MatLab中的矩阵.doc

MatLab中的矩阵我们知道,求解线性方程组是线性代数课程中的核心内容,而矩阵又在求解线性方程组的过程中扮演着举足轻重的角色。下面我们就利用科学计算软件MATLAB来演示如何使用矩阵,同时,也使学生对线性代数的认识更加理性。一、矩阵的构造在MatLab中,构造矩阵的方法有两种。一种是直接法,就是通过键盘输入的方式直接构造矩阵。另一种是利用函数产生矩阵。例1.利用pascal函数来产生一个矩阵A=pascal(3)A=1 1 1 1 2 3 1 3 6 例2.利用magic函数来产生一个矩阵B=magic(3)B=8 1 6 3 5 7 4 9 2 例3.还可以利用函数产生一个4*3的随机矩阵c=rand(4,3)c= 0.9501 0.8913 0.8214 0.2311 0.7621 0.4447 0.6068 0.4565 0.61540.4860 0.0185 0.7919例4.利用直接输入法可产生列矩阵、行矩阵及常数u=3;1;4u=3 1 4 v=2 0 -1v=2 0 -1 s=7s=7二、矩阵的基本运算1、四则运算例5.矩阵的加法X=A+BX=9 2 74 7 105 12 8例6.矩阵的减法Y=X-AY=8 1 6 3 5 7 4 9 2 注: 若二个矩阵的大小不完全相同，则会出错！例如,X=A+u? Error using = plusMatrix dimensions must agree。例7.矩阵的乘法X=A*BX=15 15 1526 38 2641 70 39注: 若第一个矩阵的列数和第二个矩阵行数不相同,这两个矩阵就不可以相乘。例如,X=A*v? Error using = mtimesInner matrix dimensions must agree。在MATLAB中,矩阵的除法有两个运算符号,分别为左除“”与右除“/”,矩阵的右除运算速度要慢一点,而左除运算可以避免奇异矩阵的影响,它们的作用主要用于求解线性方程组,我们在后面会涉及到矩阵的除法。2、矩阵的转置、逆运算及行列式运算与线性代数中一样,矩阵的转置只需用符号“,”来表示即可。例8.求矩阵B的转置X=BX=8 3 4 1 5 9 6 7 2 线性代数中求矩阵逆的运算非常复杂,而在MATLAB中,矩阵的逆运算只需要函数“inv”来实现,这大大简化了计算过程。例9.求矩阵A的逆X=inv(A)X=3 -3 1-3 5 -21 -2 1在MATLAB中,求矩阵的行列式大小,可用函数“det”实现。例10.求矩阵A的行列式X=det(A)X=1注: 在求矩阵的逆和行列式时,一定要求矩阵是一个方阵,否则会出错!例如,X=inv(u)? Error using = invMatrix must be square。再如,X=det(u)? Error using = detMatrix must be square。三、矩阵的常用函数运算1.矩阵的特征值运算在线性代数中,计算矩阵特征值及特征向量的过程相当麻烦,但在MATLAB中,矩阵特征值运算只需要函数“eig”或“eigs”即可。例11.求矩阵A的特征值及特征向量b,c=eig(A)b= -0.5438 -0.8165 0.1938 0.7812 -0.4082 0.4722 -0.3065 0.4082 0.8599c= 0.1270 0 0 0 1.0000 0 0 0 7.8730上例中的b、c矩阵分别为特征向量矩阵和特征值矩阵。2.矩阵的秩运算矩阵的秩在求解线性方程组中应用非常广泛,而在线性代数中计算矩阵的秩也非常复杂,但在MATLAB中,矩阵的秩只需要用函数“rank”即可。例12.求矩阵A的秩x=rank(A)x=33.矩阵的正交化运算在MATLAB中,矩阵的正交化运算可由函数“orth”计算得到。下面的例子用来求矩阵的一组正交基,有了正交基就可以对矩阵进行正交化了。例13.求矩阵A的正交基x=orth(A)x= -0.1938 0.8165 0.5438 -0.4722 0.4082 -0.7812 -0.8599 -0.4082 0.30654.矩阵的迹运算矩阵的迹是指矩阵主对角线上所有元素的和,在MATLAB中,矩阵的迹可由函数“trace”计算得到。例14.求矩阵A的迹x=trace(A)x= 9四、特殊矩阵的生成MATLAB中提供了几个特殊矩阵,主要包括如下:1.空矩阵空矩阵用“”表示,空矩阵的大小为零,但变量名存在于工作空间中。例15ans= 2.单位矩阵在MATLAB中,单位矩阵可用函数“eye(n,m)”实现,其中n表行数,m表列数。例16x=eye(4,3)x= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 03.全部元素为1的矩阵在MATLAB中,全部元素为1的矩阵可用函数“ones(n,m)”实现。例17x=ones(4,3)x= 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 14.全部元素为0的矩阵在MATLAB中,全部元素为0的矩阵可用函数“zeros(n,m)”实现。例18x=zeros(4,3)x= 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 05.魔方矩阵魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。MATLAB提供了求魔方矩阵的函数“magic(n)”，其功能是生成一个n阶魔方阵。例19x=magic(3)x= 8 1 6 3 5 7 4 9 26.伴随矩阵在MATLAB中,某个矩阵的伴随矩阵可用函数“compan(A)”实现。例20u=1 0 -7 6;x=compan(u)x= 0 7 -6 1 0 00 1 0注: 函数compan()中的变量必须是向量形式,而不能是矩阵。7.随机矩阵随机矩阵在数理统计的研究中非常重要,它们表示元素服从某个分布如均匀分布、正态分布的矩阵。在MATLAB中,随机矩阵可用函数“rand(n,m)”实现。例21x=rand(4,3)x= 0.9501 0.8913 0.8214 0.2311 0.7621 0.4447 0.6068 0.4565 0.61540.4860 0.0185 0.79198.帕斯卡矩阵我们知道，二次项展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵,函数pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩