变化率与导数导学案及练习题

1 / 4 变化率与导数导学案及练习题 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 函数的平均变化率瞬时速度与导数 【学习要求】 1.了解导数概念的实际背景 .2.会求函数在某一点附近的平均变化率 . 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数 . 【学法指导】导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率、瞬时变化率的概念，可以从物理和几何两种角度理解导数的意义，深刻体会无限逼近的思想 . 1.函数的变化率 定义实例 平均变化率函数 y f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为，简记作： yx 平均速度； 曲线割线的斜率 瞬时变化率函数 y f(x)在 x x0 处的瞬时变化率是函数f(x)从 x0 到 x0 x 的平均变化率在 x0 时的极限，即 limx0yx 瞬时速度：物体在某一时刻的速度； 切线斜率 2.函数 f(x)在 x x0 处的导数 函数 y f(x)在 x x0 处的称为函数 y f(x)在 x x0 处的导数， 记作，即 f(x0) limx0yx . 2 / 4 引言 那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？ 探究点一 平均变化率的概念 问题 1 气球膨胀率我们都吹过气球，回忆一 下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢 .从数学的角度，如何描述这种现象呢？ 问题 2 高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h(单位： m)与起跳后的时间 t(单位： s)存在函数关系h(t) 10.计算运动员在下列时间段内的平均速度 v，并思考平均速度有什么作用？ (1)0t ， (2)1t2. 问题 3 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？ 问题 4 平均变化率也可以用式子 yx 表示，其中 y 、x 的意义是什么？ yx 有什么几何意义？ 例 1 已知函 数 f(x) 2x2 3x 5. (1)求当 x1 4，且 x 1 时，函数增量 y 和平均变化率yx ； (2)求当 x1 4，且 x 时，函数增量 y 和平均变化率yx ； (3)若设 x2 x1 x. 分析 (1)(2)题中的平均变化率的几何意义 . 跟踪 1 (1)计算函数 f(x) x2 从 x 1 到 x 1 x 的平均变化率，其中 x 的值为 2 ； 1 ； ； 3 / 4 (2)思考：当 |x| 越来越小时，函数 f(x)在区间 1,1 x上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 探究点二 函数在某点处的导数 问题 1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？ 问题 2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？ 问题 3 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？ 例 2 利用导数的定义求函数 f(x) x2 3x 在 x 2 处的导数 . 跟踪 2 求函数 f(x) 3x2 2x 在 x 1 处的导数 . 例 3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热 .如果第 xh 时，原油的温度 (单位： ) 为 y f(x) x2 7x 15(0x8). 计算第 2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们 的意义 . 跟踪 3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间 t(单位： s)之间的关系式为 h(t) 10，求运动员在 t 6598s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况 . 【达标检测】 1.在导数的定义中，自变量的增量 x 满足 ( ) A.x0c.x 0D.x0 2.函数 f(x)在 x0 处可导，则 limh0fx0 4 / 4 h fx0h( ) A.与 x0、 h 都有关 B.仅与 x0 有关，而与 h 无关 c.仅与 h 有关，而与 x0 无