概率论与数理统计第二章.ppt

概率论与数理统计,大学数学（二）,第四讲随机变量及其分布,脚本编写、教案制作：,第一节随机变量,随机变量概念的产生引入随机变量的意义随机变量的分类,裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码，这样建立了一种对应关系.,2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.,例1抛一枚硬币，观察正反面的出现情况.,我们引入记号：,显然，该试验有两个可能的结果：,X就是一个随机变量。,定义设随机试验E的样本空间是S，若对于每一个eS,有一个实数X(e)与之对应,即X=X(e)是定义在S上的单值实函数，称它为随机变量(randomvariable,简记为r.v.)。,X(e),R,这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？,e.,R,这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数有一些不一样！,e.,(1)随机变量是一个函数,但普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).,随机变量与普通的函数不同:,(2)随机变量X的可能取值不止一个,试验前只能预知它的可能的取值，但不能预知取哪个值,(3)X以一定的概率取某个值.,有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.,二、引入随机变量的意义,如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量.,事件收到不少于1次呼叫,没有收到呼叫,再如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高.,我们可以身高看作随机变量X,然后我们可以提出关于X的各种问题.,如PX1.7=？PX1.5=?,P1.53出现的次数),则,故所求的概率为,解：,例2.4.3,设随机变量服从区间上的均匀分布,求方程,有实根的概率.,解:因为当,时方程有实根,即,或,时方程有实根,所以所求概率为,二.指数分布(ExponentialDistribution),如果随机变量,的概率密度为,则称X服从参数为,的指数分布.,为常数,例若X服从参数为的指数分布,则其分布函数为,证：事实上,当时,当时,易知，若,则其分布函数为,指数分布在排队论和可靠性理论中有广泛的应用，常常用它来作为各种“寿命”的分布的近似.例如,电子元件的寿命,电话的通话时间,微生物的寿命,随机服务系统中的服务时间等都可认为是近似服从指数分布.,指数分布的一个重要性质就是“无后效性”或“无记忆性”.具体叙述如下.,设,则对于任意的s0,t0,有,事实上，有,假如把服从指数分布的随机变量解释为某元件工作的寿命,则上式表明,在该元件已工作了s小时的条件下,它还能继续工作t小时的概率与已经工作过的时间s无关.换句话说,如果元件在时刻s还“活着”,则它的剩余寿命的分布还是原来寿命的分布,而与它已工作了多长的时间无关.所以有时又称指数分布是“永远年轻”的.值得指出的是,我们可以证明,指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布.,三.正态分布(NormalDistribution),若随机变量X的概率密度为,则称服从参数为,的正态分布.记为,称相应的分布函数为正态分布,相应的概率密度为正态密度.服从正态分布的随机变量统称为正态变量.,正态变量的分布函数为,正态分布是概率论中最重要的一个分布.高斯在研究误差理论时曾用它来刻划误差,所以又称为高斯分布.经验表明,许多实际问题中的随机变量,如测量误差,炮弹落点的分布,人的身高,学生考试的成绩,农作物的产量,产品的尺寸等都可以认为服从正态分布.,三.正态分布(NormalDistribution),若随机变量X的概率密度为,则称服从参数为,的正态分布.记为,曲线关于轴对称；,正态分布的概率密度曲线图:,决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布,概率密度曲线特点:,当固定时,越大,曲线的峰越低,落在附近的概率越小,取值就越分散,是反映X的取值分散性的一个指标。,正态分布,概率密度函数图形特点:,正态变量的分布函数为,正态分布由它的两个参数和唯一确定，当和不同时，是不同的正态分布。,下面我们介绍一种最重要的正态分布,若随机变量X的概率密度为,则称服从参数为,的正态分布.记为,标准正态分布,若随机变量X的概率密度为,则称服从参数为,的正态分布.记为,标准正态分布,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用和表示：,标准正态分布的分布函数,可通过查书后,的附表得到.但是表中只列出了,时的分布函数,值,对于,时的情形,可利用下面的公式计算,若,则,定理,证明：,更进一步的，还有下面的重要结论。,若XN(0,1),若,则,标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转换为标准正态分布.,例5由历史记录知,某地区总降雨量,(单位:mm).求(1)明年降雨量在400mm700mm之间的概率；(2)明年降雨量至少为300mm的概率;(3)明年降雨量小于何值的概率为0.1?,2),解1):,查表得,从而,例5由历史记录知,某地区总降雨量,(单位:mm).求(1)明年降雨量在400mm700mm之间的概率；(2)明年降雨量至少为300mm的概率;(3)明年降雨量小于何值的概率为0.1?,解:3),解,P(Xh)0.01,或P(Xh)0.99，,下面我们来求满足上式的最小的h.,看一个应用正态分布的例子:,例公共汽车车门的高度是按乘客与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设人的身高XN(170,62),问车门高度应如何确定?,设车门高度为hcm,按设计要求,因为XN(170,62),故P(X0.99,因而=2.33,即h=170+13.98184,设计车门高度为184厘米时，可使人与车门碰头的机会不超过0.01.,所以.,设,则有,若,则,查表可得,设,则有,即,X落在内几乎是肯定的事.这就是所谓的“”法则.,第五节随机变量的函数的分布,问题的提出离散型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布,一、问题的提出,在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.,求截面面积A=的分布.,比如，已知圆轴截面直径d的分布，,离散型随机变量函数的分布,解：当X取值1，2，5时，Y取对应值5，7，13，,而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率.,故,同一次随机试验不同的取值,第五节随机变量函数的分布,一.离散型随机变量函数的分布,关键是要确定两点：1)可能的取值;2)取任一值的概率.,例1已知X的概率分布为,求Y1=2X1与Y2=X2的分布律,解:,求Y1=2X1与Y2=X2的分布律,解:,例：设随机变量X具有概率密度求Y=X2的概率密度。,Y在区间(0,16)上均匀分布。,解：分别记X,Y的分布函数为,二.连续型随机变量的分布,问题:已知X的概率密度求Y=g(X)的概率密度,二.连续型随机变量的分布,基本步骤:,问题:已知X的概率密度求Y=g(X)的概率密度,1.确定Y的取值范围.如果其取值的范围为区间,则当,时,2.当,时,先求分布函数,然后再对分布函数求导即得概率密度.,例：,从中可以看到，在求P(Yy)的过程中，关键的一步是设法从g(X)y中解出X,从而得到与g(X)y等价的X的不等式.,三、连续型随机变量函数的分布,解设Y的分布函数为FY(y)，,FY(y)=PYy=P(2X+8y),=PX=FX(),于是Y的密度函数,故,注意到0x4时，,即8y16时，,此时,求Y=2X+8的概率密度.,两边求导,得,所以,解先求分布函数,对上式两端求导，得,即，正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量.,由上式可得