毕业设计（论文）-刚体平面运动质心分析及其应用.doc

江西师范大学科学技术学院 JIANGXI NORMAL UNIVERSITY SCIENCE AND TECHNOLOGY COLLEGE本科生毕业设计（论文） 题 目：刚体平面运动质心分析及其应用 Title: Analysis and application of plane motion of rigid body center of mass 学 院：江西师范大学科学技术学院学生姓名： 学生学号： 专业： 物理学（师范） 指导教师： 完成时间： 2015年4月 2声 明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本声明的法律结果由本人承担。本毕业设计（论文）成果是本人在江西师范大学科学技术学院读书期间在指导教师指导下取得的，成果归江西师范大学科学技术学院所有。特此声明。 声明人（毕业设计（论文）作者）学号：1107029010声明人（毕业设计（论文）作者）签名： 签名日期： 年 月 日摘 要刚体平动动力学在生产劳动中有广泛且重要的应用，而质心的概念在刚体平动动力学中居于特殊的地位。因此，本文在引入刚体模型、角动量及力矩概念的基础上，分析了质心在刚体平面运动中的作用；推导了刚体平动时，刚体质心转化为质点模型研究的条件；说明了质心在瞬心法中的作用；分析了刚体在运动学和动力学基点选择的不同原则；应用部分以悠悠球为应用实例，分析了其运动原理。关键词： 刚体 质心 平面平行运动AbstractRigid-body translational dynamics in the real should have extensive and important applicationgs, and the concept of mass center have a special place in the rigid-body translational dynamics.Therefore,this article in introduce the rigid body model,angular momentum and torque concept is introduced, based on the ananlysis of the center of mass of the rigid body plane motiong;Rigid-body translational was deduced,the rigid body center of mass is converted into the particle model research condition;Illustrates the role of center of mass in instantaneous center method;Rigid body is analyzed on the basis of kinematics and dynamics of different principles;Application part in the yo-yo as an example,analyses the movement principle.Key words :rigid body center of mass plane parallel motion.II目 录摘 要IAbstractII目 录11 引言11.1课题背景及其意义21.2本文脉络22 刚体运动学22.1刚体模型22.1.1刚体引入的基础和作用22.1.2界定刚体标准22.2刚体运动的描述32.2.1刚体基本运动与平面平行运动32.2.2矢量与角速度33 角动量33.1掠面速度33.2角动量的引入33.3角动量与角速度44 力矩54.1力矩的引入54.2物体转动原因65 质心、质点与两种模型65.1刚体动力学基点的选择65.2平动刚体视为质点模型研究条件65.3物体质心为合力等效作用点条件76 质心在瞬心法中应用86.1瞬心86.2瞬心与质心对比例题97 悠悠球刚体动力学分析107.1 悠悠球基本结构107.2 悠悠球运动动力学解析118 结束语12参考文献131 引言物理认知结构是个体对物理世界的认识及物理观念的组织，包括知识储备量、知识组织程度及知识表征方式。在刚体动力学中概念体系、物理模型转化和形式运算思维是影响掌握刚体动力学的突出问题。所以本文以刚体平面平行运动中质心为线索，在推导刚体平动基本定理过程中，明确该部分理论的结构脉络，希望有助深刻理解质心作用。1.1课题背景及其意义物理学习困难问题早已普遍，随着所需学习的内容增加，学习者教育环境及心理素质的变化，关于物理学习困难的研究早已开始。例如中学阶段物理学学习要求学习者思维方式在具体运算水平即可，而大学及以上物理学的学习要求学习者运用形式运算学习，学习者如何克服从具体运算到形式运算的困难。力学是基础部分，通过恰当的力学学习与训练，可以帮助学习者认识并克服学习障碍。其中以质心概念为关键的刚体平面运动动力学对于学习者最为困难，同时也是克服物理学习困难的良好训练内容。任何物质运动中最一般的为自由运动，而在刚体的运动中平面平行运动无论在理论学习或是实践的工程技术上有重要作用在质点系的动力学中,质心概念是一个很重要的知识内容,且诸如质心运动定理,质点系的动量定理,质点系的动能定理,对质心的角动量定理等都是运用质心概念对质点系应运而生的动力学定理与定律。11.2本文脉络本文先分别对刚体模型、角动量及力矩的引入加以论述并且作为第五部分刚体基点选择、刚体模型变换条件及质心为合力等效作用点内容的铺垫，以此贯通刚体平动部分物理图像；应用部分悠悠球为实例，分析其最基本运动情况的动力学过程。2 刚体运动学2.1刚体模型物体受力必然发生形变，若问绝对刚体是否存在，或只是基于实际需要而物理抽象简化的物理模型。如作为物理模型，刚体引入的基础、作用和界定刚体标准是什么？2.1.1刚体引入的基础和作用刚体必然是抽象的物理模型。在质点力学中我们通过惯性参考系上的坐标架定量描述质点的运动学量，导出质点运动学方程。而事实是物体都是不连续的，且研究对象并不都适宜质点模型描述。尽管理论上我们可以对每一质点的运动学加以描述，但这并不可行。如流体的运动学描述中，我们未采用质点运动学的描述手法。一定限度内，对于形变不大的物体，我们确定其上一点，整个物体的运动情况随之而确定。2.1.2界定刚体标准物体受力必然形变，刚体界定的原则是形变不大，即可视为刚体。形变多少可视作刚体？标准由限制条件确定。完全不发生形变，弹性力传递如何被进行？实际正确的认识是弹性波传播的速度正比于物体弹性模量的开方。物体弹性模量大即刚性越大，扰动在物体中的传递速度越大。也就是说弹性波传播速度无穷大等价于刚体物理模型。一般来说，弹性波于固体中的传播速度为m/s，在一秒内传播约3m左右，只要所讨论运动过程比此界限缓慢很多，就可认为弹性扰动传递是瞬时的，物体可视作刚体处理2。2.2刚体运动的描述2.2.1刚体基本运动与平面平行运动物体最一般的运动是自由运动。刚体最基本的是平动和转动，即刚体的一般运动可分解为平动和转动的叠加。基点选择不同，刚体平动与转动叠加方式不唯一。所以基点选择不同，影响平动的描述，转动不因基点变化而变。2.2.2矢量与角速度矢量的定义是既有大小又有方向的量。必须指出并非所有一切既有量度又有方向的量均为矢量，矢量必须同时满足定义与平行四边形法则。有限大小的角位移并非矢量，角速度只和无限小角位移相关。至于角速度服从平行四边形法则的数学证明，本文略去。3 角动量与平动相关的物理量是动量，对应与转动相关的为角动量。角动量、角动量守恒定律等等在刚体动力学中地位与牛顿定律在质点力学地位相当。但处于核心地位的角动量概念的引入以掠面速度法导出确切而言并不严谨，既不能真正导出角动量，也不能明确角动量的物理含义。为此，有必要分析掠面速度导入法的缺陷，并且介绍一物理依据严谨充分的角动量推导法。3.1掠面速度 图2质点作匀速直线运动,对线外一点率面速度守恒图1行星绕日公转时，掠面速度守恒 以上图例中，行星环绕与皮筋实验的物体动能与动量均不守恒，而匀速直线运动中动能和动量皆守恒，但三者都可以表示为。值得注意的是掠面速度几乎是一个几何量，即便是上升至三维的转动，仍可用几何方法证明其并非动力学量。所以，由掠面速度引入角动量并不严谨。3.2角动量的引入相互作用的定义、牛顿第二定律、牛顿第三定律都可以通过气桌实验的结论动量守恒得出。即经典范围内，相互作用与速度无关下，可以导出 (3.2.1)推发现量守恒过程中由对称性证得，相互作用与速度无关下，在两质点瞬时连线上.由此条件，便可自然推导出角动量。设1、2两质点仅在相互作用下运动。任取一点O建立坐标架，并作两点连线的垂涎OH，引1、2两点位矢。由图得: 图3 相互作用下，两物体的动量守恒. (3.2.2)根据质点1、2的速度微分在连线条件，则（1）式左右与矢积相等。 故可定义一新守恒量角动量 (3.2.3)在2.1的掠面速度与2.2角动量对比可以看出，掠面速度基本为几何量，而角动量包含质量M已为动力学量。相比于掠面速度近乎经验公式的引入，后者更具有坚实的理论基础，呈现更清晰的物理图像与含义。3.3角动量与角速度对于角动量方向是否一定与角速度相同，答案是一般不相同，即角动量并非角速度。角动量= = (3.3.1)上式推导中用到三重积公式。例：一个质量可略刚性杆两端有量质量皆为质点球，杆长2，其中点o固定在AB竖直转轴，杆与AB成角，两质点绕垂直于AB平面转动，角速度。求角速度的大小和方向。图4 杆绕固定轴转动时角动量守恒 解：将已知条件带入角动量和角速度关系式得。可见角动量与角速度并不同向。4 力矩4.1力矩的引入相互作用改变物体运动状态的实质是相互作用传递动量过程，而系统总动量守恒，进而以此定义出力3。上节中角动量引入中，系统角动量亦守恒，且各物体间角动量进行传递，直观上看引起变化的原因仍是相互作用，我们是否可定义角动量变化率为相互作用？不然，事实上角动量变化率不由力描述，回答上问只需对角动量变化率运算即可。设 = (4.1.1)质点系角动量。其中因不变质点系相互作用力力矩两两抵消为0.4.2物体转动原因物理中有许多类比现象，如转动的运动学方程、动能方程、动力学方程在形式上可以与平动一一对应。如平动中，相互作用改变物体运动状态，即力是物体运动状态改变原因。在转动中，力矩为角动量变化率，而角动量是描述转动的守恒量，则力矩是否为物体转动的原因？4 答案是否定的，L.poinsot在1803完成的静力学原理首次提出力偶概念，并且论证力偶是物体转动的原因5。刚体的平面平行运动可分解为质心的平动与绕质心的转动。如此刚体的全部运动情况可全部知晓。6刚体的一般动力学分为平动部分： 绕质心转动部分:（4.2.1）5 质心、质点与两种模型在质点力学中，采用质心系的优点是不用考虑各个质元运动学情况。将质点系受力，按相应力系合成后，都将作用在质心上，进而可应用质心运动定理与质心角动量定理。7现在要问 刚体平动中基点必须选择质心吗？ 刚体化为质点的条件如何？ 默认质心是合力作用点，其理论条件是什么？5.1刚体动力学基点的选择刚体运动学中基点的选择是任意的，差异只在平动中牵连平动速度与基点选择有关。对于质点系的研究我们一贯采取质心系且只能为质心系。我们可以单独讨论运动学时，基点的选择是任意的；讨论动力学问题时，基点必须选择于质心，因质点系一般为非惯性系，含非惯性力力。若选择非质心处为基点，惯性力及惯性力矩无从确定。85.2平动刚体视为质点模型研究条件质点模型的实质是：仅考虑质点质心的运动，忽略了物体各质元围绕质心的运动和质元间的相对运动。9需要注意，刚体并非任何情况下都可视为质点，不可视为质点时却仍满足质心角动量关系。例：如图，一个质量分布均匀刚体置于无摩擦水平面上，外力施于物体使之加速平动，试判断其是否可应用质点模型。图5 不过质心力下物体平动分析：刚体受主动力重力、主动力及接触面反作用力作用下，做平动运动。各质元速度、加速度均相同，以运动学角度物体可视为质点研究。因刚体做平动运动，故。同时注意到，外力作用不过质心。故。又主动力不变。所以必然有支持力。才能使总力矩为0.根据支持力的力矩不为0，必有支持力合力不再过质心，且在接触面各点支持力量值不再相等。若此时仍将刚体视作质点时错误的，因外力无作用于系统，何谈力矩。进一步分析，将光滑接触面条件更改为摩擦系数不为0，物体还受摩擦力，摩擦力对接触面各点量值因支持力变化而变。5.3物体质心为合力等效作用点条件刚体是否可视为质点，既要满足运动学条件，亦要满足动力学条件。不满足时，质心不再是合力等效作用点。刚体不能视为质点原因为相对于质心系的力矩不为0。在惯性系上建立坐标系，设空间存在力场以描述，加速度矢量以描述，质心位置记为,质点相对质心位矢为。设存在一个质量为在该力场中做平面平行运动刚体，则该刚体运动可由质心运动定理及相对于质心转动的角动量定理描述。 （5.3.1） （5.3.2）若质心为合力等效作用点，则相对于质心力矩为0。即整理后得： ,为自然数。 (5.3.3)由数学知识知，上式成立则有： (5.3.4) 或 (5.3.5)即 (5.3.6)由(5.3.4)表明当物体限度足够小是可视做质点，质点与质心位置重合，质心必然为合力的等效作用点。由(5.3.6)式表明力场作用下各质点加速度与位矢，呈线性关系，特殊情况，C为0，不为0时为常矢量；=0为有心力场。106 质心在瞬心法中应用图6 几种确定瞬心方法力学中质心系的选择即使不必要也是非常便捷的。质心系的局限性在一定条件下方能显现。处理刚体平面运动动力学方法还有瞬心法，质心法与瞬心法各有利弊，但瞬心法中仍要借助于质心概念。6.1瞬心瞬时转动中心：任何瞬时下，刚体的平面平行运动总可视作相对一点的纯转动运动，记做。瞬心可能在物体上，也可在延伸处。瞬心的位置在不同问题中确定难度不一。但确定瞬心有固定的几何方法. 当刚体做平面运动且刚体质心与速度瞬心的距离不变时，建立以瞬心为基点的动量矩定理，不仅形式与质心为基点的动量矩定理相同。同时在处理某些问题时相比于质心系角动量定理大大简化. 图7 瞬心系建立平面基本参考系O,质心为C，瞬心为K且K相对基本系轨迹为空间极迹ab。质心C相对K位置矢量记为，刚体上任意一质点相对K位置矢量为，质元相对C位置矢量记为。11则相对质心的动量矩为。 相对瞬心的动量矩为。 图8 直杆在光滑面上滑动对上式求导继续分析即可6.2瞬心与质心对比例题例质量分布均匀，重力为，长为2，上端接触面光滑，求角加速度。 解 （1）瞬心法 瞬心系转动惯量 力矩 带入瞬心系角动量定理可得 （2）质心法 质心坐标（x，y）， 又质心角动量定理 。联立后解得。从上例看出，瞬心方法的优越性在于可避免求解条件中的约束反力，而其局限性正在于只能求解运动学量。求解约束反力，非质心法不可10。同时注意到应用瞬心法同时借助于质心。7 悠悠球刚体动力学分析悠悠球是刚体平面运动动力学的典型实例，因操作者手法不同，悠悠球平动情况不同。现从悠悠球基本结构出发，分析悠悠球直下再直上（回转）过程的动力学过程。7.1 悠悠球基本结构悠悠球基本结构如下图：球体由轻细圆柱及圆柱两面附着的大圆柱构成，中心圆柱圆周上一点处有一空洞，细线一端固定于此。悠悠球直下直上的原理是:设悠悠球中心直径相比绳长极小、忽略各种阻力且绳为轻质等理想条件下以初状态静止开始运动。缠绕好的悠悠球质心先径直向下运动，受主动力重力和绳的拉力作用，机械能守恒；下落之最低点时，拉力改变质心动量，球体以原旋转方向绕绳另侧回转上升。回转瞬间，机械能损失。此后，回转后球体上升。图9 悠悠球结构示意图7.2 悠悠球运动动力学解析设球体总质量为,重力加速度恒定为，球体转轴半径为，绳长为。参考点为轴心，相应转动惯量记为，回转半径记为，角速度，角加速度为。以绳上端点为重力势能零点。实际中，由各种因素导致机械能损失。设损失系数为，则机械能损失为。取为广义坐标。1. 静止释放至最低点阶段： 动能 （8.2.1） 势能 （8.2.2）故得角加速度大小为，质心速度大小为。2. 球体至回转点，质心运动方向相反，机械能损失。设最低点速度为，角速度为，上