NOIP2010普及组第四题《三国游戏》解题报告.doc

NOIP2010普及组第四题三国游戏 解题报告 (sanguo.pas/c/cpp)【问题描述】小涵很喜欢电脑游戏，这些天他正在玩一个叫做三国的游戏。 在游戏中， 小涵和计算机各执一方， 组建各自的军队进行对战。 游戏中共有 N位武将 （N为偶数且不小于 4） ，任意两个武将之间有一个“默契值” ，表示若此两位武将作为一对组合作战时，该组合的威力有多大。游戏开始前，所有武将都是自由的（称为自由武将，一旦某个自由武将被选中作为某方军队的一员，那么他就不再是自由武将了） ，换句话说，所谓的自由武将不属于任何一方。游戏开始，小涵和计算机要从自由武将中挑选武将组成自己的军队，规则如下：小涵先从自由武将中选出一个加入自己的军队，然后计算机也从自由武将中选出一个加入计算机方的军队。接下来一直按照“小涵计算机小涵”的顺序选择武将，直到所有的武将被双方均分完。然后，程序自动从双方军队中各挑出一对默契值最高的武将组合代表自己的军队进行二对二比武，拥有更高默契值的一对武将组合获胜，表示两军交战，拥有获胜武将组合的一方获胜。 已知计算机一方选择武将的原则是尽量破坏对手下一步将形成的最强组合，它采取的具体策略如下：任何时刻，轮到计算机挑选时，它会尝试将对手军队中的每个武将与当前每个自由武将进行一一配对，找出所有配对中默契值最高的那对武将组合，并将该组合中的自由武将选入自己的军队。 下面举例说明计算机的选将策略，例如，游戏中一共有 6个武将，他们相互之间的默契值如下表所示（武将默契值关系表）双方选将过程如下所示 小涵想知道，如果计算机在一局游戏中始终坚持上面这个策略，那么自己有没有可能必胜？如果有，在所有可能的胜利结局中，自己那对用于比武的武将组合的默契值最大是多少？ 假设整个游戏过程中，对战双方任何时候均能看到自由武将队中的武将和对方军队的武将。为了简化问题，保证对于不同的武将组合，其默契值均不相同。【输入】输入文件名为 sanguo.in，共 N行。 第一行为一个偶数 N，表示武将的个数。 第 2 行到第 N 行里，第（i+1）行有（Ni）个非负整数，每两个数之间用一个空格隔开，表示 i 号武将和 i+1，i+2，N号武将之间的默契值（0 默契值 1,000,000,000）。【输出】 输出文件 sanguo.out 共 1或 2 行。 若对于给定的游戏输入，存在可以让小涵获胜的选将顺序，则输出 1，并另起一行输出所有获胜的情况中，小涵最终选出的武将组合的最大默契值。 如果不存在可以让小涵获胜的选将顺序，则输出 0。【输入输出样例1】sanguo.insanguo.out6 5 28 16 29 27 23 3 20 1 8 32 26 33 11 12132【输入输出样例说明1】 首先小涵拿走 5 号武将；计算机发现 5 号武将和剩下武将中的 4 号默契值最高，于是拿走 4 号；小涵接着拿走 3 号；计算机发现 3、5 号武将之一和剩下的武将配对的所有组合中，5 号和1 号默契值最高，于是拿走 1号；小涵接着拿走 2 号；计算机最后拿走 6 号。在小涵手里的 2，3，5 号武将中，3 号和 5 号配合最好，默契值为 32，而计算机能推出的最好组合为 1 号和 6 号，默契值为 27。结果为小涵胜，并且这个组合是小涵用尽所有方法能取到的最好组合。【输入输出样例2】sanguo.insanguo.out8 42 24 10 29 27 12 58 31 8 16 26 80 6 25 3 36 11 5 33 20 17 13 15 77 9 4 50 19 177 【数据范围】 对于 40%的数据有 N 10。 对于 70%的数据有 N 18。 对于 100%的数据有 N 500。 【解题思路】解答本题，必须看清题意，知道以下几点：1、 只需要选两次，由于比胜负靠的是双方武将中默契值最大的一对，所以除了默契值最大的一对，其他的武将都是没用的。并因为小涵先选，并且题目要求输出默契值尽量大的。所以必须两次定胜负，只要一开始选择最优方案，之后也就可以不用考虑了。2、 再深入分析，就会发现，小涵是输不了的。这是因为小涵永远掌握主动权，计算机一直都只是应付小涵，且大家可以举例证明小涵选一个将，计算机选走搭配默契值最大的武将，然后小涵选走默契值次大的武将，计算机把小涵选走的两个武将中剩下搭配方案里默契值最大的选走。到这里就已经定下了胜负。此时，如果计算机的最大默契值比小涵的小，那么毫无疑问小涵就赢了。而如果计算机的武将搭配默契值比小涵的大，那么小涵完全可以换方法选，从计算机的方案的角度选，得到更优方案。依此类推，必定能赢。所以无论如何，小涵总会赢，我们可以直接把那个“1”输出来。大家如果光看我的描述不能理解，可以自己举例子仿照样例画一张表，就能理解了。3、 逐步分析所有情况，会发现。在一个武将和其他所有武将的搭配方案中，默契值最大的是拿不到的。因为小涵不能一下选两个，计算机又要和小涵抢。得到默契值最大的搭配方案，那是不可能的，想都别想。但是，小涵也没有这么悲剧，这个游戏规则也有对小涵有利的一面。在一个武将和其他武将的搭配中，默契值次大的那对，小涵可以稳拿。因为计算机会死板地被默契值最大的那对引开。这样搭配后默契值次大的武将，小涵就可以轻而易举地获得。4、 让我们看一下上方题目里的武将默契值关系表。我们先读入一个和它一样的默契值关系方阵。然后枚举行（也就是先枚举武将i，然后考虑他和其他武将搭配的默契值情况），让计算机取掉最大值所在的列（计算机必定会取走搭配默契值最大的武将），然后让小涵取次大值所在的列（选择默契值次大的搭配方案）。但如果小涵先取列呢？那就是先枚举列，让计算机取走最大值所在的行，小涵再取次大值所在的行。实际上，没有这个必要，默契值关系方阵是沿对角线对称的，每一列都有一行和它对应，而且数据相同。所以就不必考虑列的情况，直接枚举行就可以了。想到这里，思路就出来了。搭配武将就可以简化成取次大的默契值。因为题目要求输出默契值最大的组合，并由于小涵只能选择默契值次大的组合。这个题目就简化成了求次大值中的最大值，也就是最大的次大值。【标准程序】var a:array1.500,1.500of longint; i,j,n,max1,max2,maxall:longint;beginassign(input,sanguo.in); assign(output,sanguo.out);reset(input); rewrite(output);readln(n); 以下这段是读入默契值 for i:=1 to n-1 do 读入武将i和其他武将搭配的默契值 for j:=i+1 to n do 只要读入序号在i之后的搭配默契值即可，否则会有重复 begin read(ai,j); aj,i:=ai,j; 读的是一个三角形，在读的时候转换成n*n的方阵（方阵沿对角线对称） end; maxall:=0; maxall用来存放次大值中的最大值 for i:=1 to n do 枚举武将i和其他武将搭配的情况 begin max1:=0;max2:=0; max1是武将i和其他武将搭配情况中的最大值，而max2是次大值 for j:=1 to n do 枚举武将i和武将j搭配的情况 if ji then 自己不能和自己搭配 begin if ai,jmax1 then 默契值i,j比最大默契值大的情况 begin max2:=max1; 最大值和次大值依次迭代掉 max1:=ai,j; 最大值变为次大值，然后取新的最大值 end; if