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高考数学第四次模拟考试试题 数学试题 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是正确的请把答案填在答题卷上） 1.（理）设 是实数，且是实数，则（ ） a 2 1 1 a i i a . . . .A1B 1 2 C1D 3 2 （文）已知全集，集合，则0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U 2 |980MxZ xx （ ） UM . . . .A0,9B0,1,8,9C2,3,4,5,6,7D1,2,3,4,5,6,7,8 2.（理）设集合,|3 ,(,0) t PmR mt ,则（ ） 1 3 |log,(0,1)QmR mt t . . . APQBQPCPQ .DPQ （文）已知是第三象限角，并且，则等于( ) 4 sin 5 tan . . . .A 3 4 B 4 3 C 3 4 D 4 3 3设是等差数列的前项和，,则的值为( ) n S n an 528 3()Saa 5 3 a a . . . . 5 6 A 1 6 B 1 3 C 3 5 D 4已知条件：，条件：直线与圆相切，则是的（ p3k q2ykx 22 1xypq ） .充分不必要条件 .必要不充分条件AB .充要条件 .既不充分又不必要条件CD 5某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取 90 名学生进行家庭情况调查，经过一段时 间后再次从这个年级随机抽取 100 名学生进行学情调查，发现有 20 名同学上次被抽到过， 估计这个学校高一年级的学生人数为（ ） . . . .A180B400C450D2000 6若在处连续，且时，则（ ）( )f x0 x 0 x 3 11 ( ) 11 x f x x (0)f . . . .A1B 2 3 C0D 3 2 （文）设函数，且的图象过点，则（ ）2)( axxf)( 1 xfy ) 1 , 2( )( 1 af A B C D 2 3 3 4 4 3 3 2 7.已知函数，方程有 6 个不同的实根，则实数的取值范围 2 ( )2|f xxx|( )|f xaa 是（ ） . . . .A1a B10a C01aD1a 8双曲线与椭圆的离心率之积大于 ，则以1 2 2 2 2 b y a x 22 22 1(0,0) xy amb mb 1 为边长的三角形一定是（ ）, ,a b m .等腰三角形 .锐角三角形 .直角三角形 .钝角三角形ABCD 9若向量，且，则的最小值为（ ）( , ),( , )am n bp q 5,3mnpq|ab . . . .A4B4 2C6 2D8 10在正三棱锥中，为的中点，为的中心，则SABCESAFABC2SABC 直线与平面所成角的正弦值为（ ）EFSAB . . .A 3 6 4 B 2 6 3 C 6 3 D 2 6 9 11.来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行北京奥运会的一号、二号和三号场地 的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有 （ ） .种 .种 .种 .种 A12B48C90D96 12 （理）给定错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。 ，定义使乘积错误！嵌入对象无效。 错误！嵌入对象无效。为整数的 叫做理想数，则区间错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。内的所有理想数的和为 ( )()k kN . . . . A2026B2016C2009D2008 （文）设函数 ，给出下列四个命题：当时，是奇函( )|f xx xbxc0c ( )yf x 数；当时，方程只有一个实根；函数的图象关于点0,0bc( )0f x ( )yf x 对称；方程至多有两个实根其中正确命题的个数为（ ）(0, )c( )0f x . 个 .个 .个 .个A1B2C3D4 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分请把答案填在答题卷上） 13函数的最小正周期为 . 2 ( )1 2cos 2f xx 14已知满足条件的平面区域的面积是,则实数 . 2 50 20 xy ya xx 5a 15设为的展开式中项的系数，则数列的前项和为 . n a 1* (1)() n xnN 2 x n a12 16为棱长为 的正方体表面上的动点，且，则动点的P1 1111 ABCDABC D2AP P 轨迹的长度为_. 三、解答题（本大题共 6 小题，满分 74 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17.（本小题满分 12 分） 已知，为坐标原点.(2,0), (0,2),(cos ,sinABC）O （），求的值； 1 3 ACBC sin2 （）若且，求的夹角.|7,OAOC (,0) OBOC 与 18. ( 本小题满分 12 分) 某地机动车驾照考试规定：每位考试者在一年内最多有次参加考试的机会，一旦某次3 考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第三次为止，如果小王 决定参加驾照考试，设他一年中三次参加考试通过的概率依次为.0.6,0.7,0.8 （理） （）求小王在一年内领到驾照的概率； （）求在一年内小王参加驾照考试次数的分布列和的数学期望. （文） （）求小王在第三次考试中通过而领到驾照的概率； （）求小王在一年内领到驾照的概率 19.（本小题满分 12 分） 如图，等腰梯形中，于，于， 12 ABPP 21 ABP PA 12 BCPPC 12 ADPPD ，将和分别沿着和折起，使重合2ABBC 2 6AP 2 P AD 1 PBCADBC 21 ,P P 于一点，与交于点,折起之后：PACBDM （）求证：平面平面；PBC PAD （）求异面直线和所成的角；PDAC （） （理）求二面角的大小.APMB 20. （本小题 12 分） （理）已知函数.txexf x )1ln()( A AB P1 P2CD B C D P M （）求的单调区间；)(xf （）当时，记，求的最大值.01t min ( )f x)(t( ) t （文）已知函数. 32 ( )4()f xxaxaR （）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，求的值； )(xfy (1,(1)Pf 4 a （）设的导函数是，在（）的条件下，若，求( )f x( )fx,1,1m n 的最小值( )( )f mfn 21. （本小题 12 分） 已知数列的前项的和为,对一切正整数都有. n an n Sn 2 2 nn Sna （）求数列的通项公式； n a （） （理）当,证明:.nN 1 1117 2122212 nnn aaa （文）若，证明：. * 21( ) 3 n n a n bnN 12 1 3 n bbb 22(本小题满分 14 分) 过双曲线的右焦点的直线与右支交于两点，且线段的长1: 22 yxC 2 F,A B 22 ,AF BF 度分别为., ,m n mn （）求证：；1mn （）当直线的斜率时，求的取值范围.AB 5,3k n m 参考答案及评分标准 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 123456789101112 答案( )C B( )A BDAC( )D ACDBDB( )A C 二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 13 14 15 16 2 7 2 364 3 4 三、解答题 17(本小题满分 12 分) 解：（）， (cos2,sin )AC (cos ,sin2)BC 由，得 1 3 ACBC 2 cossin 3 两边平方：=，= 6 分 1 sin2 4 9 sin2 5 9 （），(cos2,sin )OAOC |7,OAOC ，解得， 22 (cos2)sin7 1 cos 2 又， ，(,0) 3 sin 2 ， 13 ( ,) 22 OC 3OB OC 设的夹角为，则，OBOC 与cos 3 2 5 6 即的夹角为. 12 分OBOC 与 5 6 18. (本小题满分 12 分) 解：（理） （）小王在一年内领到驾照的概率为: （ 4 分）1 (1 0.6)(1 0.7)(1 0.8)0.976P （）的取值分别为 1，2，3. ，(1)0.6P(2)(1 0.6) 0.70.28P （ 8 分）(3)(1 0.6) (1 0.7)0.12P 所以小王参加考试次数的分布列为： 123 P0.60.280.12 所以的数学期望为 12 分1.52E （文） （）小王在第三次考试中通过而领到驾照的概率为： 6 分(1 0.6) (1 0.7) 0.80.096P （）小王在一年内领到驾照的概率为: 12 分1 (1 0.6)(1 0.7)(1 0.8)0.976P 19(本小题满分 12 分) （）证明：由已知得，所以，即，2,2PCPDCD 0 90CPDPCPD 又， 平面PDAD|ADBCPDBCPD PBC 平面平面.4 分（文 6 分）PBC PAD （）解：设的中点为，连接，则，PBNMNPDNM 是异面直线和所成的角或其补角CMNPDAC 由（）知，在中，MNCNRt CMN2CM 2 2 MN .60OCMN 所以异面直线和所成的角为.8 分（文 12 分）PDAC 0 60 （） （解法一）由已知得四边形是正方形，ABCD 又，,CMDMPCPDPMCPMD 过点做于，连接，则，CCEPMEDEDEPM 则即二面角的平面角， CEDAPMB 在中，所以，PMC2PMPCCM 6 2 CEDE 又，由余弦定理得，2CD 1 cos 3 CED 所以二面角的大小为12 分APMB 1 arccos 3 （解法二）向量法 设为的中点，则，以为坐标原点，OCDPOCDPOOM，O 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，OMOCOP、xyz、 则，(0 01)(010)PC，(10 0)(210)(210)MBA， (110)( 101)MBMP ， 设平面的法向量PMB 1 (1, , ),ny z 由得由得所以 1 0,n MB 1,y 1 0,n MP 1,z 1 (1, 1,1),n 同理得平面的法向量PMA 2 (1,1,1),n ， 12 12 12 1 cos, 3| n n n n nn 所以所求二面角的大小为12 分 1 -arccos 3 20(本小题满分 12 分) 解：（理） （） (1) ( ) 11 xx xx et et fxt ee 当时，.0t ( )0fx( )f xR的递增区间为 当), 1 (ln, 1 ln0)(10 t t t t xxf，t递增区间为得令时 ) 1 ln,( 1 ln0)( t t ， t t xxf 递减区间为得令 6 分Rxfxf，t的递减区间为时当)(, 0)(1 （）当时，由（）的讨论可知(0,1)t( )(ln)ln(1)ln() 111 ttt tft ttt 即 1 ( )lnlnln(1)ln(1)ln(1) 1 tttttttt t ( )(1)ln(1)ln (01)tttttt 11 ( )ln(1)(1)ln1ln 1 t tttt tt 得 1 ( )0 2 tt令得 11 0( )0,( )(0, ) 22 ttt 当时,在上递增 11 1( )0,( )( ,1) 22 ttt 当时,在上递减 12 分 max 11111 ( )( )lnlnln2 22222 t （文） （） 2 ( )32fxxax 据题意，(1)tan1 4 f 4 分321,2aa 即 （）由（）知, 32 ( )24f xxx 32 ( )24f mmm 则 2 ( )34fmmm m1( 1,0)0(0,1)1 ( )fm7 01 ( )f m 1A4A3 对于，最小值为 8 分1,1m ( )f m(0)4f 的对称轴为，且抛物线开口向下， 2 ( )34fnnn 2 3 x 时，最小值为与中较小的，1,1n )(x f ( 1)f (1) f ，(1)1,( 1)7ff 当时，的最小值是-7.1,1n ( )fn 的最小值为-11. 12 分( )( )f mfn 21(本小题满分 12 分) 解：（） 22 1 1 1 2222 nn nn aann SS （） ， 1 111 21 21 222 nn nnnnn aan aSSaan ，即 1 1 nn anan （）（） 令，则， nn ban 1nn bb 1 1 ( 1)n n bb ， 1 111 1 1 22 a aSa又得 11 10ba 6 分0 nn ban，即 （） （理）证明： 111 ( )(*) 122 f kkN kkk 构造 111111 (1)( )()() 2322122 f kf k kkkkkk 11 0 2122kk ( )f kk关于是递增的, 又，22(*) n nN(2 )(2) n ff 1 111117 (2 )(2) 212223412 n nnn ff 的最小值为 12 分 1 111 21222 nnn 7 12 （文）证明：由（）知： * 21( ) 3 n n n bnN 记 12 23 13521 3333 nn n n Sbbb 用错位相减法求和得： 1 1 3 n n n S 令， 1 3 n n n c 1 1 1221 0 333 nn nnn nnn cc 数列是递减数列， n c 1