高观点下的初等几何问题的研究

高观点下的初等几何问题的研究数学系 高秀娟一 公理法的几何学一般说来，数学的公理法就是选取若干个不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的对基本概念加以制约的若干规定（公理）作为出发点，再以严格的逻辑推演使某一数学分支成为演绎系统的一种方法。1.欧氏几何以欧几里得（古希腊最伟大的一位几何学家，公元前330-275年）平行公理为基础的几何学，称为欧几里得几何，简称欧氏几何。我国明代徐光启翻译了几何原本，并将Geometry一词译为几何学。几何原本的基本结构是定义，公设和公理的系统，其中的五条公设如下：1.从每个点到每个别的点必定可以引直线；2.每条直线都可以无限延长；3.以任意点为中心可以用任意半径作圆周；4.所有的直角都相等；5.若一条直线与另外两条直线相交，当有一侧的两个同侧内角之和小于两直角时，则这两条直线就在这侧相交。欧几里得到几何原本是历史上第一部几何学著作，但是从现代教学观点来看，它的几何逻辑结构在严谨方面还存在着许多缺陷。所以，在欧几里德以后长达两千年以上的时间里，数学家们都注意到并且试图消除几何原本中在逻辑上存在的缺陷。欧几里得几何原本中的第五公设的试证，引起了人们的极大关注。原因是前四个公设含义简明，而第五个叙述比较复杂，而且在几何原本里使用较晚，这样就引起人们对它的怀疑。恰恰是在对第五公设的漫长的推证过程中，推导出了一系列等价命题，并且最终导致了非欧几里德几何学的发现和现代几何公里法定建立。在重新建立几何学基础结构的工作中，最有成就的是希尔伯特的著作几何基础，他在著作里提出了欧氏几何完备的公理系统，从这个系统可以用逻辑推导出欧氏几何的全部内容。2.非欧几何在证明第五公设的漫长努力过程中，问题其实并未得到根本解决。于是，俄国数学家罗巴切夫斯基（1792-1856）在试证过程中，否定了第五公设的等价命题“在一平面上，通过已知直线外一点，最多能作一条直线与已知直线不相交。“，引入新的平行公理：“在一平面上，通过已知直线外的一个已知点，至少有两条直线与已知直线不相交”，并保留了欧几里德的除了公设五以外的所有公理及公设，构成了一个新的公理系统。在这个新的系统中，他推证了一连串的命题，不但没有得出任何矛盾，恰恰相反，得到的却是一个完善和谐的几何体系，罗巴切夫斯基认为，这个新的体系所建立的几何表明了一种新的结合学的存在。1826年，罗巴切夫斯基宣读了他的新几何学的报告，宣告了非欧几何学的诞生。罗巴切夫斯基建立的非欧几何当时只得到高斯和约翰.波里埃等少数人的理解。在他去世后，意大利数学家贝尔特拉米给出了罗氏几何的第一个模型-具有负常曲率的伪球面，使得罗氏几何有了现实的意义。从此罗氏几何才被人们却认为也是现实空间的反映。罗氏几何学的诞生表明，欧几里德的几何公理不是牢不可破的教条，采用不同的公理做基础，可以建立不同他的几何学。所以欧几里德几何不再是几何学的同义语，欧氏几何只是几何学中的一种。黎曼（1826-1866）在1854年提出了另一种非欧几何学，在这种几何学里，同一平面内的二直线必相交，三角形内角和大于二直角。二克莱因的几何学观点几何学的群论观点，是由德国数学家FKlein于1872年在埃尔朗根大学任教授时所作的题为“近代几何学研究的比较评述”的演说中首先提出来的，历史上称为埃尔朗根纲领（Erlangen Program）。这种变换群的观点对近代几何学的发展产生了深远的影响，支配了从他以来近半个世纪的几何学的研究。若给定一个集合以及此集合上的一个变换群，则空间内的图形对于此群的不变性质的命题系统的研究就称为这空间的几何学，而空间的维数就称为几何学的维数，且称此群为该几何学所对应的变换群。有一个变换群就相应的有一种研究在此群作用下不变性质理论的几何学。欧氏几何是研究等价类里一切图形所共有的性质，图形关于正交变换群下的不变性质所构成的命题系统就是欧氏几何学。同理，在仿射变换群下图形的不变性质所构成的命题系统就是仿射几何学；射影变换群下的图形不变性质构成的命题系统就是射影几何学。设G是集合S的一个变换群，G是G的子群，G与G所对应的几何分别为A与A。由于G G，所以对于G不变的性质对于G一定也不变，因此A中的定理一定也是A中的定理；但是反过来，却不一定成立。，我们称A为A的一个子几何。所以，越大变换群所对应的几何内容越少，相对较小的子群所对应的子几何内容却更丰富。研究射影变换群下图形的不变性质和不变量的几何分支就是射影几何。因为射影变换保持同素性、结合性和交比不变，因此在射影变换下，一维基本形是不变图形，点列变换成点列，线束变换成线束，另外，二次曲线在射影变换下仍为二次曲线，所以二次曲线也是射影几何讨论的对象。研究仿射变换群下图形的不变性质和不变量的几何分支就是仿射几何。仿射变换保持平行性和单比不变。仿射变换群是由保持无穷远直线不变的射影变换构成的，因此它是射影群的子群，所以仿射几何是射影几何的子几何。显然，射影性质都是仿射变换下的不变性质。 研究图形关于正交变换群下图形的不变性质和不变量的几何分支就是欧氏几何。欧氏几何是仿射几何的子几何，也是射影几何的子几何所以射影性质、仿射性质都是欧氏几何的不变性质。此外，在欧氏几何中还可以研究长度、角度等度量性质。上述三种变换群的大小关系：正交变换群仿射变换群射影变换群但从它们所对应的几何的研究内容的丰富性来看则有：欧氏几何仿射几何射影几何注：下表为以射影几何为基础的克莱因几何学分类中一些主要几何间的关系：射影几何仿射几何单重椭圆几何双重椭圆几何（黎曼几何）双曲几何（罗氏几何）抛物几何（欧氏几何）其他仿射几何三射影平面的数学模型在欧氏直线上添加了一个无穷远点后所得到的直线称为仿射直线。欧氏平面上添加一条无穷远直线即得到仿射平面。设有以O为球心的球面，过球心O作平面a交球面于大圆C，我们规定：半球面S为仿射平面，大圆C上的点为无穷远点，且通过O的大圆C的每一直径的两个端点当作一个无穷远点，半球面上的其它点为非无穷远点。大圆C为无穷远直线。半球面上的大圆弧为普通直线，相交于C上同一点的半大圆弧就是平行直线。如果把仿射直线上的非无穷远点与无穷远点等同看待而不加区分，那么这条直线就叫做射影直线。射影直线是一条封闭直线，通常用圆作为射影直线的模型。在仿射平面上，如果对于普通元素和无穷远元素不加区分，即可得到射影平面（二维射影空间）。射影平面也是封闭的。因为射影直线是封闭的，一个点不能把它分成两部分，要两个不同的点才能把射影直线分成两段。射影直线上的三个点，不能排成唯一的顺序。同样，射影平面也与欧氏平面很不相同。在欧氏平面上一条直线可以把平面分成两个区域。在射影平面上，一条直线并不能把该平面分成两个区域。因为连接两个点的线段有两个，其中只有一个线段与另一直线相交。在欧氏平面上，两条相交直线可以把平面分成四个区域。而在射影平面上，由于直线是封闭的，而二直线有且只有一个交点，所以两直线只能把射影平面分成两个区域。在射影平面上，两个不同的点决定一条直线，两条不同的直线有且只有一个交点。四解决初等问题问题的几何思想1.变换思想：利用正交变换、仿射变换及射影变换下不变性质和不变量解决几何问题2.对偶原则：射影平面的特性3.二次曲线理论：仿射变换意义下的二次曲线和欧式几何中二次曲线分类的一致性4.调和性理论：完全四点形与完全四线形的射影性质五 一个问题的高观点证明设ABC，L，M，N三点分别为边BC，CA，AB的中点，求证三条中线AL，BM，CN交于一点。ACBLMABCLMNRQPOABCLMNPO图（1） 图（2） 图(3)1.向量方法的证明解析几何是以向量代数为工具，利用向量的基本特性和基本运算性质来解决几何问题。运用向量代数证明几何问题的方法称为向量证明法。向量也称向量，它是既有大小又有方向的量.因此两个向量相等就意味着方向相同并且模长相等，如果这两个向量有共同的始点，那么它们的终点一定重合。利用这一点，往往可以证明共点问题。下面给出向量方法的证明：证明 如图（1），设AL与BM交于点G，并设，为ABC外任一点，则而，带入（1）和（2）两个式子，则有比较（3）和（4），由于关于的表示系数唯一，就有所以若设AL与CN交于点，则同理可证因此与重合，从而得三中线共点于G。证毕。2.利用完全四点形调和性的证明在射影平面上，给定无三点共线的四个点，以及连结任意两点的六条直线所组成的图形叫完全四点形。这四个点叫顶点，六条直线叫边。没有公共顶点的两边叫对边,三对对边的交点称为对边点。对于完全四点形，在每条边上都存在调和共轭点列（也就是它们的交比值为）。其中两个点是顶点，另两个点里，一个是对边点，另一个是另外两个对边点的连线和这边的交点。另外,若共线的四个点调和共轭，即交比值为1时，如果一个点的第四调和点为无穷远点，则该点就是另两个点所连线段的中点。下面就给出运用完全四点形调和性的证明：证明如图（2），设BM，CN交于点O，连AO交BC于。因为M，N是AC，AB的中点，设MN与BC交于点，那么在完全四点形MCBN中，在BC边上存在调和点列，即因为点的第四调和点为无穷远点，所以为线段BC的中点，因此从而得，也即ABC 的三条中线BM、CN、AL共点于O。证毕。3.利用德萨格定理的逆定理的证明德萨格定理是射影平面上的重要定理。不但德萨格定理成立,德萨格定理的逆定理也成立. 利用它们可以证明初等几何里的共点或共线问题。现将两个定理的内容叙述如下:德萨格定理:两个三点形对应