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文档简介

复习上次课的内容：,定义1,对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的初等行变换,(1)互换两行(记作：),(2)以数0乘以第行(记作：),(3)将第j行各元素乘以数后加到第i行的对应元素上去(记作：),由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。,定义2,(1)交换矩阵,(2)倍乘矩阵,0,0,第i行,(1)初等矩阵都是可逆矩阵(2)初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵,说明,一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法,2.7矩阵的秩,一、矩阵秩的概念,1.k阶子式,例如：,一个2阶子式,(1)A的每个元素aij都是A的一个一阶子式,(2)当A为n阶方阵时，n阶子式即为|A|,注：,2.矩阵的秩,(3),A中有二阶子式，但它的任何三阶子式皆为零，即不为零的子式最高阶数，从而,（1）非奇异矩阵（可逆矩阵）A，有|A|0，A的秩就等于它的阶数，A为满秩矩阵。,(2)奇异矩阵A，也称为降秩矩阵。,注意：,二、矩阵秩的求法,定理1：对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变,即:若矩阵A经过有限次的初等变换后得到矩阵B,则,初等变换求矩阵秩的方法（1）,用初等变换把矩阵A化为型如的矩阵，可得,例1、,将A化为一个阶梯矩阵，数非零行的行数即为A的秩,初等变换求矩阵秩的方法（2）,（更容易）,第二章矩阵（习题课）,矩阵,1、矩阵的定义,、方阵列矩阵行矩阵,两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵,、同型矩阵和相等矩阵,、零矩阵单位矩阵,交换律,结合律,、矩阵相加,运算规律,、数乘矩阵,、矩阵相乘,运算规律,n阶方阵的幂,、方阵的运算,方阵的行列式,运算规律,转置矩阵,、一些特殊的矩阵,对称矩阵,反对称矩阵,幂等矩阵,正交矩阵,对角矩阵,对合矩阵,上三角矩阵,主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵,下三角矩阵,主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵,伴随矩阵,定义,10、逆矩阵,相关定理及性质,矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似,11、分块矩阵,在这一章中必须掌握的计算问题的有：1）矩阵的和、数乘、乘积、转置、幂等的运算2）矩阵的逆的求法（两种方法）3）矩阵的初等变换及求矩阵的秩,例2、设A,B为同阶方阵，则必有：1）r(AB)=r(BA)；2）r(A+B)=r(A)+r(B);3)r(A-B)=r(B-A);4)r(AB)=r(A)r(B).,例3、设A,B为同阶方阵且AB=0，则必有1）A=0或B=0；2）A+B=0;3)|A|=0或|B|=0;4)|A|+|B|=0,例4、同阶方阵A,B;则下列命题是否正确1）|A|=0能否得到A=0；2）A2=0能否得到A=0;3)A对称，则A2对称。,例5、A2=A,且A可逆，则A=？,例6、A3=I,则A-1=?,4)(A+B)(A-B)=A2-B2,例7、设A,B为n阶矩阵，且有|A|-2，|B
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