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卷积的物理意义卷积的物理意义 进入到大学之后，学习的第一门课就是微积分， 这门课对于理工 科学生来说应该是整个大学学习最大的基石， 因为读大学的首要目的 就是对某一方面的事物有更加具体详细的认识， 从而大大增强我们对 这方面的事物改造与创造的能力，提升我们个人的生产力。 而对于学 工科的我们来说， 我们在大学里所要研究与认识的东西是某一具体的 物质， 这些物质由于具体这些物质由于具体， 所以必然可以被分解为无数非常小的微粒所以必然可以被分解为无数非常小的微粒， ， 由于这些微粒各自之间的作用的累积由于这些微粒各自之间的作用的累积， 形成了我们所需研究的物质的形成了我们所需研究的物质的 种种特性种种特性， 于是要能够对这些物质具体详细的认识就必须从非常小的于是要能够对这些物质具体详细的认识就必须从非常小的 微粒开始研究微粒开始研究， 而微积分本质就是对许多无穷小量的微元在一定范围而微积分本质就是对许多无穷小量的微元在一定范围 内进行加减乘除也就是微分与积分的运算内进行加减乘除也就是微分与积分的运算， 这正好契合了我们工科专 业的研究物理性东西的需求。因此，在这样的背景下，我们在大学中 就会学到一系列具有物理意义的数学公式与概念，这些公式十分抽 象， 但却包罗万象，本文就是试图对卷积这一数学概念做一个深入的 分析。 首先，先列出卷积的定义式：( )( ) ()r teh td + = 。从直观上理解从直观上理解 这个公式就是这个公式就是 r r r r 在在 t t t t 时刻的取值等于时刻的取值等于 e e e e 在在时刻的取值乘以它持续的时刻的取值乘以它持续的 时间时间d d d d再乘以一个大小与再乘以一个大小与t- t- t- t-这段时间间隔有关的系数这段时间间隔有关的系数 h(t-h(t-h(t-h(t-) ) ) )最后最后 在整个时间域上相加（积分）所得的值，这是最本质的解释在整个时间域上相加（积分）所得的值，这是最本质的解释。 在物理上e(t)e(t)e(t)e(t)看成一个外界对某一系统的作用（激励）看成一个外界对某一系统的作用（激励） r(t)r(t)r(t)r(t)看成这个作用对该系统的某个状态量的作用效果（响应）看成这个作用对该系统的某个状态量的作用效果（响应） h(t)h(t)h(t)h(t)看成一个反映系统性质的函数看成一个反映系统性质的函数( ( ( (冲击响应冲击响应) ) ) ) 如果从这个角度再来理解这一公式的话，那就是：对于一个已有 的系统在某一时刻在某一时刻外界对它产生了一个作用（激励）外界对它产生了一个作用（激励）e( e( e( e( ) ) ) )，它的持，它的持 续时间是续时间是d d d d， 所以它的所以它的作用量作用量 （作用值乘以作用时间作用值乘以作用时间） 等于等于 e( e( e( e( )d)d)d)d， ， 再再乘以一个系数乘以一个系数 h(t-h(t-h(t-h(t-) ) ) )（表示（表示时刻激励对时刻激励对 t t t t 时刻系统状态量时刻系统状态量 r(t)r(t)r(t)r(t)的的 影响程度影响程度，这个系数的取值是这个系数的取值是 t t t t 与与的时间间隔的时间间隔t- t- t- t-的函数的函数） ，也就是也就是 相当于将这个激励量通过相当于将这个激励量通过h h h h（t t t t）传递过去）传递过去（所以（所以h h h h（t t t t）也称为传递）也称为传递 函数函数） ， 系统最终得到系统最终得到时刻激励时刻激励e( e( e( e() ) ) )对状态量对状态量r(t)r(t)r(t)r(t)在在 t t t t 时刻的取值的时刻的取值的 影响量影响量 e( e( e( e( )h(t-)h(t-)h(t-)h(t-)d)d)d)d，将，将各时刻的影响量累加起来（积分各时刻的影响量累加起来（积分） ，就得到，就得到 了卷积的这个公式了了卷积的这个公式了。 简而言之简而言之， 就是某一时刻的状态量取决于所有就是某一时刻的状态量取决于所有 时刻的作用效果以某种方式累积起来的结果时刻的作用效果以某种方式累积起来的结果。 这样就应该解释清了卷这样就应该解释清了卷 积这一数学概念最本质的物理意义积这一数学概念最本质的物理意义。 下面举个例子，比如 00 ( )( )* ()()r te ttte tt=这个公式，将该公式 变化得到 00 ( )( ) ()()r tettde tt + = ，由上式可以看出只有当 0 tt= 时冲激函数才有值，其他时刻都是0，所以物理意义就是只有物理意义就是只有 当前时刻当前时刻 t t t t 之前之前 0 t时间的时间的t- t- t- t- 0 t时刻的激励才能完全地作用到响应上，时刻的激励才能完全地作用到响应上， 且大小不变且大小不变，其他时刻的激励对当前时刻其他时刻的激励对当前时刻 t t t t的响应都没有影响的响应都没有影响。这个 例子反映的是一种最简单的情况即响应恰好只等于某一时刻的激励。 再举一个生动的例子就是用一个力拉一个弹簧， 弹簧后面连着一个物 块， 在粗糙的表面作直线运动，把力f（t） 看成激励， 物块的速度v(t) 看成响应量，则物块和弹簧就组成了一个系统，该系统的传递函数h （t）取决于弹簧的质量、弹性模量、物块的质量和表面的摩擦力。 如图： 则t t t t时刻速时刻速度度v v v v的大小取决于之前所有时刻的大小取决于之前所有时刻力力f f f f通过系统传递给它的通过系统传递给它的 作用的累积作用的累积，可以用卷积的方法。( )( )( )v tf th t=得到。 了解了卷积最本质的物理意义之后，就要研究一下在应用卷积中 会碰到的一些具体的物理概念性的问题了。 第一，目前为止，我们所学的知识都是把卷积应用在线性时不变 系统中，即系数h（t）的大小只决定于时间间隔t-，而与某个初始 时刻无关（时不变性）以及与激励量的大小无关（线性） 。但我认为 卷积的概念可以拓展到非线性时变的领域。先讨论时变， 时变意味着 系数h（t）的关于时间 t 的函数表达式会随着时间的流淌而变化，就 拿上面这个施力拉物块的例子说，时变就等于是弹簧的质量、弹性模 量、 物块的质量和表面的摩擦力这些系统的性质量里的某些会随时间 发生变化，比如随着时间的变化周围温度发生变化导致弹性模量改 变，或者每隔一段时间切去物块的一部分质量等等的情况都会导致h （t）表达式的变化，但是这些变化都能够量化，且只要知道这些变 化何时发生，就可以把它们写成关于时间的函数（如果不是连续的函 数则可用分段函数的形式表示） ， 即使不知道这些变化会在何时发生， 也可以利用通信原理里面处理高斯白噪声的随机过程的方法， 把这些 变化看成随机过程，通过一系列数学推导，与 t 有关的带有概率的表 达式，最后把这些与 t 有关的表达式都体现到h（t）的表达式中去， 从而将它扩展为h（t，K（t） ）的形式（K（t）是那些参数随时间变 化的函数式） ，然后在卷积的积分中使用分段积分的方法，就可以利 用卷积得到时变系统的响应了。 再讨论非线性，非线性就是根据输入 e（t）的不同h（t）会发生改变，还是拿施力拉物块的例子说，比如 物块物块 F（t） v（t） 某一时刻突然力f很大把弹簧拉得变形了或拉断了改变了弹簧弹性或 者使物块一下子与地面产生巨大摩擦磨掉了一些质量， 这些都是非线 性的表现会使h（t）改变，处理的方法和讨论时变情况时一样，把h （t）扩展为h（t，F（t） ）(F（t）为力)的形式，利用分段积分的方法， 最终得到非线性系统的响应了。 最后， 在上面的讨论中可能会让人觉 得对于未知h（t） 的参数随时间如何变化即具有随机性时如何应用卷 积方法的讨论过于模糊笼统，但是我认为在现实的物理和工程问题 中， 过于突发的事件来产生时变与非线性的情况极少遇到， 现实中都 是一些h（t）的参数缓慢变化且可以通过详细分析与测量研究清楚它 们如何变化的情况，所以前面讨论出的结论可以成立，就是说卷积的 方法可以扩展到非线性时变的物理系统中。 第二，考虑以下这种情况，力拉物块时，若力突然去掉，如果仅 仅从( )( )( )v tf th t=这个公式来看v（t）应该趋于不变，但根据物理知 识我们知道物块会受地的摩擦力及其他一些阻力而停下， 乍看来卷积 公式似乎出错了，但是实际上能够形成对v（t）的激励的不仅仅只有 f（t）还有摩擦力和空气阻力等等其它作用，所以若仅仅研究v（t） 如何受外界作用而变化， 则需要把激励e（t） 写成外界一切能对v（t） 产生激励的作用的复合函数即e（A（t）,B（t）, C（t）,D（t） 的形式并且把总的传递函数写成对于不同的激励方式的不同的传递 函数复合起来的形式，这样才能利用卷积真实正确得反映v（t）的变 化。 但我认为现实中应该不是这样使用卷积的，卷积应该是主要针对 激励的， 研究某一指定激励使系统某个状态产生的变化量而不是针对 系统某一状态在某一时刻取何值的。 当然利用卷积的物理意义这两个 目的都是可以实现的，只是前者用得更多而已。 最后，总而言之，卷积既是一种抽象的数学概念，又有着十分抽 象但十分本质性的物理意义， 这样的性质似乎完全把数学与物理之间 划上了一个等号， 虽然乍看之下数学与物理似乎差别很大， 一个研究 抽象的数，一个研究具体事物，但是从另一个角度看，数学的本质是 研究无数无任何差别的微元无数无任何差别的微元 dxdxdxdx 的累积起来形成种种不同的特殊的量的累积起来形成种种不同的特殊的量 以及这些量之间的静态关系以及这些量之间的静态关系 （函数与映射函数与映射） 和动态关系和动态关系 （导数与积分导