初三数学与圆有关的位置关系总复习

1 / 18 初三数学与圆有关的位置关系总复习 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第 25讲 与圆有关的位置关系 锁定目标考试 考标要求考查角度 1.探索并了解点和圆、直线和圆以及圆和圆的位置关系 2知道三角形的内心和外心 3了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质，会过圆上一点画圆的切线 . 直线与圆位置关系的判定是中考考查的热点，通常出现在选择题中考查的重点是切线的性质和判定，题型多样，常与三角形、四边形、相似、函数等知识结合在一起综合考查圆与圆位置关系的判 定一般借助两圆公共点的个数或利用两圆半径与圆心距的关系来判定，通常出现在选择题、填空题中 . 导学必备知识 知识梳理 一、点与圆的位置关系 1点和圆的位置关系 点在圆 _，点在圆 _，点在圆 _ 2点和圆的位置关系的判断 如果圆的半径是 r，点到圆心的距离为 d，那么点在圆外_；点在圆上 _；点在圆内 _. 2 / 18 3过三点的圆 (1)经过三点的圆： 经过在同一直线上的三点不能作圆； 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个 圆 (2)三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的 _；这个三角形叫做这个圆的内接三角形 二、直线与圆的位置关系 1直线和圆的位置关系 _、 _、 _. 2概念 (1)直线和圆有两个交点，这时我们就说这条直线和圆_，这条直线叫做圆的 _； (2)直线和圆有唯一公共点，这时我们说这条直线和圆 _，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点； (3)直线和圆没有公共点，这时我们 说这条直线和圆 _ 3直线和圆的位置关系的判断 如果圆的半径是 r，直线 l 到圆心的距离为 d，那么直线 l和 o 相交 _；直线 l 和 o 相切 _；直线 l和 o 相离 _. 三、切线的判定和性质 1切线的判定方法 (1)经过半径的 _并且垂直于这条半径的直线是圆的3 / 18 切线； (2)到圆心的距离 _半径的直线是圆的切线 2切线的性质 圆的切线垂直于经过 _的半径 3切线长定理 过圆外一点可以引圆的两条切线，它 们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角 四、三角形 (多边形 )的内切圆 1与三角形 (多边形 )内切圆有关的一些概念 (1)和三角形各边都 _的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 _，这个三角形叫做圆的 _三角形； (2)和多边形各边都 _的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形 2三角形的内心的性质 三角形的内心是三角形三条 _的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部 五、圆与圆的位置关系 1概念 两圆外离：两个圆 _公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的 _； 两圆外切：两个圆有 _的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的4 / 18 _； 两圆相交：两个圆有 _公共点； 两圆内切：两个圆有 _的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的 _； 两圆内含：两个圆_公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的 _ 2圆与圆位置关系的判断 设两圆半径分别为 R 和 r，圆心距为 o1o2 D两圆外离 d _；两圆外切 d _；两圆相交 _ d_(Rr) ；两圆内切 d _(R r)；两圆内含_d _(R r) 六、两圆位置关系的相关性质 1两圆相切、相交的有关性质 (1)相切两圆的连心线必经过 _ (2)相交两圆的连心线垂直平分 _ 2两圆位置关系中常作的辅助线 (1)两圆相交，可作公共弦 (2)两圆相切，可作公切线 自主测试 1在数轴上，点 A 所表示的实数为 3，点 B 所表示的实数为 a， A 的半径为 2.下列说法中不正确的是 ( ) A当 a 5 时，点 B 在 A 内 B当 1 a 5 时，点 B 在 A内 c当 a 1 时，点 B 在 A 外 D当 a 5 时，点 B 在 A 外 5 / 18 2 (XX 江苏无锡 )已知 o 的半径为 2，直线 l 上有一点 P满足 Po 2，则直线 l 与 o 的位置关系是 ( ) A相切 B相离 c相离或相切 D相切或相交 3 (XX湖北恩施 )如图，两个同心圆的半径分别为 4cm和 5cm，大圆的一条弦 AB 与小圆相切，则弦 AB的长为 ( ) A 3cmB 4cmc 6cmD 8cm 4如图，国际奥委会会 旗上的图案由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有 ( ) A内切、相交 B外离、相交 c外切、外离 D外离、内切 5 (XX 四川乐山 )o1 的半径为 3 厘米， o2 的半径为 2厘米，圆心距 o1o2 5 厘米，这两圆的位置关系是 ( ) A内含 B内切 c相交 D外切 6如图，正三角形的内切圆半径为 1，那么这个正三角形的边长为 _ 7 (XX山东济宁 )如图， AB是 o 的直径， Ac是弦， oDAc于点 D，过 A 作 o 的切线 AP， AP与 oD的延长线交于点 P，连接 Pc， Bc 6 / 18 (1)猜想：线段 oD 与 Bc 有何数量和位置关系，并证明你的结论； (2)求证： Pc是 o 的切线 探究重难方法 考点一、点与圆的位置关系 【例 1】矩形 ABcD 中， AB 8， Bc 35，点 P 在边 AB 上，且 BP 3AP，如果圆 P 是以点 P 为圆心， PD为半径的圆，那么下列判断正确的是 ( ) A点 B， c 均在圆 P 外 B点 B 在圆 P 外、点 c 在圆 P 内 c点 B 在圆 P 内、点 c 在圆 P 外 D点 B， c 均在圆 P 内 解析：画出矩形后求解出 DP 的长度即圆的半径，然后求出BP， cP 的长度与 DP 的长度 作比较就可以发现答案在RtADP 中， DP AD2 AP2 7，在 RtBcP 中， BP 6， Pc Bc2 BP2 9. Pc DP， BP DP， 点 B 在圆 P 内，点 c 在圆 P 外 答案： c 方法总结解答这类题目的关键是运用数形结合的思想，将点与圆的图形位置关系转化为确定点到圆心的距离与半径之间的数量关系 触类旁通 1若 o 的半径为 5cm，点 A到圆心 o的距离为 4cm，那么点 A 与 o 的位置关系是 ( ) A点 A 在圆外 B点 A 在圆上 c点 A 在圆内 D不能确定 7 / 18 考点二、切线的性质与判定 【例 2】如图 所示， Ac为 o 的直径且 PAAc ， Bc 是 o 的一条弦，直线 PB 交直线 Ac于点 D， DBDP DcDo 23. (1)求证：直线 PB是 o 的切线； (2)求 cosBcA 的值 分析： (1)连接 oB， oP，由 DBDP DcDo 23，且 D D ，根据三角形相似的判定定理得到 BDcPDo ，可得到BcoP ，易证得 BoPAoP ，则 PBo PAo 90 ； (2)设 PB a，则 BD 2a，根据切线长定理得到 PA PB a，根据勾股定理得到 AD 22a，又 BcoP ，得到 Dc 2co，得到 Dc cA 1222a 2a，则 oA 22a，利用勾股定理求出oP，然后根据余弦函数的定义即可求出 cosBcA cosPoA的值 解： (1)证明：连接 oB， oP， DBDP DcDo 23，且 D D ， BDcPDo ， DBc DPo ， BcoP ， Bco PoA ， cBo BoP. oB oc， ocB cBo ， BoP PoA 又 oB oA， oP oP， 8 / 18 BoPAoP ， PBo PAo. 又 PAAc ， PAo 90 ， PBo 90 ， 直线 PB是 o 的切线 (2)由 (1)知 Bco PoA ，设 PB a，则 BD 2a， 又 PA PB a， AD DP2 PA2 22A 又 BcoP ， Dc 2co， Dc cA 12AD 1222a 2a， oA 22a， oP oA2 PA2 22a2 a2 62a， cosBcA cosPoA oAoP 33. 方法总结 1.切线的常用判定方法有两种：一是用圆心到直线的距离等于圆的半径来说明直线是圆的切线；二是用经过半径的外端且垂直于这条 半径来说明直线是圆的切线当被说明的直线与圆的公共点没有给出时，用方法一；当圆与直线的公共点已经给出时，常用方法二说明 2利用切线的性质时，常连接切点和圆心，构造直角 触类旁通 2 如图， AD是 o 的弦， AB经过圆心 o，交 o 于点 c， DAB B 30. (1)直线 BD是否与 o 相切？为什么？ (2)连接 cD，若 cD 5，求 AB的长 考点三、三角形的内切圆 【例 3】如图，在 RtABc 中， c=90 ， Ac=6， Bc=8.则9 / 18 ABc 的内切圆半径 r=_. 解析：在 Rt ABc中， AB Ac2 Bc2 62 82 10. SAcB 12AcBc 1268 24， r 2Sa b c 486 8 10 2. 答案： 2 方法总结三角形的内切圆半径 r 2Sa b c，其中 S 是三角形面积， a， b， c 是三角形三边长 触类旁通 3 如图所示， o 是 ABc 的内切圆，切点分别是D， E， F，已知 A=100 ， c=30 ，则 DFE 的度数是 ( ) A 55B 60c 65D 70 考点四、圆与圆的位置关系 【例 4】在 ABc 中， c 90 ， Ac 3cm， Bc 4cm，若 A ，B 的半径分别为 1cm,4cm，则 A ， B 的位置关系是 ( ) A外切 B内切 c相交 D外离 解析：如图所示，由勾股定理可得 AB Ac2 Bc2 32 42 5(cm)， A ， B 的半径分别为 1cm,4cm， 圆心距 d R r， A ， B 的位置关系是外切 答案： A 10 / 18 方法总结圆和圆的位置关系按公共点的个数可分为相离、相切和相交；两圆无公共点则相离，有一个公共点则相切；有两个公共点则相交其中相离包括内含和外离，相切包括外切和内切，解答时 ，只要通过两圆的半径和或差与圆心距比较即可 触类旁通 4 若两圆相切，圆心距是 7，其中一个圆的半径为10，则另一个圆的半径为 _ 品鉴经典考题 1 (XX 湖南常德 )若两圆的半径分别为 2 和 4，且圆心距为 7，则两圆的位置关系为 ( ) A外切 B内切 c外离 D相交 2 (XX 湖南怀化 )如图，点 P 是 o 外一点， PA 是 o 的切线，切点为 A， o 的半径 oA 2cm， P 30 ，则 Po_cm. 3 (XX湖南湘潭 )如图， ABc 的一边 AB是 o 的直径 ，请你添加一个条件，使 Bc 是 o 的切线，你所添加的条件为_ 4.(XX湖南株洲 )如图，已知 AD为 o 的直径， B 为 AD延长线上一点， Bc与 o 切于 c 点， A 30. 11 / 18 求证： (1)BD cD； (2)AoccDB 5.(XX湖南常德 )如图，已知 AB Ac， BAc 120 ，在 Bc上取一点 o，以 o 为圆心， oB 为半径作圆，且 o 过点 A，过点 A 作 ADBc 交 o 于点 D 求证： (1)Ac是 o 的切线； (2)四边形 BoAD是菱形 研习预测试题 1 如图，在平面直角坐标系中，过格点 A， B， c 作一圆弧，点 B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( ) A点 (0,3)B点 (2,3)c点 (5,1)D点 (6,1) 2如图， AB为 o 的直径， PD 切 o 于点 c，交 AB的延长线于 D，且 co cD，则 PcA ( ) A 30B 45c 60D 3如图， o 的半径为 2，点 o 到直线 l 的距离为 3，点 P是直线 l 上的一个动点， PB切 o 于点 B，则 PB 的最小值是( ) A 13B 5c 3D 2 12 / 18 4两圆的半径分别为 3 和 7， 圆心距为 7，则两圆的位置关系是 ( ) A内切 B相交 c外切 D外离 5两圆的圆心坐标分别是 (3， 0)和 (0,1)，它们的半径分别是 3 和 5，则这两个圆的位置关系是 ( ) A相离 B相交 c外切 D内切 6如图， AcB 60 ，半径为 1cm的 o 切 Bc于点 c，若将 o 在 cB 上向右滚动，则当滚动到 o 与 cA 相切时，圆心 o 移动的水平距离是 _cm. 7如图，直线 AB与半径为 2 的 o 相切于点 c， D 是 o 上一点，且 EDc 30 ，弦 EFAB ，则 EF的长度为 _ 8如图所示， AB是 o 的直径，以 oA为直径的 o1 与 o的弦 Ac相交于 D， DEoc ，垂足为 E. (1)求证： AD Dc； (2)求证： DE是 o1 的切线； (3)如果 oE Ec，请判断四边形 o1oED是什么四边形，并证明你的结论 参考答案 【知识梳理】 13 / 18 一、 1.外 上 内 2 dr d r dr 3 (2)外心 二、 1.相离 相切 相交 2 (1)相交 割线 (2)相切 (3)相离 3 dr 三、 1.(1)外端 (2)等于 2.切点 四、 1.(1)相切 内心 外切 (2)相切 2角平分线 五、 1. 没有 外部 唯一 外部 两个 唯一 内部 没有 内部 2 R r R r R r R r R r0 R r 六、 1.(1)切点 (2)公共弦 导学必备知识 自主测试 1 A 2 D 因为 o 的半径为 2， Po 2，则直线 l 与 o 至少有一个交点，则直线 l 与 o 的位置关系是相切或相交 3 c 设切点为 E，连接 oA， oE.在 RtoAE 中， AE 5242 3(cm)，所以 AB 6cm. 4 B 7解： (1)oDBc ， oD 12Bc. 14 / 18 证明： oDAc ， AD Dc. AB 是 o 的直径， oA oB， BcAc ， oD 是 ABc 的中位线， oDBc ， oD 12Bc. (2)证明：连接 oc.设 oP与 o 交于点 E，连接 AE， cE. oDAc ， oD经过圆心 o， ，即 AoE coE. 在 oAP 和 ocP 中， oA oc， oP oP， oAPocP ， ocP oAP. PA 是 o 的切线， oAP 90 ， ocP 90 ，即 ocPc.Pc 是 o 的切线 探究考点方法 触类旁通 触类旁通 2.分析： (1)连接 oD，证明 oDB 90 即可； (2)利用 30 所对的直角边等于斜边的一半求得 Ac，再证 BccD 5. 解： (1)直线 BD与 o 相切 理由如下： 如图，连接 oD， 15 / 18 oDA=DAB=B=30 ， oDB 180 oDA DAB B 180 30 30 30 90 ， 即 oDBD. 直线 BD与 o 相切 (2)由 (1)知， oDA DAB 30 ， DoB oDA DAB 60. 又 oc oD， Doc 是等边三角形 oA oD cD 5. 又 B 30 ， oDB 90 ， oB 2oD 10. AB oA oB 5 10 15. 触类旁通 A 100 ， c 30 ， B 180 A c 50. oDAB ， oEBc ， DoE 180 B 130. DFE 12DoE 65. 触类旁通或 17 由题意知两圆相内切，则两圆半径、圆心距的关系为 d R r，即 |10 r| 7，所以 r 3 或 17. 品鉴经典考题 1 c 2 4 6 7， 两圆外离 2 4 PA 是 o 的切线， oAP 90. P 30 ， 16 / 18 Po 2oA 22 4(cm) 3 ABBc 根据切线的判定方法， Bc已经过半径的外端，所以应添加 ABBc. 4证明： (1)AD 为 o 的直径， AcD 90. 又 A 30 ， oA oc oD， Aco 30 ， oDc ocD 60. 又 Bc 与 o 切于点 c， ocB 90.BcD 30. B 30.B cD B.BD cD. (