测量误差及数据处理(上课版).ppt

1/center/,误差理论课总纲,一,注意事项与课程安排,一,三,误差分析与数据处理,二,1/center/,误差分析与数据处理,1/center/,测量与误差的基本内容,1/center/,对某些物理量的大小进行测定，实验上就是将此物理量与规定的作为标准单位的同类量或可借以导出的异类物理量进行比较，得出结论（得出他们的倍数关系），这个比较的过程就叫做测量。选来作为标准的同类量称之为单位，这个倍数关系称为测量数值，比较的结果记录下就成为实验数据。例如，物体的质量可通过与规定用千克作为标准单位的标准砝码进行比较而得出测量结果（同类比较）；物体运动速度的测定则必须通过与二个不同的物理量，即长度和时间的标准单位进行比较而获得（异类比较）。国际上规定了七个物理量的单位为基本单位。其它物理量的单位则是由以上基本单位按一定的计算关系式导出的。因此，除基本单位之外的其余单位均称它们为导出单位。如速度以及经常遇到的力、电压、电阻等物理量的单位都是导出单位。,测量,1/center/,按照测量结果获得的方法来分，可将测量分为直接测量和间接测量两类。直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果。如用米尺测量物体的长度，用天平称量物体的质量，用电流表测量电流等，都是直接测量。间接测量就是借助函数关系由直接测量的结果计算出所谓的物理量。例如已知了路程和时间，根据速度、时间和路程之间的关系求出的速度就是间接测量。,测量分类,1/center/,误差（一）,误差的表示方式有绝对误差和相对误差之分。物理量在客观上有着确定的数值，称为真值。测量的目的就是为了得到被测物理量所具有的客观真实数据，但由于受测量方法、测量仪器、测量条件以及观测者水平等多种因素的限制，只能获得该物理量的近似值，也就是说，一个被测量值N与真值N0之间总是存在着这种差值，这种差值称为测量误差（简称误差），即N=N-N0显然误差N有正负之分，因为它是指与真值的差值，常称为绝对误差。注意，绝对误差不是误差的绝对值！设某个物理量真值为x0，进行n次等精度测量，测量值分别为x1，x2，.xn，（测量过程无明显的系统误差）。它们的误差为x1=x1x0x2=x2x0:xn=xnx0,1/center/,误差（三）,根据误差的性质和产生的原因，可分为系统误差和随机误差。,1/center/,系统误差与随机误差,系统误差定义与来源系统误差处理办法,随机误差的定义随机误差的特点随机误差的来源与处理方法标准偏差精密度、准确度和精确度,1/center/,系统误差定义与来源,定义：系统误差是指在同一被测量得多次测量过程中保持恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量。系统误差的特征是具有一定的规律性。来源：仪器误差。它是由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用仪器而造成的误差；理论误差。它是由于测量所依据的理论公式本身的近似性，或实验条件不能达到理论公式所规定的要求，或测量方法等所带来的误差；观测误差。它是由于观测者本人生理或心理特点造成的误差。环境条件。在测量过程中，若环境温度升高或降低，使测量值按一定规律变化，是由于环境因素变化引起的误差。举例：用落球法测量重力加速度，由于空气阻力的影响，多次测量的结果总是偏小，这是测量方法不完善和环境条件造成的误差；用停表测量运动物体通过某一段路程所需要的时间，若停表走时太快，即使测量多次，测量的时间t总是偏大为一个固定的数值，这是仪器不准确造成的误差。,1/center/,随机误差的定义,定义：在实际测量条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值符号的变化，时大时小、时正时负，以不可预定方式变化着的误差叫做随机误差，有时也叫偶然误差。随机误差的出现就某一测量值来说是没有规律的，其大小和方向都是不可预知的，但对一个量进行足够多次测量，则发现它们的随机误差是按一定的统计规律分布的，即正态分布（Gauss分布）规律。,f（x）：表示测量误差x出现的概率；x：表示测量误差（测量值与真值之差）；：即单次测量的标准偏差。,随机误差的正态分布函数：,1/center/,随机误差的特点,特点：绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大（单峰性）；绝对值相等的正负误差出现的概率相同（对称性）；绝对值很大的误差出现的概率趋于零（有界性）；误差的算术平均值随着测量次数的增加而趋于零（抵偿性）。因此，增加测量次数可以减小随机误差，但不能完全消除。,1/center/,随机误差的来源与处理方法,来源：实验中各种因素的微小变动引起的。实验装置和测量机构在各次调整操作上的变动性；测量仪器指示数值的变动性，以及观测者本人在判断和估计读数上的变动性；测量环境扰动变化以及其他不能预测不能控制的因素，如空间电磁场的干扰，电源电压波动引起测量的变化等。处理方法：在多次测量时，正负随机误差可以大致相消，因而用多次测量的算术平均值表示测量结果可以减小随机误差的影响；测量值的分散程度直接体现随机误差的大小。可以用标准偏差Sx来表示测量的随机偏差和一列测量值的分散性与精密度。,1/center/,标准偏差,定义：把n个残差求平方和，除以n-1再开方，就叫做一列测量中单次测量的标准偏差Sx。贝塞尔(Bessel)公式：,意义：,大量的测量误差分布服从正态分布函数f(x)。(即Sx)可以表示测量值偏离真值大小的程度。测量误差在(-,+)内的概率为68.3%；测量误差在(-2,+2)内的概率为95.4%；测量误差在(-3,+3)内的概率为99.7%。,1/center/,测量结果的评定和不确定度,测量结果的完整表示不确定度的定义不确定度的分类,直接测量结果的表示总不确定度的估计,间接测量量与直接测量量的关系间接测量结果的表示间接测量量的不确定度的合成,1/center/,不确定度的分类(一),1.测量结果的完整表示：X0，X0被测值；总不确定度，该式表示真值在(x0,x0+)范围之外的可能性或概率很小。2.不确定度的定义：是指由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度，是表示被测量的真值所处的量值范围的评定。,与误差的区别：误差(例如，x2-)有正负，表示测量结果与真值或近似真实值之间的差值；不确定度(例如，)是非负的，它表示以测量结果作为被测量真值的估计值时可能存在误差的范围，并且在这个范围内以一定的概率包含真值。,1/center/,不确定度的分类(二),3.不确定度的分类:参考国际计量委员会通过的BIMP实验不确定度的说明建议书INC-1(1980)的精神，普通物理实验的测量结果表示中，总不确定度从估计方法上可分为以下两类。A类分量（A）：多次重复测量用统计方法计算出的分量(这类不确定度服从正态分布规律，即具有随机误差的性质)。B类分量（B）：是指用非统计方法求出或评定的不确定度（这类不确定度具有系统误差的性质）。,1/center/,直接测量结果的表示和总不确定度的估计（一）,1.直接测量结果的表示：直接测量时被测量的量值x0一般取多次测量的平均值；若实验中有时只能测一次或只需测一次，就去该次测量值。最后表示直接测量结果中被测量的x0时，通常还必须将已定系统误差分量（即绝对值和符号都已确定的已可估算出的误差分量）从平均值或一次测量值中减去，以求得x0，即对已定系统误差分量进行修正。例如:螺旋测微计的零点修正;伏安法测电阻中电表内阻影响的修正;,1/center/,直接测量结果的表示和总不确定度的估计（二）,2.总不确定度的估计：只要测量次数n5，A=Sx。因为当B可以忽略不计时，可以简化为=A=Sx，这时被测量的真值落在x0Sx范围内的可能性（概率）已经大于或接近95%；在大多数情况下，普通物理实验中把仪器误差仪简化地直接当作总不确定度中的分量B。于是有直接测量的不确定度一般为：,如果因Sx(1/3)仪，或因估计出的对实验最后结果的影响甚小，或因条件受限制而进行了一次测量时，可简单地用仪器的误差仪来表示。,1/center/,间接测量结果的表示和不确定度的合成(一),间接测量量值,直接测量量值,各直接测量量的结果分别表示为,1.间接测量量与直接测量量的关系,1/center/,2.间接测量结果的表示：若将各个直接测量量的近似真实值代入函数表达式中，即可得到间接测量的近似真实值。,间接测量结果的表示和不确定度的合成(二),3.间接测量量的不确定度的合成：由于不确定度均为微小量，相似于数学中的微小增量，对函数式F（x,y,z,.）求全微分，即得,上式中dN,dx,dy,dz,均为微小量，代表各变量的微小变化，dN的变化由各自变量的变化决定。,1/center/,间接测量结果的表示和不确定度的合成(三),将前面全微分式中的微分符号d改写为不确定度符号，并将微分式中的各项求“方和根”，即为间接测量的合成不确定度。,当间接测量的函数表达式为积或商（或含和差的积商形式）的形式时，为了使运算简便起见，可以先将函数式F（x,y,z,.）两边同时取自然对数，然后再求全微分。,和差,1/center/,同样改写微分符号d为不确定度符号，再求其“方和根”，即为间接测量的相对不确定度。,间接测量结果的表示和不确定度的合成(四),积商,在一些简单的测量问题中，也可采用绝对值合成的方法，即,和差,积商,1/center/,有效数字及其运算法则的基本内容,1/center/,有效数字及其运算法则（一）,有效数字准确数字+存疑一位数字,1.定义：,例如：若用最小分度值为1mm的米尺测量物体的长度，读数值为5.63cm。其中5和6这两个数字是从米尺的刻度上准确读出的，可以认为是准确的，叫做准确数字（也可称可靠数字）。末尾数字3是在米尺最小分度值的下一位上估计出来的，是不准确的，叫做存疑数字（也可称欠准数字）。虽然是欠准可疑，但不是无中生有，而是有根有据有意义的，显然有一位欠准数字，就使测量值更接近真实值，更能反映客观实际。因此，测量值应当保留到这一位是合理的，即使估计数是0，也不能舍去。,1/center/,有效数字及其运算法则（二）,有效数字位数的多少，直接反映实验测量的准确度。有效数字位数越多，测量的准确度就越高。例如用不同精度的量具测量同一物体的厚度时，用钢尺测量d=6.2mm，仪器误差0.3mm，相对误差E=0.3/6.2=4.8%;用50分度的游标卡尺测量d=6.36mm，仪器误差0.02mm，E=0.02/6.36=0.31%;用螺旋测微计测量d=6.347mm，仪器误差0.004mm，E=0.004/6.347=0.063%。由此可见，有效数字多一位，相对误差E差不多要小一个数量级。因此，取几位有效数字是件严肃的事情，不能任意取舍！,1/center/,有效数字及其运算法则（三）,2.有效数字的记录：(1)有效数字的位数与小数点位置无关，单位改变时，有效数字的位数不应发生变化。(2)为表示方便，特别是对较大和较小的数值，常用10n的形式（n为一正整数），这样可避免有效数字写错，也便于识别和记忆，这种表示方法叫做科学记数法。用这种方法记数时，通常在小数点前只写一位数字，例如，地球的平均半径6371km可写作6.371106m，表明有四位有效数字。(3)表示测量值最后结果的有效数字尾数与不确定度的尾数一般要取齐。普通物理实验中不确定度一般取一位至两位就可以了，当不确定度的第一位数比较小（例如或）时，经常取两位，否则一般取一位。(4)相对误差一般取两位数。,1/center/,有效数字及其运算法则（四）,.有效数字的运算法则：(1)在计算过程中，对中间运算结果适当多保留几位，以免因过多截取带来附加误差。(2)若干个数进行加法或减法运算，其和或者差的结果的存疑数字的位置与参与运算各个量中的存疑数字的位置最高者相同。例如478.2+3.462=481.662=481.749.27-3.4=45.87=45.9,推论（）若干个直接测量值进行加法或减法计算时，选用精度相同的仪器最为合理。,1/center/,有效数字及其运算法则（五）,(3)用有效数字进行乘法或除法运算时，乘积或商的结果的有效数字的位数与参与运算的各个量中有效数字的位数最少者相同。例如834.523.9=19944.55=1.991042569.419.5=131.7641=132,推论（2）测量的若干个量，若是进行乘法除法运算，应按照有效位数相同的原则来选择不同精度的仪器。,(4)乘方和开方运算的有效数字的位数与其底数的有效数字的位数相同。例如(7.325)2=53.66,1/center/,有效数字及其运算法则（六）,(5)自然数1，2，3，4，.不是测量而得，不存在存疑数字。因此，可以视为无穷多位有效数字的位数，书写也不必写出后面的0，如D=2R，D的位数仅由直测量R的位数决定。(6)有效数字的修约遵循“四舍六入五凑偶”的原则。4，四舍，不进位。6，六入，进位。,若5后有不为0的数字，进位。,5,若5后全为0，凑偶,前一位是奇数，则进位。,前一位是偶数，不进位；,1/center/,数据处理的基本内容,1/center/,列表法,列表法是记录数据的基本方法。设计记录表格要求：1列表要简单明了，利于记录、运算处理数据和检查处理结果，便于一目了然地看出有关量之间的关系。2列表要标明符号所代表的物理量的意义。表中各栏中的物理量都要用符号标明，并写出数据所代表物理量的单位及量值的数量级要交代清楚。单位写在符号标题栏，不要重复记在各个数值上。3列表的形式不限，根据具体情况，决定列出哪些项目。有些个别与其它项目联系不大的数可以不列入表内。列入表中的除原始数据外，计算过程中的一些中间结果和最后结果也可以列入表中。4表格记录的测量值和测量偏差，应正确反映所用仪器的精度，即正确反映测量结果的有效数字。一般记录表格还有序号和名称。,1/center/,用作图法处理实验数据（一）,定义：在现有的坐标纸上用图形描述各物理量之间的关系，将实验数据用几何图形表示出来，这就叫做作图法。作图规则：（1）作图一定选择合适的坐标纸。当决定了作图的参量以后，根据函数关系选用直角坐标纸，单对数坐标纸，双对数坐标纸，极坐标纸等，本书主要采用直角坐标纸。,直角坐标纸,单对数坐标纸,双对数坐标纸,极坐标纸,1/center/,用作图法处理实验数据（二）,（2）选择合适的坐标分度值。要反映出测量值的有效数字。坐标纸的大小及坐标轴的比例应当根据所测得的有效数字和结果的需要来确定，原则上数据中的准确数字在图中应当标出。数据中的存疑数字在图中应当是估计的，要适当选择X轴和Y轴的比例和坐标比例，使所绘制的图形充分占用图纸空间，不要缩在一边或一角；坐标轴比例的选取一般间隔1,2,5,10等。这便于读数或计算，除特殊需要外，数值的起点一般不必从零开始，X轴和Y轴的比例可以采用不同的比例，使作出的图形大体上能充满整个坐标纸，图形布局美观、合理。（3）标明坐标轴。对直角坐标系，一般是自变量为横轴，因变量为纵轴，采用粗实线描出坐标轴，并用箭头表示出方向，注明所示物理量的名称，单位。坐标轴上表明所用测量仪器的最小分度值，并要注意有效位数。（4）标实验点。根据测量数据，用直尺和笔尖使其函数对应的实验点准确地落在相应的位置，一张图纸上画上几条实验曲线时。每条图线应用不同的标记如用“”、“”、“”或“”等符号标出，以免混淆。,1/center/,用作图法处理实验数据（三）,（5）连线。根据不同函数关系对应的实验数据点分布，把点连成直线或光滑的曲线或折线，连线必须用直尺或曲线板，如校准曲线中的数据点必须连成折线。由于每个实验数据都有一定的误差，所以将实验数据点连成直线或光滑曲线时，绘制的图线不一定通过所有的点，而是使数据点均匀分布在图线的两侧，尽可能使直线两侧所有点到直线的距离之和最小并且接近相等，有个别偏离很大的点应当应用异常数据的剔除中介绍的方法进行分析后决定是否舍去，原始数据点应保留在图中。在确信两物理量之间的关系是线性的，或所绘的实验点都在某一直线附近时，将实验点连成一直线。（6）写图名。作完图后，在图纸下方或空白的明显位置处，写上图的名称、作者和作图日期，有时还要附上简单的说明，如实验条件、从图线上得到的某些参数等，使读者一目了然。作图时，一般将纵轴代表的物理量写在前面，横轴代表的物理量写在后面，中间用“”联接。（7）最后将图纸贴在实验报告的适当位置，便于教师批阅实验报告。请参考“作图法处理实验数据的实例归纳”,1/center/,用作图法处理实验数据（例）,横轴坐标分度选取不当。横轴以3cm代表1V，使作图和读图都很困难。实际在选择坐标分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和读图，一般以1mm代表的量值是10的整数次幂或是其2倍或5倍。,错误图例,1/center/,电学元件伏安特性曲线,改正图例,用作图法处理实验数据（例）,1/center/,由图上不为实验点的A、B两点可得被测电阻R为：,计算斜率,电学元件伏安特性曲线,用作图法处理实验数据（例）,1/center/,曲线太粗，不均匀，不光滑。应该用直尺、曲线板等工具把实验点连成光滑、均匀的细实线。,错误图例,用作图法处理实验数据（例）,1/center/,改正图例,用作图法处理实验数据（例）,1/center/,图纸使用不当。实际作图时，坐标原点的读数可以不从零开始。,错误图例,用作图法处理实验数据（例）,1/center/,改正图例,用作图法处理实验数据（例）,1/center/,实验数据的直线拟合（一）,1.地位：作图法虽然在数据处理中是一个很便利的方法，但是在图线的绘制上往往会引入附加误差，尤其在根据图线确定常数时，这种误差有时很明显。为了克服这一缺点，在数理统计中研究了直线拟合问题（或称一元线性回归问题），常用一种以最小二乘法为基础的实验数据处理方法。由于某些曲线的函数某些曲线的函数可以通过数学变换改写为直线。例如,取对数,y与x呈指数关系,lny与x呈线性关系,因此，这一方法也适用于某些曲线型函数。,1/center/,实验数据的直线拟合（二）,.最小二乘法由观测值(xi，yi)可得出一条直线，只不过这条直线的误差可能很大，直线拟合。直线拟合的任务就是用数学分析的方法从这些观测值中求出一个误差最小的最佳经验式y=a+bx。,基本原理：如各观测值yi的误差互相独立且服从同一正态分布，当yi的偏差yi的平方和为最小时，得到最佳经验式。根据这一原理可求常数a和b。,(1)回归方程的确定,1/center/,实验数据的直线拟合（三）,根据极值原理，令S对a和b的偏导数为零，,由此得，,其解为,1/center/,(2)相关系数,r很接近，则实验数据的线性关系良好；r很趋近于，则实验数据很分散，非线性关系。,实验数据的直线拟合（四）,1/center/,逐差法是为了改善实验数据结果，减小误差影响由差值法的基础上发展来的，所以具有差值法的优点又具有逐差法的优点。例如求弹簧的倔强系数，根据虎克定律F=kx，等间距改变外力Fi，可以相应地得到不同的弹簧的伸长量xi，这时，每改变一次力，弹簧的改变量xi=xi+1-xi，力的改变量Fi=Fi+1-Fi=F，由于是等间距变化，所以力的改变量不变。如果测量6次数据，对弹簧的改变量按逐差法进行处理求平均值则可以得到：,逐差法（一）,1/center/,显然利用这样的处理方法来求平均值是不可取的。为了使其保持多次测量的优越性，对数据处理方法上作一些变化。把数据分为两组，即隔3项逐差，再取平均，则：,逐差法（二）,注意3Fi=Fi+3-Fi=3F，这样很容易得到结果，而且每一个数据都能用上。,1/center/,逐差法的应用条件在具备以下两个条件时，可以用逐差法处理数据:(1)函数可以写成x的多项式形式，即：y=a0+a1x+a2x2+a3x3实际上，由于测量精度的限制，3次以上逐差已很少应用。(2)自变量x是等间距变化，即：xi+1-xi=c式中c为一常数。,逐差法（三）,1/center/,实例讲解例题1,例题1.直接测量的数据处理用025mm的千分尺（螺旋测微计）测钢球的直径D，6次数据如下：,要求写出完整的实验结果。,解：求算术平均值,注意：按数据处理的规则，在计算过程中平均值可以暂时多取一位有效数字，目的是防止计算误差扩大化。,1/center/,求A类不确定度分量,求B类不确定度分量B，一般B=仪，查得,合成不确定度,1/center/,完整结果表示,D=（3.1240.004）mm,相对误差,1/center/,例题2.间接测量的数据处理,用千分尺测量圆柱体的体积，已求得直径为d=(3.4210.004)cm，高为h=(5.3160.004)cm，求体积V、不确定度V以及体积V的完整表示。,解：求体积V,注意：A.常数的有效数字应比测量值的有效数字多取一位，目的是让常数取值的误差忽略不计。B：体积V的有效数字应符合有效数字运算法则。,实例讲解例题2,1/center/,求不确定度V,由上述条件，可知d=0.004cm，h=0.004cm根据“积商”关系的间接测量量的不确定度公式，,则有,从而,且,1/center/,因此有,整理得V=0.12（cm3）,完整结果表示,注意：普通物理实验中不确定度一般取一位至两位就可以了，当不确定度的第一位数比较小（例如1或2）时，经常取两位，否则一般取一位。表示测量值最后结果的有效数字尾数与不确定度的尾数一般要取齐。表示测量值最后结果的有效数字尾数与不确定度的尾数一般要取齐。,1/center/,注意事项与课程安排,物理实验中心主要开设物理实验、预备性物理实验、专业物理实验、创新物理实验四类课程。其中物理实验是面向全院工科学生开设的必修基础实验课程。本学期物理实验考核办法：本学期实验成绩为7个实验的平均成绩。实验题目中有2个低于60分者直接为不及格。若有2次及2次以上旷课记录，则本学期成绩为不及格。本学期开设的物理实验题目如下：,1/center/,注意事项与课程安排,物理实验于第3周开始上课，第2周开始在物理实验中心的网站上选课，网址为,IP:1，信箱wlsyzx,QQ群：85579963具体选课方法请参照网页上的注意事项，选课密码是身份证号码后四位,字母用*代替，并请在预约时间到相应实验室上课，否则按旷课处理！,物理实验要求同学们使用规范的物理实验报告本，课前请尽早到教材科购买物理实