Lebusgue测度与积分论.doc(1).doc

用集合分析法建立积分论框架摘要 在实变函数的理论体系及应用方式中，集合分析法都占有不可磨灭的地位。本文通过两条主线：理论线和应用线阐述了集合分析法的在实变函数中的具体作用，从而给实变函数找到了一条更加清晰的发展脉络，并使得它的应用更具可操作性。关键词：集合、分析、构造、黎曼积分、勒贝格测度、勒贝格积分Lebusgue Measure and Calculus TheoryLi Suwen Hao Huiwei（College of math. and computer science, Hebei university, Baoding,071002）Abstract: This paper discussing the emerging of the real function at the very beginning, mainly discusses the basic role of measure theory in real function theory. Elaborate the meaning of Caratheodory definition in practical use. Lebusque calculus theory is the further use of Riemann calculus, and as a new analysis tool, it overcomes many difficulties in using Riemann calculus theory, thus, elaborating the superiority over others in practical using.Key words: Jordan measure , Riemann calculus , Lebusgue measure , Measurable function, Lebusgue calculus作为近代积分论的基础，测度在其它数学分支如：泛函分析、概率论、复变函数等方面也有广泛的应用。而测度适用于更广泛的集合类，人们当然想到了如果把积分概念置于集合测度理论的框架之中，那么，集合的测度与可测性的推广将意味着函数的积分与可积性的推广。法国数学家勒贝格引入了勒贝格测度这一概念，使积分理论从黎曼积分发展到勒贝格积分，从而克服了传统积分理论的许多缺陷，如扩充了所研究函数的范围和极限的意义，从而推广了传统的微积分理论，创立了实变函数论。从实变函数的整个框架结构中，我们看到测度的推广是整个结构的核心，而卡氏定义的给出，正是完成这个推广的关键，卡氏定义的给出过程是充分结合新测度的特征，并完全具有新定义理论架构必须更便捷和好操作的特点。（一）从约当测度到勒贝格测度带来积分论的革命我们知道测度概念就是人们原本所熟悉的长度、面积、体积的推广。在求面积、体积问题上，数学分析比初等几何大大前进了一步。它能够对相当广泛的一类平面或空间图形定义并计算它的面积或体积，例如曲线下的曲边梯形的面积可通过积分来定义：。又如对于更一般的平面点集当其特征函数 黎曼可积时，的面积可通过二重积分来定义：。其中为包含的矩形。所有这些可以不依赖于积分概念而在点集论的基础上直接加以定义，而且反过来为黎曼积分服务。因此约当测度可以说是黎曼积分的集合基础。它的具体方式为：不妨设为一有界点集，对于每一组覆盖的开区间(是任一自然数), ,各作出它们的体积总和，而不同的区间组一般有不同的，所有这些显然构成一个下方有界的数集，它的下确界由完全确定，称为的约当外测度。记为。另外对于每一组含于互不相交的开区间(是任一自然数), ，各作出它们的体积总和，而不同的区间组一般有不同的，所有这些构成一个上方有界的数集，它的上确界由完全确定，称为的约当内测度，记为 。如果=，则称为约当可测，记为，即=若设为一区间且有，定义的特征函数：=。我们可以得出有界点集约当可测的充要条件是在一包含的区间上黎曼可积，且。约当测度的性质（可加性）：设A，B为约当可测集且无公共内点，则。（二）Caratheodory定义使得测度的推广简洁完美由约当可测集及其测度的性质易知：任意有限多个约当可测集的并集仍为约当可测，且当它们互不相交时有，但对于一列约当可测集来说，一般就不能保证并集的约当可测性，即使它有界。例如0，1中全体有理点，虽然每点都约当可测，但其并不是约当可测的，即约当测度只满足有限可加性，由于约当测度与黎曼积分的密切关系，约当测度的这种局限性也反映到黎曼积分上来。如a,b上任意有限多个黎曼可积函数的和仍为黎曼可积，且。但对于一列黎曼可积函数来说，即使有界，一般仍不能保证的黎曼可积性。因此，将约当测度扩充为一个具有可数可加性的测度就成为必然。自然而然，人们能采用的定义过程是这样的定义1 ：设E为中任一点集，对于每一列覆盖E的开区间，作出它的体积总和（可以等于，不同的区间列一般有不同），所有这一切的组成一个下方有界的数集，它的下确界（由E完全确定）称为E的勒贝格外测度，简称L外测度或外测度，记为。从约当外测度到勒贝格外测度，我们有如下发现：不仅点集E由有界集变成了任一点集，更重要的是前者只是采用了有限多个开区间作覆盖，而后者却采用了可数多个开区间作覆盖，这一“量变”就产生了深刻的“质变”是勒贝格外测度具有了次可列可加性： 。有了的的一个上界，即E的外测度，现在再定义的一个下界。定义2 ：设E为Rn中有界集，I为任一包含E的开区间，则|I|（IE）称为E的内测度，记为。这样，对于中所有满足的有界集就一定有。定义3 ：设E为Rn中有界集，如果，则称E是L可测的。又设E是Rn中的无界集，如果对任何开区间I，有界集EI都是L可测的，则称E是L可测的。对于L可测集E，不管它有界或无界一律称E为它的L测度，简记为mE。以上是勒贝格原来下的定义。由于定义中有界集与无界集受到不同的对待而且同时出现内外两种测度，而且内测度还是由外测度辅助给出的定义，使用起来很不方便。从这里可知，外测度在这里是关键，当给出外测度以后，可以转而去寻找使得内外测度相等的条件， 因此Caratheodary给出了更为简洁的卡氏定义。卡氏定义： 设E为中的点集，如果对于任一点集T都有，则称E是勒贝格可测的。这时E的勒贝格外测度即称为E的勒贝格测度，记为mE。卡氏定义的本质就在于用这种方式给出来的测度能够顺利的导出测度具有可列可加性，之所以能够达到这个目的完全是因为这个定义本身所具有的特征，从定义中我们可以看到，任意点集T被集合E划分成两部分和后其外测度都是这两部分外测度的和。 卡氏定义不仅在理论上是整个函数论的灵魂，它的应用在整个测度部分也是至关重要的，这一点从后续一系列定理的证明上就可见一斑。首先我们来看一个和卡氏定义等价的定理及其证明：集合E可测的充要条件是对于任意，总有证明：必要性：取，则，所以。充分性：对任意T，令，且,因此在以上证明中可以看到卡氏定义除了在于刚才阐述的特征之外，还在于当我们知道一个集合可测时，这里的T的任意性，使得我们可以由此得到好多我们所要的结论，也使得作为一种科学工具它让使用者具有更大的乐趣。有了卡氏定义，勒贝格测度的性质证明就变得十分顺利、简便。其主要性质如下：定理1：设是一列互不相交的可测集，则也是可测集，且。由此可见，勒贝格测度是约当测度的扩充和推广。勒贝格测度推广的思路：内测度等于外测度，故只须使用外测度。推论1：设Si(I=1,2,n)都可测,则也可测,并且当SiSj=(ij)时对于任意集合T,总有T ()=(T Si)定理2：设Si是一列互不相交的可测集,则也是可测集，且m（）=（1）证明:首先证明的可测性，由推论1，对任何n,可测，故对于任意的T总有：T=T()+ TC()T()+ TC()(外测度单调性)=(推论1)令n得，T (2)，（次可加性），故有TT()+ TC() 另一方面由于T=，又有:T T()+ TC()因此，T =T()+ TC()这就证明了的可测性.在(2)式中,令T=,这时由于()Si= Si,，便得m(),另一方面由外测度性质(3)有m(),故(1)式成立 通过观察以上性质的证明我们可以看到，卡氏定义应用的两个方面，一方面它具有外测度的次可加性；另一方面我们可以对具体的集合去构造另一个方向的不等关系，这可以用集合的一些知识来达到。（三）勒贝格测度带来积分论应用范围的极大拓展勒贝格测度对积分论的贡献主要从两个方面来体现：1测度的给出，极大的扩充了集合类，使得象（0，1）中的有理数集合，Cantor集合等原来在约当测度定义下的不可测集合等变得L可测，并且用卡氏定义使得可测集合类能够变得更明确，并且使得L不可测集合也能有办法用可测集合逼近或者替代。2勒贝格进一步去定义了一类函数勒贝格可测函数，勒贝格可测函数的定义是把它转化为一系列集合的可测。我们都知道函数的两大要素是定义域和对应法则，在对应法则确定的情况下，一个函数只取决于它的定义域，因此上一个函数的可测也就可以通过定义域的子集的可测来达到，在这里勒贝格是如下定义的：设是定义在可测集E上的函数，若对于任意的实数，集合都是可测集，则称函数是集合E上的可测函数。这样作为积分论的两大基础，集合和函数的准备条件，实际上都可以归结为具有同一性的集合的可测讨论，使得实际当中在建立系统结构时更趋于完美。3在勒贝格测度的基础上，更能进一步的对所有集合进行分类：可测集，不可测集合。可测集合中，为了能更好的应用开集、闭集这些比较好操作的集合，更归纳出了型集和型集。同时可以得出：对任何可测集合都存在型集和型集，并且其差的测度为零。虽然勒贝格测度定义下并不能保证所有集合都可测，但是对于不可测集合也能进一步得出：对于任何集合F，都存在可测包，即存在型集，使得，这样就可以把还未知是否可测的集合转化为可测集的问题。所有这一切也就都可以归结为卡氏定义的给出，因此可以说卡氏定义是整个实变函数的灵魂。（四）勒贝格积分论在积分架构上达到完美正因为勒贝格测度的定义以及由此给出的集合和函数的可测上十分简捷好操做，因此，在这个基础上建构的勒贝格积分论能够更加完美，并使得用这套理论所进行的实际应用范围更加广泛；在定义（略）下得到的性质我们简单叙述在后定理1： 设f(x)在E上L可积，则f(x)在E的任何可测子集上也可积.(绝对可积性)定理2：设f(x)在E上L可积，则对任何可测集AE,有(绝对连续性)定理3(列维)：设fn(x)为可测集ERn上的一列可测函数,且在E上有fn(x)fn+1(x)dx,n=1,2,(单调列)令f(x)=,则定理4(积分的可列可加性)： 设f(x)为可测集ERq上积分确定,且E=,其中各Ei为互不相交的可测集,则定理5： (1) 设f（P）=f（x，y）在ABRp+q（A，B分别为Rp与Rq中的可测集）上非负可测，则对a.e.的xA，f（x，y）作为y的函数在B上可测,且(2)设f（P）=f（x，y）在ABRp+Q上可积，则对a.e.的xA，f（x，y）作为y的函数在B上可积，又作为x的函数在A上可积且（1）式成立。定理6：设F（x）是a，b上的绝对连续函数，则几乎处处有定义的在a，b上可积且F（x）=F（a）+即F（x）总是在a，b上可积。我们将勒贝格积分的性质与黎曼积分的性质对照一下会发现:二者就线性性与单调性来说并无重大区别(黎曼积分的性质本文从略 ),其他性质则黎曼积分难于与勒贝格积分进行比拟:(1) 勒贝格积分扩大了可积函数类,原来在黎曼积分中不可积的Dirichlet函数在勒贝格积分中变得可积了.(2) 勒贝格积分及勒贝格可测集都具有了可列可加性.(3) 勒贝格积分解决了积分与极限的交换问题,降低了积分与求和、积分与积分交换的条件.(4) 黎曼可积不一定绝对可积,而勒贝格可积一定绝对可积;黎曼可积函数不一定连续,但勒贝格可积函数一定绝对连续.综上我们总结了勒贝格积分论的整个拓广过程以及在这个过程中的灵魂步骤，也就是测