高考数学大一轮复习 8.4直线、平面垂直的判定与性质课件 理 苏教版.ppt

,8.4直线、平面垂直的判定与性质,第八章立体几何,数学苏（理）,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1.直线与平面垂直,任意,mnO,a,b,ab,几个常用的结论(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直；(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直；(3)垂直于同一直线的两个平面互相平行.,知识拓展,2.两个平面垂直(1)平面与平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.,(2)平面与平面垂直的判定定理,垂线,(3)平面与平面垂直的性质定理,交线,l,3.线面角与二面角(1)直线和平面所成的角平面的一条斜线与它在所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角.当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为.,平面内的射影,90和0,(2)二面角的有关概念二面角：从一条直线和由这条直线出发的所组成的图形叫做二面角.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,两个半平面,垂直于棱,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直.()(3)直线a，b，则ab.()(4)若，aa.()(5)a，a.(),可填与中的一个,解析,中，由mn,n，可得m或m或m与相交，错误；中，由m，可得m或m或m与相交，错误；中，由m，n，可得mn，又n，则m，正确；中，由mn，n，可得m与相交或m或m，错误.,解析,思维升华,例1如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点.证明：(1)CDAE；,思维点拨,题型一直线与平面垂直的判定与性质,解析,思维升华,思维点拨,通过CD平面PAC证明；也可通过AE平面PCD得到结论；,例1如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点.证明：(1)CDAE；,题型一直线与平面垂直的判定与性质,解析,思维升华,证明在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.,思维点拨,例1如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点.证明：(1)CDAE；,题型一直线与平面垂直的判定与性质,(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质.,解析,思维升华,思维点拨,例1如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点.证明：(1)CDAE；,题型一直线与平面垂直的判定与性质,(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.,解析,思维升华,思维点拨,例1如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点.证明：(1)CDAE；,题型一直线与平面垂直的判定与性质,思维点拨,解析,思维升华,例1(2)PD平面ABE.,例1(2)PD平面ABE.,利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直.,思维点拨,解析,思维升华,证明由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)，知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，,例1(2)PD平面ABE.,思维点拨,解析,思维升华,AEPD.PA底面ABCD，PAAB.又ABAD且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，,例1(2)PD平面ABE.,思维点拨,解析,思维升华,ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.,例1(2)PD平面ABE.,思维点拨,解析,思维升华,例1(2)PD平面ABE.,(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质.,思维点拨,解析,思维升华,例1(2)PD平面ABE.,(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.(3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练1(2014重庆)如图，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB2，BAD，M为BC上一点，且BM.(1)证明：BC平面POM；,证明如图，因为四边形ABCD为菱形，O为菱形中心，连结OB，则AOOB.,OM2OB2BM22OBBMcosOBM,所以OB2OM2BM2，故OMBM.又PO底面ABCD，所以POBC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM，PO都垂直，所以BC平面POM.,OM2OB2BM22OBBMcosOBM,所以OB2OM2BM2，故OMBM.又PO底面ABCD，所以POBC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM，PO都垂直，所以BC平面POM.,(2)若MPAP，求四棱锥PABMO的体积.,解由(1)可得，,设POa，由PO底面ABCD知，POA为直角三角形，故PA2PO2OA2a23.由POM也是直角三角形，,(2)若MPAP，求四棱锥PABMO的体积.,连结AM，在ABM中，AM2AB2BM22ABBMcosABM,由已知MPAP，故APM为直角三角形，则,(2)若MPAP，求四棱锥PABMO的体积.,此时S四边形ABMOSAOBSOMB,所以四棱锥PABMO的体积,题型二平面与平面垂直的判定与性质,例2(2013北京)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD、PC的中点.求证：(1)PA底面ABCD；,解析,思维升华,思维点拨,解析,思维升华,思维点拨,平面PAD底面ABCD，可由面面垂直的性质证PA底面ABCD；,题型二平面与平面垂直的判定与性质,例2(2013北京)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD、PC的中点.求证：(1)PA底面ABCD；,解析,思维升华,思维点拨,证明平面PAD平面ABCDAD.又平面PAD平面ABCD，且PAAD.PA底面ABCD.,题型二平面与平面垂直的判定与性质,例2(2013北京)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD、PC的中点.求证：(1)PA底面ABCD；,(1)判定面面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a).(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.,解析,思维升华,思维点拨,题型二平面与平面垂直的判定与性质,例2(2013北京)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD、PC的中点.求证：(1)PA底面ABCD；,解析,思维升华,例2(2)BE平面PAD；,思维点拨,解析,思维升华,思维点拨,例2(2)BE平面PAD；,由BEAD可得线面平行；,证明ABCD，CD2AB，E为CD的中点，ABDE，且ABDE.四边形ABED为平行四边形.BEAD.又BE平面PAD，AD平面PAD，BE平面PAD.,解析,思维升华,思维点拨,例2(2)BE平面PAD；,解析,思维升华,思维点拨,例2(2)BE平面PAD；,(1)判定面面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a).(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.,解析,思维升华,思维点拨,例2(3)平面BEF平面PCD.,解析,思维升华,思维点拨,例2(3)平面BEF平面PCD.,证明直线CD平面BEF.,证明ABAD，且四边形ABED为平行四边形.BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，则PACD，又PAADA，CD平面PAD，,解析,思维升华,思维点拨,例2(3)平面BEF平面PCD.,从而CDPD，又E、F分别为CD、CP的中点，EFPD，故CDEF.由EF，BE在平面BEF内，且EFBEE，CD平面BEF.又CD平面PCD，平面BEF底面PCD.,解析,思维升华,思维点拨,例2(3)平面BEF平面PCD.,解析,思维升华,思维点拨,例2(3)平面BEF平面PCD.,(1)判定面面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a).(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.,跟踪训练2(2014北京)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点.(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；,证明在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC，所以BB1AB.又因为ABBC，,跟踪训练2(2014北京)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点.(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；,所以AB平面B1BCC1，又AB平面ABE，所以平面ABE平面B1BCC1.,(2)求证：C1F平面ABE；,证明取AB的中点G，连结EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，,因为ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四边形FGEC1为平行四边形.,(2)求证：C1F平面ABE；,所以C1FEG.又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.,(3)求三棱锥EABC的体积.,题型三直线、平面垂直的综合应用,思维点拨,解析,思维升华,例3如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD8，AB2DC4.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD平面PAD；,思维点拨,解析,思维升华,因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD，考虑证明BD平面PAD.,题型三直线、平面垂直的综合应用,例3如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD8，AB2DC4.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD平面PAD；,思维点拨,解析,思维升华,证明在ABD中，AD4，BD8，AB4，,题型三直线、平面垂直的综合应用,例3如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD8，AB2DC4.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD平面PAD；,AD2BD2AB2.,ADBD.,又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，,思维点拨,解析,思维升华,BD平面ABCD，BD平面PAD.又BD平面MBD，平面MBD平面PAD.,题型三直线、平面垂直的综合应用,例3如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD8，AB2DC4.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD平面PAD；,思维点拨,解析,思维升华,垂直关系综合题的类型及解法：(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.,题型三直线、平面垂直的综合应用,例3如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD8，AB2DC4.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD平面PAD；,思维点拨,解析,思维升华,(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.,题型三直线、平面垂直的综合应用,例3如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD8，AB2DC4.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD平面PAD；,例3(2)求四棱锥PABCD的体积.,思维点拨,解析,思维升华,思维点拨,解析,思维升华,例3(2)求四棱锥PABCD的体积.,四棱锥底面为一梯形，高为P到平面ABCD的距离.,解过P作POAD，,思维点拨,解析,思维升华,例3(2)求四棱锥PABCD的体积.,平面PAD平面ABCD，PO平面ABCD，,即PO为四棱锥PABCD的高.又PAD是边长为4的等边三角形，,思维点拨,解析,思维升华,例3(2)求四棱锥PABCD的体积.,在底面四边形ABCD中，ABDC，AB2DC，,四边形ABCD为梯形.在RtADB中，斜边AB边上的高为,思维点拨,解析,思维升华,例3(2)求四棱锥PABCD的体积.,此即为梯形的高.,思维点拨,解析,思维升华,例3(2)求四棱锥PABCD的体积.,思维点拨,解析,思维升华,例3(2)求四棱锥PABCD的体积.,垂直关系综合题的类型及解法：(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.,思维点拨,解析,思维升华,例3(2)求四棱锥PABCD的体积.,(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.,跟踪训练3(2013江西)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，AA13，E为CD上一点，DE1，EC3.(1)证明：BE平面BB1C1C；,跟踪训练3(2013江西)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，AA13，E为CD上一点，DE1，EC3.(1)证明：BE平面BB1C1C；,跟踪训练3(2013江西)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，AA13，E为CD上一点，DE1，EC3.(1)证明：BE平面BB1C1C；,在BEC中，因为BE2BC29EC2，故BEBC.,跟踪训练3(2013江西)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，AA13，E为CD上一点，DE1，EC3.(1)证明：BE平面BB1C1C；,由BB1平面ABCD得BEBB1，又BB1BCB，所以BE平面BB1C1C.,(2)求点B1到平面EA1C1的距离.,(2)求点B1到平面EA1C1的距离.,设点B1到平面A1C1E的距离为d，,则三棱锥B1A1C1E的体积,思维点拨,解析,思维升华,题型四线面角、二面角的求法,例4如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；,先找出PB和平面PAD所成的角，线面角的定义要能灵活运用；,题型四线面角、二面角的求法,例4如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；,思维点拨,解析,思维升华,解在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB.又ABAD，PAADA，从而AB平面PAD，,题型四线面角、二面角的求法,例4如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；,思维点拨,解析,思维升华,从而APB为PB和平面PAD所成的角.在RtPAB中，ABPA，故APB45.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45.,题型四线面角、二面角的求法,例4如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；,思维点拨,解析,思维升华,故PB在平面PAD内的射影为PA，,题型四线面角、二面角的求法,例4如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；,求线面角、二面角的常用方法：(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.,思维点拨,解析,思维升华,题型四线面角、二面角的求法,例4如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；,(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有定义法；垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.,思维点拨,解析,思维升华,例4(2)证明：AE平面PCD；,证明在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA.由条件CDAC，PAACA，CD平面PAC.又AE平面PAC，AECD.由PAABBC，ABC60，可得ACPA.,例4(2)证明：AE平面PCD；,E是PC的中点，AEPC.又PCCDC，综上得AE平面PCD.,例4(3)求二面角APDC的正弦值.,思维点拨,解析,思维升华,例4(3)求二面角APDC的正弦值.,可以利用线面垂直根据二面角的定义作角.,思维点拨,解析,思维升华,例4(3)求二面角APDC的正弦值.,解过点E作EMPD，垂足为M，连结AM，如图所示.由(2)知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则可证得AMPD.,思维点拨,解析,思维升华,例4(3)求二面角APDC的正弦值.,因此AME是二面角APDC的平面角.由已知，可得CAD30.设ACa，可得,思维点拨,解析,思维升华,例4(3)求二面角APDC的正弦值.,在RtADP中，AMPD，AMPDPAAD，,思维点拨,解析,思维升华,例4(3)求二面角APDC的正弦值.,在RtAEM中，,思维点拨,解析,思维升华,例4(3)求二面角APDC的正弦值.,思维点拨,解析,思维升华,例4(3)求二面角APDC的正弦值.,求线面角、二面角的常用方法：(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解.,思维点拨,解析,思维升华,例4(3)求二面角APDC的正弦值.,(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有定义法；垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.,思维点拨,解析,思维升华,跟踪训练4已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，平面PAD平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点.(1)求证：EF平面PAD；,证明平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，ABAD，AB平面PAD.E、F为PA、PB的中点，EFAB，EF平面PAD.,(2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；,解取AD的中点H，连结EH，GH.EFHG，ABHG，HG是所求二面角的棱，HGEF，HG平面PAD，,(2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；,ADHG，EHHG，EHA是锐二面角的平面角，PAD为正三角形，且EDPD，EHA60.,(3)若M为线段AB上靠近A的一个动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于？,解过M作MK平面EFG于K，连结KF，则KFM即为MF与平面EFG所成角，因为ABEF，故AB平面EFG，故AB上的点M到平面EFG的距离等于A到平面EFG的距离.HG平面PAD，平面EFGH平面PAD于EH，,(3)若M为线段AB上靠近A的一个动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于？,在直角梯形EFMA中，AEEF2，,(3)若M为线段AB上靠近A的一个动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于？,思想与方法系列13立体几何证明问题中的转化思想,规范解答,思维点拨,温馨提醒,典例：(14分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点.求证：(1)AN平面A1MK；,要证线面平行，需证线线平行.,规范解答,思维点拨,温馨提醒,证明如图所示，连结NK.在正方体ABCDA1B1C1D1中，四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，AA1DD1，AA1DD1，C1D1CD，C1D1CD.N，K分别为CD，C1D1的中点，,规范解答,思维点拨,温馨提醒,DND1K，DND1K，四边形DD1KN为平行四边形.KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN.四边形AA1KN为平行四边形.ANA1K.A1K平面A1MK，AN平面A1MK，AN平面A1MK.,规范解答,思维点拨,温馨提醒,(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.,规范解答,思维点拨,温馨提醒,规范解答,思维点拨,温馨提醒,(2)平面A1B1C平面A1MK.,规范解答,思维点拨,温馨提醒,要证面面垂直，需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直.,规范解答,思维点拨,温馨提醒,证明如图所示，连结BC1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，ABC1D1，ABC1D1.M，K分别为AB，C1D1的中点，BMC1K，BMC1K.四边形BC1KM为平行四边形.MKBC1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1平面BB1C1C，,规范解答,思维点拨,温馨提醒,BC1平面BB1C1C，A1B1BC1.MKBC1，A1B1MK.四边形BB1C1C为正方形，BC1B1C.MKB1C.A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1B1CB1，MK平面A1B1C.又MK平面A1MK，平面A1B1C平面A1MK.,规范解答,思维点拨,温馨提醒,(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.,方法与技巧,1.三类论证(1)证明线线垂直的方法定义：两条直线所成的角为90；平面几何中证明线线垂直的方法；线面垂直的性质：a，bab；线面垂直的性质：a，bab.,方法与技巧,(2)证明线面垂直的方法线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；,判定定理2：ab，ab；面面平行的性质：，aa；面面垂直的性质：，l，a，ala.,方法与技巧,(3)证明面面垂直的方法利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a，a.,2.转化思想：垂直关系的转化,在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决.,失误与防范,1.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.,2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,1.给出下列四个命题：垂直于同一平面的两条直线相互平行；垂直于同一平面的两个平面相互平行；若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面.其中真命题的个数是_.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,解析由直线与平面垂直的性质，可知正确；正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面，而不平行，故错；由直线与平面垂直的定义知正确，而错.答案2,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2.有以下四个条件：平面与平面，所成的锐二面角相等；直线ab，a平面，b平面；a，b是异面直线，a，b，且a，b；平面内距离为d的两条平行直线在平面内的射影仍为两条距离为d的平行线.其中能推出的条件有_.(填写所有符合要求的条件的序号).,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,解析正三棱锥的底面与侧面所成的锐二面角都相等，但侧面不平行，故不符合；由ab，a，得b，又b，得，符合；由图1可知，不符合；由图2可知，不符合.故能推出的条件只有.,答案,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,3.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在_.直线AB上直线BC上直线AC上ABC内部,解析由ACAB，ACBC1，AC平面ABC1.又AC面ABC，平面ABC1平面ABC.C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,4.如图所示，已知E，F分别是正方体的棱BB1，AD的中点，则直线EF和平面BDD1B1所成角的正弦值是_.,解析设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，如图，连结AE，过F作BD的垂线FH交BD于H，连结EH，则FH平面BDD1B1，所以直线EF和平面BDD1B1所成的角为FEH，,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,5.如图所示，直线PA垂直于O所在的平面，ABC内接于O，且AB为O的直径，点M为线段PB的中点.现有结论：BCPC；OM平面APC；点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，其中正确的是_.解析对于，PA平面ABC，PABC，AB为O的直径，BCAC，,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,BC平面PAC，又PC平面PAC，BCPC；对于，点M为线段PB的中点，OMPA，PA平面PAC，OM平面PAC；对于，由知BC平面PAC，线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故都正确.答案,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,6.如图，BAC90，PC平面ABC，则在ABC和PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有_；与AP垂直的直线有_.,解析PC平面ABC，PC垂直于直线AB，BC，AC；ABAC，ABPC，ACPCC，AB平面PAC，与AP垂直的直线是AB.,AB、BC、AC,AB,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,7.在正三棱锥PABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：ACPB；AC平面PDE；AB平面PDE.其中正确论断的序号为_.解析如图，PABC为正三棱锥，PBAC；又DEAC，DE平面PDE，AC平面PDE，AC平面PDE.故正确.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,8.正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为_.解析画出图形，如图，BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角，在三棱锥DACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H，连结D1H，DH，则DD1H为DD1与平面ACD1所成的角，设正方体的棱长为a，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,9.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，ADBC，ABBC，AD2，AB3，BCBE7，DCE是边长为6的正三角形.(1)求证：平面DEC平面BDE；证明因为四边形ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，AD2，AB3，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,又因为BC7，CD6，所以根据勾股定理可得BDCD，因为BE7，DE6，同理可得BDDE.因为DECDD，DE平面DEC，CD平面DEC，所以BD平面DEC.因为BD平面BDE，所以平面DEC平面BDE.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,(2)求点A到平面BDE的距离.解如图，取CD的中点O，连结OE，因为DCE是边长为6的正三角形，,由(1)易知EO平面ABCD，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,又因为RtBDE的面积为,设点A到平面BDE的距离为h，则由VEABDVABDE，,10.(2014山东)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，DAB60，AB2CD2，M是线段AB的中点.(1)求证：C1M平面A1ADD1；证明因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB2CD，所以ABDC.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,又由M是AB的中点，因此CDMA且CDMA.连结AD1，如图(1).在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，因为CDC1D1，CDC1D1，可得C1D1MA，C1D1MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形，因此C1MD1A.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,又C1M平面A1ADD1，D1A平面A1ADD1，所以C1M平面A1ADD1.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.解方法一如图(2)，连结AC，MC.由(1)知CDAM且CDAM，所以四边形AMCD为平行四边形，可得BCADMC，所以ABCDAB60，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,所以MBC为正三角形，,因此CACB.以C为坐标原点，建立如图(2)所示的空间直角坐标系Cxyz，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,设平面C1D1M的一个法向量为n(x，y，z)，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,方法二由(1)知平面D1C1M平面ABCDAB，过点C向AB引垂线交AB于点N，连结D1N，如图(3).由CD1平面ABCD，可得D1NAB，因此D1NC为二面角C1ABC的平面角.在RtBNC中，BC1，,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,在RtD1CN中，,1.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且ABCD为菱形，M在PC边上滑动，则当点M满足_时，平面MBD平面PCD.,2,3,4,5,1,解析四边形ABCD是菱形，ACBD.又PA面ABCD，PABD.BD平面PAC，BDPC.当PCMD时，则PC平面BMD.从而得出平面MBD平面PCD.答案MDPC,2,3,4,5,1,2.已知，是三个不同的平面，命题“，且”是真命题，如果把，中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有_个.解析若，换为直线a，b，则命题化为“ab，且ab”，此命题为真命题；,2,3,4,5,1,若，换为直线a，b，则命题化为“a，且abb”，此命题为假命题；若，换为直线a，b，则命题化为“a，且bab”，此命题为真命题.答案2,2,3,4,5,1,3.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论中：PBAE；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；PDA45.,其中正确的有_(把所有正确的序号都填上).,2,3,4,5,1,解析由PA平面ABC，AE平面ABC，得PAAE，又由正六边形的性质得AEAB，PAABA，得AE平面PAB，又PB平面PAB，AEPB，正确；平面PAD平面ABC，平面ABC平面PBC不成立，错；,2,3,4,5,1,由