2019届高三数学第二次联考试题 理(含解析).doc

2019届高三数学第二次联考试题 理(含解析)一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合M=，集合N=，(e为自然对数的底数)则=（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：，故考点：集合的运算2.若复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由，得，则复数z的共轭复数为故选：B3.若为偶函数，且当时，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：因为 当时，成立,所以排除C，当时，不成立，排除B、D,故选A.考点：1、分段函数的解析式；2、分段函数的奇偶性.4. 现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：将张奖票不放回地依次取出共有种不同的取法，若获恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到张中奖票，第四次抽的最后一张奖票，共有种取法，所以概率为，故选C.考点：古典概型及其概率的计算.5.在等差数列中，则数列的前11项和( )A. 8 B. 16 C. 22 D. 44【答案】C【解析】【分析】本道题利用,得到,再利用,计算结果,即可得出答案.【详解】利用等差数列满足,代入,得到 ,解得 ,故选C.【点睛】本道题考查了等差数列的性质,利用好和,即可得出答案.6.一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合三视图,还原直观图,计算体积,即可得出答案.【详解】根据几何体的三视图得该几何体是四棱锥M-PSQN且四棱锥是棱长为2的正方体的一部分,直观图如图所示,由正方体的性质得,所以该四棱锥的体积为: ,故A正确.【点睛】本道题考查了三视图还原直观图,题目难度中等,可以借助立方体,进行实物图还原.7.已知函数（，）,其图像与直线相邻两个交点的距离为,若对于任意的恒成立, 则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得函数的周期为=，求得=2再根据当x（，）时，sin（2x+）0恒成立，2k2（）+2+2k+，由此求得的取值范围【详解】函数f(x)=2sin(x+)+1,其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为,故函数的周期为=,所以=2,于是f(x)=2sin(2x+)+1.若f(x)1对x恒成立,即当x时,sin(2x+)0恒成立,则有2k2+2+2k+,求得2k+2k+,kZ,又|,所以.故答案为：D【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性、值域，函数的恒成立问题，属于中档题对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数的单调性求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.8.已知抛物线上有三点，的斜率分别为3，6，则的重心坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解.【详解】设则，得，同理，三式相加得，故与前三式联立，得，则.故所求重心的坐标为，故选C.【点睛】本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.9.已知函数，满足，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先分析函数的性质，知函数为奇函数，且在定义域内单调递减，所以 可变形为： ，进而得，整理得：，利用几何意义可知满足条件的表示的区域是圆的内部（含边界），从而列不等式求解即可.【详解】易知函数的定义域为R，由题意，可得为奇函数，又是上的减函数，故 ，所以满足条件的表示的区域是圆的内部（含边界），则点到直线的距离，所以的取值范围是，故选B.【点睛】本题考查函数性质与解析几何中直线与圆位置关系知识点的结合.10.在平面直角坐标系中，已知两圆：和：，又点坐标为，是上的动点，为上的动点，则四边形能构成矩形的个数为（ ）A. 0个 B. 2个 C. 4个 D. 无数个【答案】D【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形得出满足条件的四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个【详解】如图所示，任取圆C2上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点，则由圆的对称性知，MN=AQ，且AMQ=ANQ=90，四边形AMQN是矩形，由作图知，四边形AMQN能构成无数个矩形故答案为：D.【点睛】(1)本题主要考查圆和圆的位置关系，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是“以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点”，这样可以得到无数个矩形.11.如图所示,圆形纸片的圆心为,半径为, 该纸片上的正方形ABCD的中心为.,G,H为圆上的点, 分别是以,为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后, 分别以,DA为折痕折起使得,G,H重合,得到四棱锥. 当正方形ABCD的边长变化时，所得四棱锥体积(单位：)的最大值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本道题先用a表示四棱锥的体积，构造新函数，求导，结合导函数与原函数的单调性，计算原函数的极值，即可得出答案。【详解】图形合并以后就是上图所示,则则,故四棱锥的体积为.构造函数,求导,得到判定,故在递增,在其他区间递减;故当,取得最大值,也就是取得最大值,将代入,得到,故选D.【点睛】本道题考查了利用导数判定原函数的单调性，先用a表示体积，然后结合导数与原函数的单调性，判定并计算极值，即可。12.定义在上函数满足，且对任意的不相等的实数有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合题意可知是偶函数,且在单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数,计算最值,即可.【详解】结合题意可知为偶函数,且在单调递减,故可以转换为对应于恒成立,即即对恒成立即对恒成立令,则上递增,在上递减,所以令,在上递减所以.故,故选B.【点睛】本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分13.已知向量夹角为，且， ，则_.【答案】【解析】【分析】对两边平方,代入已知条件,解方程,即可得出答案.【详解】,解得【点睛】本道题考查了向量模长计算公式,对向量模长,化简时往往两边平方,即可得出答案.14.已知锐角三角形中, 角、所对的边分别为、，若,则的取值范围是_【答案】【解析】ca=2acosB，由正弦定理可得：sinC=2sinAcosB+sinA，sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB+sinA，可得：cosAsinBsinAcosB=sinA，即：sin（BA）=sinA，A，B为锐角，可得：BA=A，可得：B=2A（0，），A（0，），又C=3A（0，），可得：A（，），综上，可得A（，），可得：sinA（，），=sinA（，）故答案为：.15.已知数列满足，数列是公比为2的等比数列，则 _.【答案】【解析】【分析】结合题意,计算出通项,然后利用消元法,计算,然后利用等比数列求和公式,计算结果,即可得出答案.【详解】由题可知,则所以 故所以 原式【点睛】本题主要考查了等比数列.对计算可以考虑运用消元法进行解答.16.设函数,若函数有6个不同的零点,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】本道题一开始结合导数，计算的范围，然后运用换元思想，将函数问题转化成方程根问题，得到，运用对勾函数的性质，计算出a的范围，即可。【详解】已知函数对其求导得 ,令求得 当时,即函数在上单调递增,且恒成立 当时,函数在上单调递减 当时,函数在上单调递增,故 ,又因为在上,存在x使得，所以当直线与有三个交点时， 由题意知，有6个不等的实数根，设 则关于t的方程有两个不等的实数根，且 即在内有2个不等的实数根 由于当时，等式成立 当时，故a的范围为【点睛】本题主要考查了导数在研究函数中的应用,本题亮点在于将函数问题和方程根问题联系起来，进一步计算出a的范围，属于难度较大的题型。三、解答题：(本大题共6小题共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.如图，是等边三角形， 是边上的动点（含端点），记,.（1）求的最大值；（2）若，求的面积.【答案】(1)当，即D为BC中点时，原式取最大值;(2).【解析】【分析】（1）由题意可得=+，根据三角函数和差公式及辅助角公式化简即可求出其最大值。（2）根据三角函数差角公式求得sin，再由正弦定理，求得AB的长度；进而求得三角形面积。【详解】（1）由ABC是等边三角形，得，0，故2coscos=2coscossin，故当，即D为BC中点时，原式取最大值（2）由cos ，得sin ，故sin sinsin coscos sin，由正弦定理，故AB BD1 ，故SABDABBDsin B【点睛】本题考查了三角函数和差公式、辅助角公式、正弦定理的综合应用，三角形面积的求法，属于中档题。18.如图,三棱柱的所有棱长均为,底面侧面,为的中点,.(1)证明：平面.(2)若是棱上一点,且满足,求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，易证为平行四边形，从而 .由底面侧面，可得侧面，即，又侧面为菱形，所以，从而平面，可证得AB1A1P（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.利用向量法求解试题解析;（1）取的中点，连接，易证为平行四边形，从而 .由底面侧面，底面侧面，底面，所以侧面，即侧面，又侧面，所以，又侧面为菱形，所以，从而平面，因为平面，所以.（2）由（1）知，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.因为侧面是边长为2的菱形，且，所以，得.设，得，所以，所以.而 .所以，解得.所以，.设平面的法向量，由得，取.而侧面的一个法向量.设二面角的大小为.则 19.某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱。现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：售出水量x（单位：箱）76656收益y（单位：元）165142148125150() 若x与y成线性相关，则某天售出8箱水时，预计收益为多少元？() 期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201500 名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金。甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X 的分布列及数学期望。附：，。【答案】（）186元；（）（1）；（2）分布列见解析，期望为600.【解析】试题分析：()由题意可求得回归方程为，据此预测售出8箱水时，预计收益为186元；() (1)由条件概率公式可得他获得一等奖学金的概率是；(2) 由题意可得X的取值可能为0，300，500，600，800，1000，据此求得分布列，然后计算可得数学期望为600. 试题解析：，当时，即某天售出8箱水的预计收益是186元。 () 设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，则即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为X的取值可能为0，300，500，600，800，1000，即的分布列为： （元）20.设常数在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：与轴交于点、与交于点、分别是曲线与线段上的动点（1）用表示点到点距离；（2）设，线段的中点在直线，求的面积；（3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得AQP的面积；（3）设P及E点坐标，根据直线kPFkFQ=1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据+=，求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P点坐标【详解】（1）方法一：由题意可知：设，则，；方法二：由题意可知：设，由抛物线的性质可知：，；（2），则，设的中点，则直线方程：，联立，整理得：，解得：，（舍去），的面积；（3）存在，设，则，直线方程为，根据，则，解得：，存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题21.已知函数.（I）讨论函数的单调性,并证明当时，;（）证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先求函数导数，确定导函数在定义区间上恒非负，故得函数单调区间；根据函数单调递增得，即得不等式，（2）利用（1）结论可得函数的导数在区间内单调递增，根据零点存在定理可得有一唯一零点且从而可得在处取最小值，利用化简，得最后再利用导数研究函数单调性，即得函数的值域.试题解析：（1）由得故在上单调递增， 当时，由上知，即，即，得证. （2）对求导，得， 记，由（）知，函数区间内单调递增， 又，所以存在唯一正实数，使得于是，当时，函数在区间内单调递减；当时， ，函数在区间内单调递增所以在内有最小值， 由题设即 又因为所以根据（）知，在内单调递增，所以令，则，函数在区间内单调递增，所以，即函数的值域为请考生在22、23两题中