初中数学因式分解教学之浅见.doc

初中数学因式分解教学之浅见泰州市民兴实验中学 贺 眉摘要：初中数学中，运算是十分重要的环节，因式分解常被广泛用于初等教学中。只有掌握好因式分解，方能够简化运算步骤，使运算速度有一个质的飞跃。学好因式分解，可以为以后的学习打好基础，学生在未来的学习中会更加如鱼得水，得心应手。关键词： 因式分解 公因式 灵活性 平方差初中数学中，因式分解常被广泛用于初等教学中。比如，在初中数学八年级的教学中，分式中处处都能体现出因式分解的重要，不管是在分式运算中的通分、约分等各种运算中，都需要使用到因式分解。所以，学好它，可以为以后的学习打好基础，又可以培养学生的观察、注意、分析能力。因式分解常用的方法有提公因式法、公式法，一些特殊的因式分解问题还会用到分组分解法、配方法、十字相乘法等，其中分组和配方的目的是为了可以产生新的公因式和可以使用公式法分解的形式，从而达到分解因式的目的。一、在实际教学中因式分解常用方法1、提公因式法如果多项式的各项有公因式，那么就可以把各项含有的这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 ab+ac+ad = a(b+c+d)例1：-3x3+6x2-12x = -(3x3-6x2+12x)=-3x(x2-2x+4)上题多项式的第一项是负的，这里负指的“负号”，一般要把负号提出来，使括号里的第一项是正的。但是，也不是看见负号就把它提出来，要对题目进行全面分析。2、运用公式法根据因式分解的概念，可以看出，如果把乘法公式反过来应用，就可以对多项式分解因式。这种使用公式分解因式的方法称为运用公式法。（1）完全平方公式 a2-2ab+b2 = (a-b)2 ， a2-2ab+b2 = (a-b)2（2）平方差公式 a2-b2 = (a+b) (a-b)例2: 4x2-16 = 4(x2-4) = 4(x+2)(x-2)上题里学生容易忽略这个多项式可以先提一个公因式，直接使用平方差公式。公示的套用容易使学生的思维僵化，导致在运算过程中思维僵化，不能灵活运用公式，随机应变。而我们在做因式分解的时候，应该首先考虑使用提公因式法，然后再考虑使用公式法。3、分组分解法当一个多项式没有公因式可以提取，而且又无法直接使用公式时，就可以考虑利用分组分解法来分解因式。分组分解法：把一个多项式先分组，再进行因式分解的方法。通常有两种类型：一种是分组后提公因式；另一种是分组后利用公式分解。分组分解法的关键就是如何恰当的分组。例3：a2+2b-ab-2a = (a2-ab)+(-2a+2b) =a(a-b)-2(a-b) =(a-b)(a-2)题中可以发现，前面的提公因式法和公式法不好直接使用，通过观察我们可以把这个多项式进行分组，然后就可以提取公因式，进行因式分解，特别注意分组分解必须有明确的分组。4、十字相乘法十字相乘法的对象是一个二次三项式：x2+(p+q)x+pq，它的特点是二次项系数是1，常数项是两个积，一次项系数是常数项的两个因数的和。所以，对于这类特殊的二次三项式我们可以进行因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。例4：x2+5x+6=(x+2)(x+3)上题中，常数项6可以分解成2和3两个因数，并且2和3的和恰好等于这个一次项的系数，所以我们可以采用十字相乘法。上面就是我们因式分解中的四个常用的方法，而我们进行因式分解的时候，一般按照先提公因式，再使用公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。因式分解是数学中的重要内容，数学运算中离不开因式分解，因此必须扎实地打好基础。二、因式分解中存在的误区在初中数学的学习中，运算是十分重要的环节，而因式分解又是运算技巧中不可或缺的环节，只有掌握好因式分解，方能简化运算步骤，使运算速度有一个质的飞跃。学好因式分解，学生在未来的学习中会更加如鱼得水，得心应手。但由于不少学生在因式分解过程中容易走进误区，产常犯错误，对因式分解还不能熟练掌握，导致运算结果出现不理想。1、 概念理解错误概念是运算必须遵循的法则，是架起因式分解的灵魂桥梁。因式分解的概念是把多项式转化成整式乘积的形式。例如=x（x2）+1，结果不是两个整数乘积的形式，而仍旧是和的形式1。正确的解法应当是化为积的形式；因式分解的最终结果就是整式乘积，而学生会忽略整式两个字，例如=x（x-），常常考试时也会失分。2、 分解不彻底在因式分解的过程中，常常需要分解多次，提公因式法和运用公式法混合使用，不少学生没有分解完全就不再做下去了。在考试时出现这样的错误，这样白白丢分不免遗憾。例如4x2-16 = 4(x2-4) 做到这里就不再进行分解了，而实际上多项式x2-4我们还能够使用平方差公式进行因式分解，正确应该是4x2-16 = 4(x2-4) = 4(x+2)(x-2)3、 相同因式不合并相同的因式指的就是像（a+b）和（a+b）这样两个一模一样的公式，在运算的最后，一定要将这样相同的因式进行合并，力求让结果最简，写成幂的形式。大多数的错误，都是由于学生的粗心造成的，仔细检查是可以避免的2。4、 符号出错符号问题主要出现在正负号上，不少学生容易犯的错误，在提公因式时需要将括号里的符号改变过来，学生做的时候，容易忘记变号或者没有括号内每一项都改变符号。例如-2a-abc就要转变为-a（2+bc）的形式，符号提到括号外了，应当符号转变为正号，如果仍是负号，运算结果就是错误的。三、巧用因式分解，灵活解决问题因式分解方法的灵活性、技巧性较强，就初中数学而言，掌握这些方法和技巧极其重要。不仅是掌握因式分解的基础内容，还有发展学生的思维能力和解题技巧。因式分解是初中必学的运算技巧，也对今后更高难度数学的学习有很大影响。1、整除问题例：248-1能被60和70之间的两个数整除。这两个数各是多少？分析：因为48=224，所以248=(224)2，这样就可以使用平方差公式进行因式分解。解： 248-1=(224)2-1=(224+1) (224-1) =(224+1)(212)2-1 =(224+1) (212+1) (212-1)=(224+1) (212+1) (26)2-1 =(224+1) (212+1) (26+1) (26-1)=(224+1) (212+1) (26+1) (23)2-1 = (224+1) (212+1) (26+1) 97= (224+1) (212+1) 6563 因为，整除的两个数在60和70之间，606570，606370，所以这两个数分别是65和63。2、条件求值问题例：已知a=2009x+2008，b=2009x+2009，c=2009x+2010，求多项式a2+b2+c2abbcac的值。分析：解题过程中，观察题目的特点。由a=2009x+2008，b=2009x+2009，c=2009x+2010，求得ab=1，ac=2，bc=1，然后把多项式a2+b2+c2abbcac合理分成两组，各组再进行因式分解，整体代入法求值。解：a=2009x+2008，b=2009x+2009，c=2009x+2010ab=1，ac=2，bc=1 ，a2+b2+c2abbcac= ( a22ab+b2 )+ (abacbc +c2 ) =(ab)2 + (ac)(bc) = (1)2+(2)(1) =1+2=33、图形形状问题例：已知ABC的三边a、b、c满足关系式：a2-c2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。分析：此题实际上考察多项式因式分解，先对等号左边多项式因式分解，分解的时，先进行恰当的分组，把a2和-c2分为一组，2ab和-2bc分为一组，然后提公因式3。证明：a2-c2+2ab-2bc=0 ， (a2-c2)+(2ab-2bc)=0 ， (a+c)(a-c)+2b(a-c)=0 ， (a-c) (a+c+2b)=0 ， a、b、c是ABC的三条边， a+c+2b0 a-c=0，即a=c， ABC为等腰三角形。总而言之，让学生掌握好因式分解，熟练运用因式分解