山东省枣庄市枣庄十八中高三数学4月模拟考试试题文含解析新人教A版.doc

2015年山东省枣庄十八中高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2015枣庄校级模拟）设集合M=x|x=+，kZ，N=x|x=+，kZ，则（） A M=N B MN C MN D MN=【考点】： 集合的包含关系判断及应用【专题】： 计算题；集合【分析】： 利用k=2n，nZ，则M=N，即可得出结论【解析】： 解：集合M=x|x=+，kZ=x|x=+，kZ，N=x|x=+，kZ，M中元素都是N中元素，又N中有元素不属于M，MN故选：B【点评】： 本题考查集合的包含关系判断及应用如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集2（5分）（2015枣庄校级模拟）给出下列四个命题（）命题：xR，sinx1，则p：xR，sinx1当a1时，不等式|x4|+|x3|a的解集为非空当x1时，有lnx+设复数z满足（1i）z=2i，则z=1i其中真命题的个数是（） A 1 B 2 C 3 D 4【考点】： 命题的真假判断与应用【专题】： 简易逻辑【分析】： 根据全称命题的否定，绝对值的性质，基本不等式，复数的运算，逐一分析四个命题的真假，综合可得答案【解析】： 解：若命题：xR，sinx1，则p：xR，sinx1，故错误|x4|+|x3|（x4）（x3）|=1，故当a1时，不等式|x4|+|x3|a的解集为非空故正确；当x1时，lnx0，由基本不等式可得lnx+，故正确设复数z满足（1i）z=2i，则z=1+i1i，故错误；故真命题的个数为2个，故选：B【点评】： 本题以命题的真假判断为载体考查了全称命题的否定，绝对值的性质，基本不等式，复数的运算，难度不大，属于基础题3（5分）（2015枣庄校级模拟）设，则（） A abc B bca C bac D cba【考点】： 对数值大小的比较【专题】： 计算题；函数的性质及应用【分析】： 将a，b利用换底公式，通过对数函数的单调性判断a，b的大小，再根据与特殊点的比较可得答案【解析】： 解：a=log32=，b=ln2=，log23log2e1，又1ln2，c=1，abc，故选：A【点评】： 本题主要考查对数函数的单调性与特殊点的问题要熟记一些特殊点，比如logaa=1，loga1=04（5分）某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为x分钟有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在060分钟内的学生的频率是（） A 680 B 320 C 0.68 D 0.32【考点】： 程序框图【分析】： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是统计1000名中学生中，平均每天做作业的时间在060分钟内的学生的人数【解析】： 做！解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是统计1000名中学生中，平均每天做作业的时间不在060分钟内的学生的人数由输出结果为680则平均每天做作业的时间在060分钟内的学生的人数为1000680=320故平均每天做作业的时间在060分钟内的学生的频率P=0.32故答案为：0.32【点评】： 本题考查的知识点是程序框图和分层抽样，考查转化思想，发现问题解决问题的能力5（5分）（2015枣庄校级模拟）已知数列an满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2）an+sin2，则该数列的前8项和为（） A 38 B 40 C 42 D 44【考点】： 数列递推式【专题】： 点列、递归数列与数学归纳法【分析】： 由数列递推式结合a1=1，a2=2得到一般性结论当n=2k1（kN*）时，a2k+1a2k1=1当n=2k（kN*）时，a2k=2k由此可求得数列的前8项和【解析】： 解：a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2）an+sin2，a3=（1+cos2）a1+sin2=a1+1=2，a4=（1+cos2）a2+sin2=2a2=4一般地，当n=2k1（kN*）时，a2k+1=1+cos2a2k1+sin2=a2k1+1，即a2k+1a2k1=1数列a2k1是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2k1=k当n=2k（kN*）时，a2k+2=（1+cos2）a2k+sin2=2a2k数列a2k是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2k该数列的前项的和为1+2+2+4+3+8+4+16=40故选：B【点评】： 本题考查了数列递推式，考查了等差关系和等比关系的确定，是中档题6（5分）ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在方向上的投影为（） A B 3 C D 3【考点】： 平面向量数量积的含义与物理意义【专题】： 计算题【分析】： 由题意画出图形，借助与图形利用向量在方向上的投影的定义即可求解【解析】： 解：由题意因为ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，对于，所以可以得到图形为：因为，所以四边形ABOC为平行四边形，又由于，所以三角形OAB为正三角形且边长为2，所以四边形ABOC为边长为2且角ABO为60的菱形，所以向量在方向上的投影为：=故选：A【点评】： 此题考查了两个向量的夹角定义，还考查向量在另外一个向量上的投影的定义及学生的分析问题的数形结合的能力7（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（） A 28+6 B 30+6 C 56+12 D 60+12【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 立体几何【分析】： 通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可【解析】： 解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底=10，S后=，S右=10，S左=6几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6故选：B【点评】： 本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力8（5分）（2015枣庄校级模拟）A，B是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要的时间为（）小时 A 1 B 2 C 1+ D 【考点】： 解三角形的实际应用【专题】： 应用题；解三角形【分析】： 在DAB中，由正弦定理得，由此可以求得DB=10海里；然后在DBC中，由余弦定理得CD2=BD2+BC22BDBCcosDBC=900，即CD=30海里；最后根据时间=，即可求得该救援船到达D点需要的时间【解析】： 解：由题意知AB=5（3+）海里，DBA=9060=30，DAB=45，ADB=105，在DAB中，由正弦定理得，DB=，=，=10（海里），又DBC=DBA+ABC=30+（9060）=60，BC=20海里，在DBC中，由余弦定理得CD2=BD2+BC22BDBCcosDBC=300+120021020=900，CD=30（海里），则需要的时间t=1（小时）故选：A【点评】： 本题考查了正弦定理与余弦定理，考查特殊角的三角函数准确找出题中的方向角是解题的关键之处9（5分）（2015枣庄校级模拟）已知直线x=被双曲线=1的两条渐近线所截得线段的长度恰好等于其一个焦点到渐近线的距离，则此双曲线的离心率为（） A B C 2 D 3【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 利用双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式即可得出【解析】： 解：直线x=为双曲线的一条准线，被它的两条渐近线所截得线段AB的长=，焦点F（c，0）渐近线y=x的距离d=b由题意，=b，即e=2故选：C【点评】： 熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式等是解题的关键10（5分）（2015枣庄校级模拟）已知函数f（x）的定义域为（0，+），对于给定的正数K，定义函数fk（x）=若对于函数f（x）=恒有fk（x）=f（x），则（） A K的最大值为 B K的最小值为 C K的最大值为2 D K的最小值为2【考点】： 利用导数研究函数的单调性；分段函数的应用【专题】： 函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】： 由已知条件可得kf（x）max，用导数确定函数函数的单调性，求解函数的最值，即可得到结论，【解析】： 解：函数f（x）的导数f（x）=，设g（x）=，则g（x）在（0，+）单调递减，且g（1）=0，令f（x）=0，即=0，解出x=1，当0x1时，f（x）0，f（x）单调递增，当x1时，f（x）0，f（x）单调递减故当x=1时，f（x）取到极大值同时也是最大值f（1）=故当k时，恒有fk（x）=f（x）因此k的最小值为故选：B【点评】： 本题主要考查函数新定义的应用，根据定义fk（x）=f（x）等价为求函数f（x）的最大值，求函数的导数是解决本题的关键二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11（5分）（2015枣庄校级模拟）复数z=在复平面内对应点所在的象限是二【考点】： 复数的代数表示法及其几何意义【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解析】： 解：复数z=1+i在复平面内对应点（1，1）所在的象限是第二象限故答案为：二【点评】： 本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题12（5分）（2015枣庄校级模拟）过点O（0，0）作直线与圆C：（x2）2+（y2）2=9相交，在弦长均为整数的所有直线中，等可能地任取一条直线，则弦长不超过5的概率为【考点】： 几何概型【专题】： 计算题；概率与统计【分析】： 利用圆的标准方程求出圆的圆心及半径，求出当直线与圆心和（0，0）连线垂直时的弦长即最短的弦长，求出直径即最大的弦长，求出最大弦长与最小弦长之间的所有的直线条数，选出长度不超过5的直线条数，利用古典概型概率公式求出概率【解析】： 解：圆C：（x2）2+（y2）2=9的圆心为（2，2），半径为3，（0，0）在圆的内部且圆心与（0，0）的距离为2过点O（0，0）作的直线中，最短的弦是直线与圆心和（0，0）连线垂直最短的弦长为2过点O（0，0）作的直线中，最长的弦是直径，其长为6弦长均为整数的所有直线的条数有8，其中长度不超过5的有：2，3，3，4，4，5，5，共7条所以长度不超过5的概率为故答案为：【点评】： 求直线的最小弦长、最大弦长问题一般利用圆的几何性质：当直线与定点和圆心连线垂直时，弦长最小，当直线是圆的直径时，弦长最大13（5分）（2015枣庄校级模拟）设x，y满足约束条件，若目标函数z=x+ky的最大值为7，则实数k的值为2【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，进一步利用目标函数z=x+ky的最大值为7，判断目标函数经过的点，即可求出k的值【解析】： 解：由变量x，y满足约束条件，作出可行域：z=x+ky的最大值为7，即y=x+在y轴是的截距是7，目标函数z=x+ky经过的交点A（，），7=+，解得k=2故答案为：2【点评】： 本题考查简单的线性规划的应用，在解决线性规划的问题时，常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解14（5分）（2015枣庄校级模拟）在花园小区内有一块三边长分别为3米、4米、5米的三角形绿化带，有一只小狗在其内部玩耍，若不考虑小狗的大小，则在任意指定的某一时刻，小狗与三角形三个顶点的距离均超过1米的概率是1【考点】： 几何概型【专题】： 计算题；概率与统计【分析】： 求出三角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对理事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率【解析】： 解：三角形ABC的面积为34=6，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S=12=，所以在任意指定的某时刻，小狗与三角形三个顶点的距离均超过1米的概率为P=1=1，故答案为：1【点评】： 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关15（5分）（2015枣庄校级模拟）已知，点C在AOB内，AOC=45，设，则=【考点】： 向量的线性运算性质及几何意义【专题】： 计算题【分析】： 将向量 沿 与 方向利用平行四边形原则进行分解，建立平面直角坐标系，便于计算【解析】： 如图所示，建立直角坐标系则 =（1，0），=（0，），=m +n =（m，n），tan45=1=故选B【点评】： 对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量16（5分）挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割（如图），利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式一阿贝尔公式：a1b1+a2b2+a3b3+anbn=a1（b1b2）+L2（b2b3）+L3（b3b4）+Ln1（bn1bn）+Lnbn则其中：（I）L3=a1+a2+a3；（）Ln=a1+a2+a3+an【考点】： 数列的应用【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 根据a1b1+a2b2+a3b3+anbn=a1（b1b2）+L2（b2b3）+L3（b3b4）+Ln1（bn1bn）+Lnbn，分别取n=2，3求出L2，L3，找出规律，从而求出Ln【解析】： 解：根据题意，由于利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式一阿贝尔公式：a1b1+a2b2+a3b3+anbn=a1（b1b2）+L2（b2b3）+L3（b3b4）+Ln1（bn1bn）+Lnbn，当n=2时，则a1b1+a2b2=a1（b1b2）+L2b2，L2=a1+a2，当n=3时，则a1b1+a2b2+a3b3=a1（b1b2）+L2（b2b3）+L3b3，L3=a1+a2+a3，而对于该结论加以推广可知，Ln=a1+a2+a3+an故答案为：a1+a2+a3，a1+a2+a3+an【点评】： 本题主要是考查了数列的规律性的运用，根据前几项的规律归纳出第n项的规律，同时考查了推理的能力，属于中档题17（5分）（2015枣庄校级模拟）已知函数f（x）=x3+2x2ax+1在（1，1）上存在极值点，则实数a的取值集合为（3，5）【考点】： 函数在某点取得极值的条件【专题】： 导数的综合应用【分析】： 先求f（x）=x2+4xa，所以该函数对称轴为：x=2，所以（1，1）在对称轴的右边，因为f（x）在（1，1）上存在极值点，即说明函数f（x）在该区间存在零点，所以：，解不等式组即得实数a取值的集合【解析】： 解：f（x）=x2+4xa；该函数的对称轴是：x=2；f（x）在（1，1）上存在极值点，即函数f（x）在该区间存在零点，且（1，1）在x=2的右边；，解得3a5；实数a的取值集合为：（3，5）故答案为：（3，5）【点评】： 考查函数极值的概念，一函数存在极值点和导函数存在零点的关系三、解答题：本大题共5小题，共65分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18（12分）（2015枣庄校级模拟）已知向量（1）当时，求cos2xsin2x的值；（2）设函数，已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=，求的取值范围【考点】： 余弦定理；数量积的坐标表达式；三角函数中的恒等变换应用【专题】： 计算题【分析】： （1）由两向量的坐标，以及两向量平行列出关系式，整理求出tanx的值，所求式子变形后利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanx的值代入计算即可求出值；（2）利用平面向量的数量积运算法则确定出f（x），由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，确定出A的度数，代入所求式子，根据x的范围求出这个角的范围，进而求出正弦函数的值域，即可确定出所求式子的范围【解析】： 解：（1）=（sinx，），=（cosx，1），sinx=cosx，即tanx=，则cos2xsin2x=cos2x2sinxcosx=；（2）f（x）=2（+）=2（sinxcosx+cos2x+）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，a=，b=2，sinB=，由正弦定理=得：sinA=，ab，AB，A=，原式=sin（2x+），x0，2x+，1sin（2x+），则sin（2x+）即所求式子的范围为，【点评】： 此题考查了余弦定理，数量积的坐标表达式，正弦函数的定义域与值域，以及三角函数的恒等变换，熟练掌握余弦定理是解本题的关键19（12分）已知数列an中，a1=1，an+1=（nN*）（）若数列bn满足bn=+，求证：bn为等比数列；（）求数列an的通项公式an；（）数列cn满足cn=（3n1）an，数列cn的前n项和为Tn是否存在正实数，使得不等式Tn+对一切nN*恒成立，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】： 数列递推式；数列的函数特性；等比关系的确定【专题】： 点列、递归数列与数学归纳法【分析】： （）由数列递推式求出b1，然后结合an+1=，bn=+直接利用等比数列的定义进行证明；（）求出数列bn的通项公式后，结合bn=+求解数列an的通项公式an；（）由错位相减法求出数列cn的前n项和Tn，代入Tn+后由函数的单调性求得正实数的取值范围【解析】： （）证明：a1=1，an+1=，bn=+，bn是首项为，公比为3的等比数列；（）解：由（）知，；（）解：cn=（3n1）an=作差得G（n）=Tn+=4单调递增（nN*）当n=1时，G（n）取最小值2又R+，（0，2）【点评】： 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，考查了数列的函数特性，是中档题20（13分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC=2，PA=2，E，F是PC上的两点，PE=2EC，CF=2FP，连AF（）证明：AF平面BDE；（）证明：PC平面BED；（）设二面角APBC为90，判断BC与平面PAB是否垂直，并求棱锥PABCD的体积【考点】： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： （）记ACBD=O，连OE，AF，由已知条件得OEAF，由此及彼能证明AF平面BDE（）RtPAC，PA=2，AC=2，从而，CEOCAP，进而OEPC，由菱形性质得BDAC，由线面垂直得BDPA，由此能证明PC平面BDE（3）过A作AMPB于M，则AM平面PBC，由此能求出棱锥PABCD的体积【解析】： （）证明：记ACBD=O，连OE，AF，底面ABCD为菱形，O是AC中点，E，F是PC上的两点，PE=2EC，CF=2FP，OEAF，AF不包含于平面BDE，OE平面BDE，AF平面BDE（4分）（）RtPAC，PA=2，AC=2，CE=，CEOCAP，OEPC，菱形ABCD中，BDAC，又PA平面ABCD，BDPA，BD平面PAC，BDPC，BDOE=O，BD，OE平面BDE，PC平面BDE（8分）（3）解：过A作AMPB于M，则AM平面PBC，AMBC，又PA平面ABCD，PABC，BC平面PAB，BCAB底面ABCD为正方形=（13分）【点评】： 本题考查直线与平行平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查棱体体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养21（14分）设函数f（x）=alnxbx2（x0）；（1）若函数f（x）在x=1处与直线相切求实数a，b的值；求函数上的最大值（2）当b=0时，若不等式f（x）m+x对所有的都成立，求实数m的取值范围【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】： 计算题；压轴题【分析】： （1）先求出原函数的导数：，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率列出关于a，b的方程求得a，b的值研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定