B--01--02----集合的概念与运算.doc

集合的概念与运算1（1）已知A=a+2, (a+1)2, a2+3a+3，且1A，求实数a的值（2）已知M=2, a, b, N=2a, 2, b2，且M=N，求a、b的值解：（1）由题意a+2=1或(a+1)2=1或a2+3a+3=1，解得a=-1或a=-2或a=0. 据元素的互异性可排除-1，-2a=0.（2）由题意或解得：或或。2设含有三个实数的集合可表示为a, a+d, a+2d，也可表示为a, aq, aq2，其中a、d、qR，求常数q.解：依元素的互异性可知，a0, d0, q0, q1. 由两集合相等，有（1）或（2） 由（1）得a+2a(q-1)=aq2，a0,q2-2q+1=0q=1（舍去）由（2）得a+2a(q2-1)=aq，a0, 2q2-q-1=0q=1或q=-q1，q=-综上所述，q=- 3含有三个实数的集合可表示为a, , 1，也可表示为a2, a+b, 0，求a2004+b2005的值。解：由集合中元素的确定性，得a, , 1=a2, a+b, 0。从而有0a, , 1。a0, =0，即b=0。将b=0代入式，得a, 0, 1=a2, a, 0。进而有a2=1, a=1。当a=1时，与集合中元素的互异性不符。a=-1时，b=0。故a2004+b2005=(-1)2004=1.4设全集U=2, 3, a2+2a-3, A=|2a-1|, 2, CUA=5，求实数a的值。解：CUA=5，则A(CUA)=U。 解得 a=2. 5设集合A=1, 3, a, B=1, a2-a+1，若BA,求AB解：由集合元素的互异性，知在A中，a1且a3，在B中，a2-a+11，即a0，且a0（1）如果a2-a+1=3，即a=-1或a=2则a=-1时，AB=1, 3, -1；a=2时，AB=1, 3, 2.（2）如果a2-a+1=a，即a=1，则不符合元素互异性，舍去（3）如果a-1且a2且a0且a1且a3，则AB=1, 3, a, a2-a+1.6若A=2, 4, a3-2a2-a+7, B=1, a+1, a2-2a+2, -(a2-3a-8), a3+a2+3a+7，且AB=2, 5，试求实数a的值解：AB=2, 5,a3-2a2-a+7=5,由此求得a=2或a=1当a=1时，a2-2a+2=1，与元素的互异性相矛盾，故应舍去a=1.当a=-1时，B=1, 0, 5, 2, 4，与AB=2, 5相矛盾，故又舍去a=-1.当a=2时，A=2, 4, 5，B=1, 3, 2, 5, 25，此时，AB=2, 5满足题设故a=2为所求7已知集合A=(x, y)|x2+mx-y+2=0和B=(x, y)|x-y+1=0, 0x2，如果AB，求实数m的取值范围。解：由消去y，得x2+(m-1)x+1=0. 。AB=，方程在区间0，2上至少有一个实数解。由0，得m-1，或m3. 当m-1时，由x1+x2=-(m-1)0及x1x2=10知，方程至少有一个根在区间0，2内，满足要求。当m3时，由x1+x2=-(m-1)0知，方程有两负根，不符合要求。综上，m的取值范围是m(-, -1.8已知集合。（1）若，求实数m的取值范围；（2）若，求实数m的取值范围。解：。（1）若，则，。（2）若，或，即或。9已知集合=。（1）若（）为两个元素的集合，求实数a;（2）（）为含三个元素的集合，求实数a 解：（1）（AB）C含两个元素 直线ax+y=1和x+ay=1与圆x2+y2=1各有一个交点且不重合，则满足条件，此时a=0；直线ax+y=1和x+ay=1重合，且与圆x2+y2=1有两个不同的交点，则满足条件，此时a=1；综上所述，a=0或a=1时，（AB）C为含两个元素的集合。（2）（AB）C含三个元素。显然a0,a1.直线ax+y=1和x+ay=1与圆x2+y2=1必须交于三个点，即两直线有一个交点在圆x2+y2=1上，且两直线与圆还各有一个交点。直线ax+y=1和x+ay=1关于直线y=x对称，三个交点为（，），（，），（）或（，），（，），（），此时。10已知集合A=x|x2+(a+2)x+1=0, xR, R+为正实数集合，若AR+=，求a的取值范围解：由AR+=知A中的元素为非正数，即方程x2+(a+2)x+1=0没有正数解 解得a0.上面这个结果是不完整的，上述的解答只注意到A为非空集合的情形，当A为空集时仍满足AR+=此时=(a+2)2-40，解得-4a-4.11已知三个集合A=x|x2-3x+2=0, B=x|x2-ax+a-1=0, C=x|x2-bx+2=0，问：同时满足BA，AC=A的实数a、b是否存在？若存在，求出a、b；若不存在，请说明理由解：A=x|x2-3x+2=0=2, 1,B=x|x2-ax+a-1=0=x|(x-1)x-(a-1)=0,又BA，a-1=1. a=2.AC=A, CA.则C中元素有以下三种情况：（1）若C=时，即方程x2-bx+2=0无实根=b2-80. -b.（2）若C=1或2时，即方程x2-bx+2=0有两个相等的实根. b2-8=0b=.此时C=或-不符合题意，舍去（3）若C=1, 2时，则b=1+2=3，而两根之积恰好为2综上所述，a=2, b=3或-b.12已知集合A=x|x2-4mx+2m+6=0, xR，若AR-，求实数m的取值范围解：设全集U=m|=(-4m)2-4(2m+6)0=m|m-1或m.若方程x2-4mx+2m+6=0的二根x1、x2均非负，则m|m，关于U的补集m|m-1即为所求13已知集合A=xx2+px+q=0，B=xqx2+px+1=0,A,B同时满足 AB,AB=2 求p、q的值 解 设x0A，x0是x02+px0+q=0的根 若x0=0，则A=2,0， p=2,q=0,B= 此时AB=与已知矛盾，故x00将方程x02+px0+q=0两边除以x02，得 即满足B中的方程，故B A=2,则2A,且2 设A=2,x0，则B=，且x02。（否则AB=） 若x0=，则2B,与2B矛盾 又由AB,x0=，即x0=1 即A=2,1或A=2,1 故方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根2，1或2，1。14集合A=x|x2ax+a219=0,B=x|log2(x25x+8)=1，C=x|x2+2x8=0,求当a取什么实数时，AB 和AC=同时成立 解 log2(x25x+8)=1,由此得x25x+8=2，B=2,3 由x2+2x8=0，C=2,4。又AC=2和4都不是关于x的方程x2ax+a219=0的解，而AB ,即AB,3是关于x的方程x2ax+a219=0的解，可得a=5或a=2 当a=5时，得A=2，3，AC=2，这与AC=不符合，所以a=5(舍去)；当a=2时，可以求得A=3，5，符合AC=，AB ，a=2 15函数的定义域为，的定义域为。 （1）求； （2）若，求 的取值范围。解：（1）。（2），由，得，则，即，。16已知全集I=R, A=x|x2-3x+20, B=x|x2-2ax+a0, aR，且AB=B，求a的取值范围解： AB=B，BA，化简A=x|1x2。 设y=x2-2ax+a.（1）当=(-2a)2-4a0，即0a0时，y=x2-2ax+a的图象与x轴有两个交点，BA，方程x2-2ax+a=0的两根位于1、2之间综合（1）（2）（3）得0a1.17. 已知（1）求及; (2)若,求解：由,则,或,或.又由不等式,得, 又由,得,（1）, ,或,（2）18已知不等式的解集为P （1）若P,求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使PZ=6,8,若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.解：(1) ，即(4x-6+2x+a+1)(4x-6-2x-a-1)0，(6x+a-5)(2x-a-7)-4。(2)若PZ=6，8,则，无解不存在满足要求的实数a 。19设关于x的不等式|x-a|2 （）的解集为A，不等式的解集为B。（I）求集合A，B； （II）若，求实数a的取值范围解：（I）由不等式|x-a|2，则-2x-a2，a-2xa+2。A=x|a-2xa+2。由不等式，即：(x-3)(x+2)0，解得：-2x3。B=x|a-2x3。(II)由，解得：0a1。即。20函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为，求使的实数的取值范围.解：，。则当时，；当时，B=R；当时，又，则，成立。，。综上所述：。21已知M=(x, y)|y2=2x, N=(x, y)|(x-a)2+y2=9，若 MN，求a的取值范围。解：考虑MN的充要条件是方程组至少有一个实数解，即x2+2(1-a)x+a2-9=0至少有一个非负根。由0得a5，又因为上述方程有两个负根的充要条件是x1+x20，即-2(1-a)0，解得a0知，方程只有负根，不符合要求 当m1时，由x1+x2=(m1)0及x1x2=10知，方程只有正根，且必有一根在区间(0，1内，从而方程至少有一个根在区间0，2内 故所求m的取值范围是m1 23设A=(x,y)|y2x1=0,B=(x,y)|4x2+2x2y+5=0,C=(x,y)|y=kx+b,是否存在k、bN,使得(AB)C=，证明此结论 解 (AB)C=，AC=且BC=。 ，k2x2+(2bk1)x+b21=0。AC=，1=(2bk1)24k2(b21)0，4k24bk+10, 即b21。，4x2+(22k)x+(5+2b)=0，BC=,2=(1k)24(52b)0，k22k+8b190, 从而8b20, 即b2 5， 由，及bN,得b=2，代入由10和20, 0,这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=10 如果AB,那么据(2）的结论，AB中至多有一个元素(x0,y0）,而x0=0,y0=0,这样的(x0,y0）A,产生矛盾，故a1=1,d=1时AB=，所以a10时，一定有AB是不正确的 25向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人 问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？解 赞成A的人数为50=30，赞成B的人数为30+3=33。记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B 设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30x，赞成B而不赞成A的人数为33x 依题意(30x)+(33x)+x+(+1)=50,解得x=21 对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人 26. 某中学高一（甲）班有学生50人，参加数学小组的有25人，参加物理小组的有32人，求既参加数学小组，又参加物理小组的人数的最大值与最小值。解：设既参加数学小组，又参加物理小组的有x人，仅参加数学小组的有人，仅参加物理小组的有（）人。至少参加一个组的有人。故两个组都参加的人数最大值为25，最小值为7。 27. 设S为满足下列两个条件的实数所构成的集合： （1）S内不含1; （2）若,则。 解答下列问题：若,则S中必有其它两个元素,求出这两个元素；求证:若,则；在集合S中元素的个数能否只有一个?请说明理由.解：（1）即, ,即.（2），。（3）假设S中只有一个元素,则有,即方程无实数解,集合S中不能只有一个元素.28 设集合A=x4x2x+2+a=0,xR （1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；（2）若对于任意aB，不等式x26xa(x2)恒成立，求x的取值范围解 (1)令2x=t(t0)，设f(t)=t24t+a 由f(t)=0在(0,+)有且仅有一根或两相等实根，则有；f(t)=0有两等根时，=0164a=0a=4；验证 t24t+4=0t=2(0,+)，这时x=1。f(t)=0有一正根和一负根时,f(0)0a0；若f(0)=0，则a=0，此时4x42x=02x=0（舍去），或2x=4,x=2，即A中只有一个元素。综上所述，a0或a=4，即B=aa0或a=4（2）要使原不等式对任意a(,04恒成立 即g(a)=(x2)a(x26x)0恒成立 只须x2。29设A=x2xa，B=yy=2x+3，且xA，C=zz=x2，且xA ，若CB，求实数a的取值范围 解 y=2x+3在2, a上是增函数，1y2a+3，即B=y1y2a+3。作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下 当2a0时，a2z4，即C=za2z4，要使CB,必须且只须2a+34，得a与2a0矛盾 当0a2时，0z4，即C=z0z4，要使CB，由图可知 必须且只需，解得a2。当a2时，0za2，即C=z0za2，要使CB，由图可知 必须且只需，解得2a3。当a2时，A=此时B=C=，则CB成立 综上所述，a的取值范围是(,2),3 30设f(x)=x2+px+q, A=x|x=f(x), B=x|ff(x)=x.（1）求证：AB；