山西省太原市高中数学竞赛解题策略几何分册第4章三角形中的分角线.doc

第4章 三角形中的分角线三角形中分角线有如下一系列有趣的结论，我们以性质的形式介绍之性质 设、是的边上（异于端点）的两点，令，则的充要条件是或或证法 如图，应用三角形正弦定理，有，必要性当时，则由上述式，即得结论充分性当时，在边上取点，使此时，由式，有于是，有从而，即知与重合故证法 如图，作的外接圆分别交、于点、，则由割线定理，有，亦即有于是，注：设，是的边上（异于端点）的两点，若，则（1）；（2）；（3）事实上，（1）如图，作的外接圆与直线，分别交于点，联结，则由，有由，有由并注意得又由，有于是（2）同（1）中证法即得（3）由（1）与（2）中两式相乘即得还需特别指出的是：由（1）、（2）中两式，有，即有这给出了性质必要性的另证性质的充分性也可由三角知识推导由，并令，则，将三角式积化和差及和差化积，有，亦即有于是而，故对于图，类似于证法，可证得的充要条件是此时，我们可得如下推论：推论 设是的边上一点（异于端点），则推论 设是的边上一点（异于端点），令，则的充要条件是此即为角平分线的性质定理与判定定理推论 设、是的边上（异于端点）的两点，令，则事实上，由及相除即得推论 设是的边上的中点，是边上另一点，令，则的充要条件是 或 事实上，这可由性质及推论即得此时，为的边上的中线当时，直线与关于的平分线对称，我们称为的一条共轭（或陪位）中线于是，我们有推论的等价表述：设是的边上一点（异于端点），则为的一条共轭中线的充要条件是或对于推论我们还有如下的等价结论：推论 设是的边上的中点，是边上另一点（异于端点），令，则的充要条件是分别过，点的的外接圆的两切线的交点及、三点共线证明 充分性如图，当，三点共线时，设直线与交于点，联结，则由，有，即有对四边形应用托勒密定理，有，即有，亦即注意到，则知，从而，故必要性如图，当时，设直线交的外接圆于，联结，则由，有，即，亦即又对四边形应用托勒密定理，有于是，运用三角形正弦定理，有延长交于点，延长交于点，则，从而，有（*）由于，注意到（*）式及，则由塞瓦定理的逆定理，知、三线共点于，即知直线与重合故、三点共线注：其必要性也可这样来证：如图，由及为中点，直线交圆于，由充分性中证明，知四边形满足条件（*）设过的切线与直线交于，过的切线与直线交于由，有于是同理注意到（*）式有，从而，即从而与重合，亦与重合故、三点共线由推论和推论，我们可得到：推论 设是的边上（异于端点）一点，则为的一条共轭（或陪位）中线的充要条件是分别过，的的外接圆的两切线的交点，三点共线；或（或）的充要条件是分别过，的的外接圆的两切线的交点及，三点共线推论也还有如下的等价说法：推论 设是的边上一点，则为的一条共轭（或陪位）中线的充要条件是在直线与的外接圆的交点及点处两切线的交点、三点共线；或的充要条件是在直线与外接圆的交点及点处两切线的交点及、三点共线证明 如图，设为的中点，直线交的外接圆于点，联结设为的外心，则（与不重合时）充分性当、三点共线时，即知、五点共圆，从而于是，即有故，即知为的共轭中线必要性当为的共轭中线时，即有设直线与过点的切线交于点，直线与过点的切线交于点此时，即从而，即知，四点共圆，亦即知为直线与的交点；，即知，四点共圆，亦即知为直线与的交点于是，知与重合，重合于点，故，三点共线又若或中，有一个点为在边上的射影时，则有结论：性质 设，是的边上（异于端点）的两点，令，则的充要条件是当为点在边上的射影时，直线过的外心；或直线过的外心时，点为在边上的射影证明 如图，设为的外心，直线交于点，联结下面仅证当点为点在边上的射影情形充分性当直线过的外心时，作于，联结，则于是，由等角的余角相等，有故必要性当时，即当时，延长交于点，则由，知，从而即知为其直径故直线过的外心注：当直线过的外心时，也可类似地推证在图中，由，有，即由此可得推论：推论 三角形一边上的高与外接圆的直径的积等于其他两边的乘积推论 三角形的一内角平分线上从顶点到对边交点及从顶点到外接圆交点的两线段的积等于夹这角的两边的乘积如果，我们再考虑的外接圆与的外接圆的关系，则又有结论：性质 设、是的边上（异于端点）的两点，令，则的充要条件是的外接圆与的外接圆内切于点证明 充分性如图，当两个外接圆内切于点时过作两圆的公切线，设的外接圆分别与，交于点，联结，则从而，即有，亦即有故必要性如图，设，分别为，的外心，与，分别交于点，当时，即时，则有，从而过作的切线，过作的切线，则，即知与重合故与在点相内切此时，我们又有如下推论：推论 设，是的边上（异于端点）的两点，则的充要条件是的外接圆与的外接圆内切于点下面，给出应用上述结论处理一些竞赛题的例子：例 （2010年第1届陈省身杯全国高中数学奥林匹克题）在中，分别为边，的中点，与交于点，的外接圆与的外接圆交于点，的延长线与的外接圆交于点求证：证明 如图，联结，则由题设有，知（或点是完全四边形的密克尔点即得）从而当，分别为，的中点时，有又由，即（，分别为点到、的距离），有于是，由，有此时，由性质中的三角形式，即知从而，故例 （2010年国家集训队测试题）如图，设凸四边形的两组对边的延长线分别交于点，的外接圆与的外接圆交于，两点求证：的充分必要条件是证明 如图由题设有，知（同例亦可参见练习二十四第11题），有此时由，即知，四点共圆从而，有，由，又有充分性当时，有，即有，从而 于是，由，有从而由性质中的三角形式，知必要性当时，则由性质中的三角形式，知注意到式，有设点到，的距离分别为，则 于是，由，有，即知故注：由例（例）可得到结论：设为完全四边形的密克尔点（参见图），则的充要条件是例 （2006年福建省竞赛题）如图，为的外接圆，分别为中线和角平分线，过点，的的切线相交于点，联结与和分别交于点，求证：点是的内心证明 如图，联结，由推论，即知，从而知平分此时，由，知又由，有，即有于是由推论，有又由推论，有注意到，知，即有由，即知平分故点是的内心注：满足式（也可参见推论注中的（*）式）的四边形即为调和四边形（见第章）例 （2008年蒙古国家队选拔考试题）已知梯形内接于圆，两底，满足，过点的切线与交于点，过的切线切圆于异于的另一点，与圆交于点，过作的平行线，分别与，交于点，证明：为的中点证明 如图，联结，由例证明中的式，有联结，设与交于点，则由推论，知于是，由推论，取的中点，知联结，则，则联结，由，有于是，知，四点共圆因此，从而故为的中点注：题中条件梯形可改为圆内接四边形上述证明中未利用的条件例 （2006年罗马尼亚国家集训队测试题）在凸四边形中，记为与的交点如果为的陪位中线，为的陪位中线证明：为的陪位中线证明 如图，不失一般性，不妨设过，两点的的外接圆的切线交于点（否则为的外心，则结论显然成立）当是的陪位中线时，由推论，知此时，又由推论知，共线没直线交的外接圆于，则由例证明中的式，知又为的陪位中线，由推论，知于是，即于是，由，即知与重合，即，四点共圆此时，由，有，上述两式相乘，得又将式代入上式，即得注意到推论，即知为的陪位中线例 （2005年国家集训队测试题）设锐角的外接圆为，过点，作的两条切线，相交于点联结交于点，点，分别在边，上，使得，（1）求证：，四点共圆；（2）若记过，的圆的圆心为，类似地定义，则直线，共点证明 （1）如图，由推论知，有又由，有，于是，由割线定理的逆定理，知，四点共圆（2）显然，为的一条共轭中线设的另两条共轭中线，交于点，由共轭中线的性质（即推论）及塞瓦定理的逆定理，知也过点如图，过分别作，交点如图所示由于与位似，则有从而，由（1）的证法知，四点共圆同理，及，分别四点共圆于是，即知，五点共圆由对称惟，知也在此圆上，即知，六点共圆设此六点圆的圆心为，由于与的位似中心是，故直线过点同理，直线，也过点故直线，共点例 （2000年波兰数学奥林匹克题及2006年罗马尼亚国家队选拔考试题）在等腰中，为底边的中点（1）在内有一点，使得，则（2）请在三角形内找出满足的点的轨迹解 （1）如图，延长交于点要证，只需证即可延长交于，延长交于，令，对及点应用塞瓦定理，再由线段比转化为面积比有，（或直接用塞瓦定理的角元形式即得）即又 ，及，从而于是，由性质中的线段式或直接由推论，即知（2）如图，显然点在线段（异于，点）时，有当点不在线段上时，延长交于点当时，则有由推论知令，则，且由，式，有类同于式，有由，式，有将上述三角式积化和差后再和差化积，有因而，由，有，此即为点在上情形前面也已讨论由，有此时，又由弦切角定理的逆定理，知过点，三点的圆分别在，处与，相切于是，知此时点的轨迹为与，分别切于，的圆在内部的圆弧由对称性，知也在此圆上，即知，六点共圆设此六点圆的圆心为，由于与的位似中心是，故直线过点同理，直线，也过点故直线，共点例 （2004年全国女子数学奥林匹克题）给定锐角，点为其外心，直线交边于点动点，分别位于边，上，使得，四点共圆求证：线段在边上的射影的长度为定值证明 如图，过作交于点令，则由性质，知延长交于点，则为的直径令的直径为，联结，运用正弦定理及托勒密定理，有从而，（*）设在上的射影为，设与的夹角为又，注意到为定值，为定值，知为定值由于，知为定值注：类似于（*）式的证明，可证明2000年全国高中数学联赛加试题：在锐角的边上有两点，满足，作于点，于点，延长交的外接圆于点证明：（参见练习题4中第4题）例 在锐角中，边上的高，相交于点设为的外心，则为的垂心的充要条件是证明 如图，显然，为的垂心联结，则由，四点共圆及性质，知，从而而，知与互余，从而知必要性若为的垂心时，则注意到，则又由性质，有，亦有，于是，从而，四点共圆，即有，亦即知由垂心组性质（见第8章）知，的外接圆与的外接圆是等圆又，知，它们所对的弦相等，故充分性若时，由垂心组的性质知，的外接圆与的外接圆是等圆，即知，所对的圆周角相等，即有而，则知，于是注意到，则知，四点共圆从而，于是又，则注意到，故知为的垂心例 （2002年土耳其数学奥林匹克题）两圆外切于点，且内切于另一圆，切点为，令是两小圆内公切线段即的弦的中点证明：当，不共线时，是的内切圆的圆心证明 如图，设分别过，的切线交于点，则为根心，即知点在过点的两小圆的内公切线上设割线交于，联结，注意到为的中点，则由性质，知如图，设，分别交小圆于，联结，则可证得（由得）于是，知，即知平分从而，即知平分同理，平分故知是的内切圆的圆心例 （1997年全国高中联赛试题的推广）已知两个半径不等的圆与相交于，两点，且，分别与内切于点，直线交于点，弦交于点，为中点，则点在公共弦上（外）的充要条件是点也在公共弦上（外），且证明 如图，设分别过，的的切线交于点，则为根心，即知点在直线上联结，注意到为的中点，则由性质知，设，分别与交于点，联结，则由，知从而，即知于是，图中，点在公共弦内部，此时，点也在公共弦内部由作图可知，若点在公共弦的外部（即上）时，此时，点也茌公共弦外部（即上）注意到性质的充要性，从而结论获证特别地，若点与点重合，即点在公共弦的端点时，则点也与点重合，即点在公共弦的端点处，此时，三点共线，此即为1997年全国高中联赛试题练习四1（2007年国家集训队培训题）锐角三角形的外接圆在和处的切线相交于点，是的中点，证明：2（2009年巴尔干地区数学奥林匹克题）在中，点，分别在边，上，且，与交于点，与的外接圆的另一个交点为证明：3（2004年IMO45预选题）已知直线上的三个定点依次为，为过，且圆心不在上的圆，分别过，两点且与圆相切的直线交于点，与圆交于点证明：的平分线与的交点不依赖于圆的选取4（2000年全国高中联赛题）在锐角的边上有两点、，满足，作，（、是垂足），延长交的外接圆于点求证：四边形与的面