毕业论文-数形结合思想在解题中的应用.doc

数形结合思想在解题中的应用 姓名： 日期：2012.04.15数形结合思想在解题中的应用摘要：“数形结合”作为数学中的一种重要思想，在高中数学中占有极其重要的地位，掌握这种思想并运用于做题尤为重要，本文就这方面做了主要阐述。关键词：数形结合、思想、运用引言数学研究的主要对象是空间形式和数量关系，数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面。利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法。数与形是数学的两大支柱，它们是对立的，也是统一的。正如矛和盾总是同时存在一样，有“数”必有“形”，有“形”必有“数”。华罗庚先生曾说过：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致。忽视数与形的任何一方面，都会使数学变得残缺不全。正如华罗庚先生所说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。数形结合应用技巧数形结合简言之就是：见到数量就应想到它的几何意义，见到图形就应想到它的数量关系。在数学教学中，数形结合对启发思路，理解题意，分析思考，判断反馈都有着重要的作用。数形结合渗透在中学数学的每个部分，根据数形结合的观点，可以通过对数量关系的讨论来研究图形的性质，也可利用图形的性质来反映变量之间的相互关系，因此数形结合可以使数和形相互启发、相互补充、相互印证。为了培养学生形成数形结合的思维习惯，在初一代数教学中我们就已经接触到了数形结合的思想和方法。解题方法指导：1转换数与形的三条途径： 通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。 转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。 构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。2运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：“由形化数” ：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。数形结合中“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。因此，数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种重要的数学思想，它是将知识转化为能力的“桥”。因此它在现今教育中越来越受到老师和同学们的重视，但如何掌握这种思想更重要，下面就结合具体实例谈谈数形结合思想主要在那些在解题中得到应用：一、构造几何图形解决代数与三角问题：1、证明恒等式：例1 已知、均为正数，且求证：分析：由自然联想到勾股定理。由可以联想到射影定理。从而可以作出符合题设条件的图形（如图）。对照图形，由直角三角形面积的两种算法，结论的正确性一目了然。证明：（略）小结：涉及到与平方有关的恒等式证明问题，可构造出与之对应的直角三角形或圆，然后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。2、证明不等式：例2 已知：01，01. 求证：证明：如图，作边长为1的正方形ABCD，在AB上取点E，使AE=；在AD上取点G，使AG=，过E、G分别作EF/AD交CD于F；作GH/AB交BC于H。设EF与GH交于点O，连接AO、BO、CO、DO、AC、BD.由题设及作图知、均为直角三角形，因此 且 由于 所以：当且仅当时，等号成立。小结：在求证条件不等式时，可根据题设条件作出对应的图形，然后运用图形的几何性质或者平面几何的定理、公理去建立不等式使结论获证。3、求参数的值或参数的取值范围：例3 若方程 （0）的两根满足：1，13，求的取值范围。解析：画出与方程对应的二次函数 （0）的草图： 由图可知：当=1时，0； 当=3时，0.即 0 ； 0.解得：1.例4 若关于的不等式 的解集仅有一个元素，求的值。解：如图：在同一坐标系内，作出与的图象。题设条件等价于抛物线在直线与之间的带状区域仅有一个交点，且抛物线开口向上。由图形的直观性质可知：这个交点只能在直线上，故方程组 仅有一组解。 即 小结：对于含参方程（不等式），可将其与对应的函数（图象）联系起来，运用数形结合思想，去揭示问题中所蕴含的几何背景，往往能为解题提供清晰的思路。4、求最值问题：例5 已知、均为正数，且求的最小值。解：如图，作线段AB=2，在AB上截取AE=，EB=，过A作ACAB，且AC=2，过B作BDAB，且BD=1。由勾股定理：CE=，BD=，原题即求CE+ED的最小值。又如图，延长CA至G,使AG=AC，连接GE，由三角形两边之和大于第三边，则G、E、D三点共线时，GE+ED=DG最短。作出图形，延长DB至F，使BF/AG且BF=AG，连接GF.则在RtDGF中，DF=1+2=3，GF=AB=2CE+DE的最小值是即的最小值是小结：此题由式子特点联想勾股定理，构造图形解决问题。二、用代数与三角方法解决几何问题：例6 如图，在ABC中，ABAC，CF、BE分别是AB、AC边上的高。试证：证法一：（三角法）因为， 证法二：（代数法）由ABACCF，ABBE 及SABC ,=. 综上： 小结：以上两种证明方法，分别采用了三角法与代数法，较之纯几何证法来，易于想到。例7 如图，在正ABC的三边AB、BC、CA上分别有点D、E、F.若DEBC，EFAC，FDAB同时成立，求点D在AB上的位置.ADEFCB分析：先假设符合条件的点 D、E、F已经作出，再利用已知条件，寻找线段与角之间的数量关系，列出含有待求量的等式（方程），以求其解。 解：设AB=1，AD=因为ABC为正三角形，且DEBC，EFAC，FDAB，故 , , , 而 ,即 解得： 即点D位于AB边上分点处.小结：几何中存在着这样一类问题，即几何图形中的某些点的位置或线段的长度或角度的大小不能依题意画出来，只有根据已知条件求出某一些量时，图形才能画出。而求那些量的方法，常常是通过列方程（组），即转化为代数方程求解。AyzxPFEDCB例8 如图，ABC三边的长分别是BC=17，CA=18，AB=19. 过ABC内的点P向ABC的三边分别作垂线PD、PE、PF（D、E、F为垂足）. 若求：的长.解：设 ， ， ，则 ， ，连接PA、PB、PC. 在RtPBD和RtPFB中， 同理： 将以上三式相加，得： （1）又已知： （2）由（1）（2）得： 即 即 三. 运用数形结合思想处理对称问题例1：已知椭圆C：，确定m的取值范围，使C上有不同的两点A、B关于直线L：y=4x+m对称。解：设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0) 则有 (1) (2) (1)-(2)得 A、B关于L对称 KAB = y0 = 6x0于是以为斜率的平行弦中点轨迹是直线y=6x在椭圆内部的一段，不包括端点。与联立得两交点A1(),B1()，问题转化为L与线段 有交点问题。由图形知，当L过A1点时，m最大值为 ，当L过B1点时，m最小值为 -，小结：例1的解法提供了一种解决此类问题的新思路，而且运算过程简单，从图形上可以直观地看出结果，真正体现了数形结合思想的作用。那么此种想法是否适合其它曲线呢？回答是肯定的。例2：曲线C：x-y2-2y=0上存在关于直线L:y=x+m对称两点A、B，求m的取值范围。解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB中点M(x0,y0)，则有-2=0 -2=0 -得 (x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)-2(y1-y2)=0 由题意知 x1-x20，上式两端同除x1-x2，得A，B关于L对称KAB = ，y0 = ,x0 = - m于是以-1为斜率的平行弦中点轨迹为直线y =在抛物线内部的一条射线，不包括端点。将y =代入抛物线方程得交点P(,)，问题转化为L与射线y =(x)有交点。 将P点坐标代入L方程得m =，由图形知，m取值范围为由例1、例2可以看出，若直线L斜率已知，则可以转化为L与平行弦中点轨迹相交问题处理，关键是寻求与已知直线垂直的平行弦中点轨迹，然后再利用数形结合求参量范围。那么，这种解法可信度如何呢？我们看看上两例，例1中当L与A1B1有交点时，此交点恰是与L垂直的弦中点，就保证了该弦两端点关于L对称。所以只要L与平行弦中点轨迹有交点时，就能保证曲线上存在两点关于L对称。例3、已知椭圆C：，确定k的范围，使C上存在不同的两点A、B关于直线L：对称。解：设，当k=0时，不符题意，所以，将A、B坐标代入椭圆方程得(1) (2)(1)-(2)得 即 ，有，又M在L上，于是以为斜率的弦中点轨迹为在椭圆内部的一段A1B1，如图，将代入椭圆方程得，问题转化为L与线段A1B1有交点，由图形知例4、已知L：能垂直平分曲线C：某一弦AB，求k范围。解：由抛物线对称性，当k=0时，C上不存在A、B关于L对称，所以，设，将A、B坐标代入抛物线方程得 (1) (2) (1)-(2)得 ，又在L上，于是，消k得斜率为的弦中点轨迹为在抛物线内部一段且过(1,1)点，如图，而L过定点(1,1)。当L与相切时得k=-2，由图形知例5、曲线C：上存在关于L：对称的两点A、B，求k的范围。解：当k=0时，L为x轴，由双曲线对称性知 k=0不符合题意，当时，设，将A、B坐标代入双曲线方程得(1) (2)(1)-(2)得，又，以为斜率的弦中点轨迹方程为x=-2，直线x=-2与双曲线、渐近线交于点A1，B1，C1，D1，由双曲线对称性可以看出，以为斜率的弦中点轨迹应是线段B1C1和以A1，D1为端点的两条射线（在x=-2上），L过定点C(-4 ，0)由图形知，时，L与弦中点轨迹有交点，即C上存在两点A、B关于L对称。所以综上所述，数形结合的思想就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考查的思想，根据解决问题的需要，给“数”的问题以直观图形的描述，揭示出问题的几何特征，变抽象为直观；给“形”的问题以数的度量，分析数据之间的关系，更能从本质上认识“形”的几何属性，简而言之“数形互相取长补短”。最后我想说的是，数学思想无处不在，只要我们注重挖掘，并能将其运用于解题实践，这样将会给我们带来无穷的乐趣。学生数学能力的差异通过数学思维的深刻性、灵活性、独创性、批判和敏捷性等思维品质来体现”，“思维的深刻性是一切思维品质的基础”。数形结合有利于提高思维的深刻性，因此，中学数学教学中，数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种基本的、重要的数学思想，作为数学知识的精髓，作为将知识转化为能力的”桥”来学习研究和掌握应用。要将数形结合法运用于解题教学和解题实践作为解题方法的数形结合，实际上包括两方面的内容：一方面对“形”的问题，引入坐标系或寻找其数量关系用“数”的分析加以分析；另一方面对于数量关系的问题，分析其几何意