述的是随的增大而减少，函数图像从左到右是呈下降的。 （ 2）增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较大的函数值、较小的自变量对应较小的函数值。即“ 大对大、小对小 ” ；减函数在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值、较小的自变量对应较大的函数值。即 “ 大对小、小对大 ” 。 （ 3）理解本定义应抓住的几个关键词语： 给定的 “ 某个区间 ” ：增函数、减函数是相对于相应区间而言的，有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数 .离开相应区间就根本谈不上增减性。如二次函数，在区间上是减函数，而在区间上是增函数，所以不能说是增函数或减函数。因此，交代某个函数的增减性时，一定必须标明是在哪个区间上是增函数或是减函数。 属于该区间的 “ 任意两个 ” 和 “ 都有 ” ：属于该区间，即是两个自变量都必须取自给定区间，不能从区间外取。若区间是闭的，端点可以取也可以不取，因为对于端点，相应的函数值只有唯一的一个，无所谓是增还是减。 14 / 18 “ 任意两个 ” 是指不能取特定的值来判断，而 “ 都有 ”则是说只要，就必须都小于或都大于。 如在区间上，如果取定两个特定的值，显然，而，有。若由此判断在区间是减函数那就错了。 因此，一个函数在某个区间是增函数或减函数，不能由特定的两个点来判断，必须严格依旧定义：在给定区间内任取两个，根据它们的函数值和的大小来判断其增减性。反之，若已知函数在某个区间上是增函数或减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判断函数值的大小，也可以由函数值的大小去判断自变量的大小。即一般成立则特殊成立，反之特殊成立则一般不定成立，这是辨证法中一般与特殊的关系。 单调性与单调区间 若函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间 .此时也说函数是这一区间上的单调函数 . 在单调区间上，增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的 . 说明：（ 1）函数的单调区间是其定义域的子集； （ 2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图 3 中，在 ,那样的特定位置上，虽然使得，但显然此图象15 / 18 表示的函数不是一个单调函数； （ 3）除 了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的 “ 或 ” 改为“ 或 ” 即可； （ 4）定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延： 一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相反时是单调递减 . 几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的函数图象从左到右上升，则为增函数，函数图象从左到右下降则为减函数 . 例 1：图 4 是定义在闭区间上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数 还是减函数 . 解：函数的单调区间有，其中在区间，上是减函数，在区间，上是增函数 . 说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数