高考数学一轮总复习第六章数列6.4数列求和数列的综合应用课件理新人教B版.ppt

6.4数列求和、数列的综合应用,高考理数,1.求数列的前n项和的方法(1)公式法(i)等差数列的前n项和公式Sn=na1+.(ii)等比数列的前n项和公式a.当q=1时,Sn=na1;b.当q1时,Sn=.(2)分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(3)裂项相消:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程中消去中间项,只剩有限,知识清单,项再求和.(4)错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(5)倒序相加:把数列正着写和倒着写再相加,例如等差数列前n项和的推导方法.2.常见的拆项公式(1)=-;(2)=;(3)=;(4)=-;(5)若an为等差数列,公差为d(d0),an0,则=.3.常见数列的前n项和(1)1+2+3+n=;,(2)2+4+6+2n=n2+n;(3)1+3+5+(2n-1)=n2;(4)12+22+32+n2=;(5)13+23+33+n3=.,1.一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时,应注意:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.(3)应用等比数列求和公式必须注意公比q1这一前提条件,如果不能确定公比q是否为1,应分两种情况进行讨论,这在以前的高考中经常考查.例1(2016浙江宁波二模,18,14分)设数列an满足a1+3a2+32a3+3n-1an=,nN*.(1)求数列an的通项;(2)设bn=,求数列bn的前n项和Sn.,突破方法,方法1错位相减法求和,解析(1)因为a1+3a2+32a3+3n-1an=,所以当n2时,a1+3a2+32a3+3n-2an-1=,-,得3n-1an=(n2),所以an=(n2).在中,令n=1,得a1=,适合an=,所以an=.(2)因为bn=,所以bn=n3n.所以Sn=3+232+333+n3n,所以3Sn=32+233+334+n3n+1.-,得2Sn=n3n+1-(3+32+33+3n),即2Sn=n3n+1-,所以Sn=+.1-1(2016广西玉林贵港联考,17,12分)已知数列an中,a1=3,a2=5,且an-1是等比数列.(1)求数列an的通项公式;,(2)若bn=nan,求数列bn的前n项和Tn.解析(1)an-1是等比数列且a1-1=2,a2-1=4,=2,an-1=22n-1=2n,an=2n+1.(2)bn=nan=n2n+n,故Tn=b1+b2+b3+bn=(2+222+323+n2n)+(1+2+3+n).令T=2+222+323+n2n,则2T=22+223+324+n2n+1,两式相减,得-T=2+22+23+2n-n2n+1=-n2n+1,T=2(1-2n)+n2n+1=2+(n-1)2n+1.1+2+3+n=,Tn=(n-1)2n+1+.,1.对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂项法”,分式数列的求和多用此法.2.利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.有些情况下,裂项时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.例2(2013江西,17,12分)正项数列an的前n项和Sn满足:-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.(1)求数列an的通项an;(2)令bn=,数列bn的前n项和为Tn.证明:对于任意的nN*,都有Tn0,故fn(x)在(0,+)内单调递增.,方法3与数列有关的综合应用问题,由于f1(1)=0,当n2时,fn(1)=+0,故fn(1)0.又fn=-1+-+=-+=-0时,fn+1(x)=fn(x)+fn(x),故fn+1(xn)fn(xn)=fn+1(xn+1)=0.由fn+1(x)在(0,+)内单调递增知,xn+1xn.故xn为单调递减数列.从而对任意n,pN*,xn+pxn.对任意pN*,由于,fn(xn)=-1+xn+=0,fn+p(xn+p)=-1+xn+p+=0,式减去式并移项,利用0xn+pxn1,得xn-xn+p=+=-.因此,对任意pN*,都有0xn-xn+p.3-1(2016甘肃西北师大附中3月月考,17,12分)若数列an的前n项和为Sn,点(an,Sn)在y=-x的图象上(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)若c1=0,且对任意正整数n都有cn+1-cn=loan.求证:对任意正整数n2,总有+.,解析(1)Sn=-an,当n2时,an=Sn-Sn-1=an-1-an,an=an-1.又S1=-a1,a1=,an=.(2)证明:由cn+1-cn=loan=2n+1,得当n2时,cn=c1+(c2-c1)+(c