中学函数总结

1 / 61 中学函数总结 中学函数知识总结 一次函数 一、定 义与定义式： 自变量 x 和因变量 y 有如下关系： y=kx+b 则此时称 y是 x的一次函数。 特别地，当 b=0时， y是 x 的正比例函数。 即： y=kx 二、一次函数的性质： 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例，比值为 k 2 / 61 即： y=kx+b 2.当 x=0 时， b为函数在 y轴上的截距。 三、一次函数的图像 及性质： 1作法与图形：通过如下 3个步骤 列表； 描点； 连线，可以作出一次函数的图像 一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道 2 点，并连成直线即可。 2性质：在一次函数上的任意一点 P，都满足等式： y=kx+b。一次函数与 y轴交点的坐标总是正比例函数的图像总是过原点。 3 k， b与函数图像所在象限： 3 / 61 当 k 0时，直线必通过一、三象限， y随 x 的增大而增大； 当 k 0时，直线必通过二、四象限， y随 x 的增大而减小。 当 b 0时，直线必通过一、二象限； 当 b=0时，直线通过原点 当 b 0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当 b=O时，直线通过原点 O 表示的是正比例函数的图像。 这时，当 k 0时，直线只通过一、三象限；当 k 0 时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点 A； B，请确定过点 A、 B的一次函数的表达式。 设一次函数的表达式为 y=kx+b。 4 / 61 因为在一次函数上的任意一点 P，都满足等式 y=kx+b。所以可以列出 2个方程： y1=kx1+b 和 y2=kx2+b 解这个二元一次方程，得到 k， b的值。 最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用： 1.当时间 t一定，距离 s 是速度 v 的一次函数。 s=vt。 2.当水池抽水速 度 f 一定，水池中水量 g 是抽水时间 t的一次函数。设水池中原有水量 S。 g=S-ft。 六、常用公式： 1.求函数图像的 k 值： 二次函数 I.定义与定义表达式 5 / 61 一般地，自变量 x 和因变量 y之间存在如下关系： y=ax +bx+c 则称 y 为 x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一般式： y=ax +bx+c 顶点式： y=a(x-h) +k 抛物线的顶点 P 交点式： y=a(x-x1)(x-x 2) 仅限于与 x轴有交点 A 和 B的抛物线 注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系 : h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a x1,x2=(-bb2 -4ac)/2a III.二次函数的图像 6 / 61 在平面直角坐标系中作出二次函数 y=x 的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 P。 特别地，当 b=0时，抛物线的对称轴是 y 轴 2.抛物线有一个顶点 P，坐标为 P ( -b/2a ， (4ac-b )/4a ) 当 -b/2a=0 时， P在 y 轴上；当 = b -4ac=0 时， P 在 x 轴上。 3.二次项系数 a决定抛物线的开口方向和大小。 7 / 61 当 a 0时，抛物线向上开口；当 a 0 时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数 b和二次项系数 a共同决定对称轴的位置。 当 a 与 b 同号时，对称轴在 y轴左； 当 a 与 b 异号时，对称轴在 y轴右。 5.常数项 c决定抛物线与 y轴交点。 抛物线与 y轴交 于 6.抛物线与 x轴交点个数 = b -4ac 0时，抛物线与 x轴有 2个交点。 = b -4ac=0时，抛物线与 x轴有 1个交点。 = b -4ac 0时，抛物线与 x轴没有交点。 X的取值是虚8 / 61 数 V.二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数 y=ax +bx+c， 当 y=0时，二次函数为关于 x的一元二次方程， 即 ax +bx+c=0 此时，函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。 函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。 1二次函数 y=ax ， y=a(x-h) ， y=a(x-h) +k，y=ax +bx+c(各式中， a0) 的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 顶点坐标 对 称 轴 y=ax (0， 0) x=0 9 / 61 y=a(x-h) (h， 0) x=h y=a(x-h) +k (h， k) x=h y=ax +bx+c (-b/2a， 4ac-b /4a) x=-b/2a 当 h0时， y=a(x-h) 的图象可由抛物线 y=ax 向右平行移动 h 个单位得到， 当 h 当 h0,k0 时，将抛物线 y=ax 向右平行移动 h个单位，再向上移动 k 个单位，就可以得到 y=a(x-h) +k 的图象； 当 h0,k 当 h0 时，将抛物线向左平行移动 |h|个单位，再向上移动 k个单位可得到 y=a(x-h) +k的图象； 当 h 因此，研究抛物线 y=ax +bx+c(a0) 的图象，通过配方，将一般式化为 y=a(x-h) +k 的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了这给画图象提供了方便 2抛物线 y=ax+bx+c(a0) 的图象：当 a0 时，开口向上，10 / 61 当 a 3抛物线 y=ax+bx+c(a0) ，若 a0，当 x -b/2a时， y随 x 的增大而减小；当 x -b/2a时， y随 x 的增大而增大若 a 4抛 物线 y=ax +bx+c 的图象与坐标轴的交点： (1)图象与 y 轴一定相交，交点坐标为 (0， c)； (2)当 =b -4ac0，图象与 x轴交于两点 A(x1， 0)和 B(x2，0)，其中的 x1,x2 是一元二次方程 ax +bx+c=0 (a0) 的两根这两点间的距离 AB=|x1-x2| 当 =0 图象与 x 轴只有一个交点； 当 0 时，图象落在 x 轴的上方， x为任何实数时，都有 y0；当 a 5抛物线 y=ax +bx+c的最值：如果 a0(a 6 用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知 x、 y 的三对对应值时，可设解析式为一般形式： y=ax+bx+c(a0) 11 / 61 (2)当题给 条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式： y=a(x-h)+k(a0) (3)当题给条件为已知图象与 x 轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式： y=a(x-x1)(x-x2)(a0) 7二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现 反比例函数 形如 y k x(k为常数且 k0) 的函数，叫做反比例函数。 自变量 x 的取值范围是不等于 0的一切实数。 反比例函数图像性质： 12 / 61 反比例函数的图像为双 曲线。 由于反比例函数属于奇函数，有 f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。 另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为 k 。 如图，上面给出了 k 分别为正和负时的函数图像。 当 K 0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数 当 K 0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数 反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。 知识点： 1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为 | k |。 13 / 61 2.对于双曲线 y k x ，若在分母上加减任意一个实数 (即 y k m为常数 )，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。 对数函数 对数函数的一般形式为 y=logax ，它实际上就是指数函数 的反函数。因此指数函数里对于 a 的规定，同样适用于对数函数。 右图给出对于不同大小 a 所表示的函数图形： 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线 y=x 的对称图形，因为它们互为反函数。 对数函数的定义域为大于 0的实数 *。 对数函数的值域为全部实数 *。 函数总是通过这点。 a 大于 1 时，为单调递增函数，并且上凸； a 小于 1 大于 0时，函数为单调递减函数，并且下凹。 14 / 61 显然对数函数无界。 指数函数 指数函数的一般形式为 ，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得 x能够取整个实数 *为定义域，则只有使得 如图所示为 a的不同大小影响函数图形的情况。 可以看到： 指数函数的定义域为所有实数的 *，这里的前提是 a 大于 0，对于 a不大于 0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 指数函数的值域为大于 0 的实数 *。 函数图形都是下凹的。 a 大于 1，则指数函数单调递增； a 小于 1大于 0，则为单调15 / 61 递减的。 可以看到一个显然的规律，就是当 a 从 0 趋向于无穷大的过程中，函数的曲线从分别接近于 Y 轴与 X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于 Y 轴的正半轴与 X 轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线 y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 函数总是在某一个方向上无限趋向于 X轴 ,永不相交。 函数总是通过这点。 显然指数函数无界。 奇偶性 注图：为奇函数为偶函数 1定义 一般地，对于函数 f(x) 16 / 61 如果对于函数定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)= f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数。 如果对于函数定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数。 如果对于函数定义域内的任意一个 x， f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数 f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。 如果对于函数定义域内的任意一个 x， f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数 f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 说明： 奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言 奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇函数。 判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义 17 / 61 2奇偶函数图像的特征： 定 理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于 y 轴或轴对称图形。 f(x)为奇函数 f(x)的图像关于原点对称 点 奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。 偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。 3. 奇偶函数运算 (1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数 . (2) . 两个奇 函数相加所得的和为奇函数 . (3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数 . 18 / 61 (4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数 . 变量与函 数 变量和常量 在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量，而数值始终保持不变的量，我们称之为常量。 函数 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x是自变量， y是 x的函数。如果当 x?a时 y?b，那么 b叫做当自变量的值为 a时的函数值。 自变量取值范围的确定方法 1、 自变量的取值范围必须使解析式有意义。 当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式为分数形式时，自变量的取值范围是使分母不为 0 的所有实数；当解析式中含有二次根式时，自变量的取值范围是使19 / 61 被开方数大于等于 0 的所有实数。 2、自变量的取值范围必须使实际问题有意义。 函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象 描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表； 第二步：描点； 第三步：连线。 函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之 间的对应规律。 20 / 61 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 正比例函数 一般地， ?形如 y=?kx?的函数， ?叫做正比例函数，其中 k叫做比例系数也就是说，形如 y=?kx+b，且 b0 的函数是正比例函数。 正比例函数图象和性质 一般地，正比例函数 y=kx 的图象是一条经过原点和的直线我们称它为直线 y=kx.?当 k0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x的增大 y 也增大；当 k 解析式： y=kx 必过点：、 (3) (4) (5) 走向： k0 时，图像经过一、三象限； k0， y 随 x 的增大而增大； k 正比例函数解析式的确定 待定系数法 1. 21 / 61 设出含有待定系数的函数解析式 y=kx 2. 把已知条件代入解析式，得到关于 k的一元一次方程 3. 解方程，求出系数 k 4. 将 k的值代回解析式 一次函数 一次函数 一般地，形如 y=kx+b(k、 b是常数， k?0)函数，叫做一次函数 . 当 b=0时， y=kx b 即 y=kx，所以正 比例函数是一种特殊的一次函数 一次函数的图象及性质 一次函数 y=kx+b 的图象是经过和两点的一条直线，我们称它为直线 y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx 平移 |b|个单位长度得到 . 解析式： y=kx+b(k、 b是常数， k?0) 必过点：和 走向： k0，图象经过第一、三象限； k b k 22 / 61 bk b0，图象经过第一、二象限； b ?k?0 ?直线经过第一、二、三象限 ?b?0? ?k?0 ?直线经过第一、三、四象限 ?b?0? ?k?0 ?直线经过第一、二、四象限 ? ?b?0 ?k?0 ?直线经过第二、三、四象限 ?b?0? 增减性： k0， y 随 x 的增大而增大； k0 时，将直线 y=kx23 / 61 的图象向上平移 b 个单位； 当 b 直线 y=k1x+b1与 y=k2x+b2的位置关系 两直线平行： k1=k2 且 b1 ?b2 两直线相交： k1?k2 两直线重合： k1=k2 且 b1=b2 确定一次函数解析式的方法 根据已知条件写出含有待定系数的函数解析式； 将 x、 y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数解析式中得到以待定系数为未知数的方程； 解方程得出未知系数的值； 将求出的待定系数代回所求的函数解析式中得出结果 . 一次函数建模 函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案、最佳策略等问题 . 建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关24 / 61 系，构建函数模型，从而利用数学知识解决实际 问题 . 正比例函数的图象和一次函数的图象在赋予实际意义时，其图象大多为线段或射线 . 这是因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定的限制条件的，即自变量必须使实际问题有意义 . 从图象中获取的信息一般是：从函数图象的形状判定函数的类型； 从横、纵轴的实际意义理解图象上点的坐标的实际意义 . 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中某个变量作为自变量，再根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数 . 反比例函数 知识梳理 知识点 l. 反比例函数的概念 重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概25 / 61 念 一般地，如果两个变量 x、 y 之间的关系可以表示成 y?k 或y=kx-1 的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。反比例函数的概念需注意以下几点： x k 是常数，且 k 不为零； k 中分母 x 的指数为 1，如 y?例函数。 2 不是反比 x2 自变量 x 的取值范围是 x?0 一切实数 .自变量 y 的取值范围是 y?0 知识点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平26 / 61 面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做 y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴 的交点 O 叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意： x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有 “ ， ” 分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当 a?b 时，和是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一象限 ?x?0,y?0 27 / 61 点 P(x,y) 在 第 二 象 限 ?x?0,y?0 点 P(x,y) 在 第 三 象限 ?x?0,y?0 点 P(x,y)在第四象限 ?x?0,y?0 2、坐标轴上的点的特征 点 P(x,y)在 x 轴上 ?y?0， x 为任意实数 点 P(x,y)在 y 轴上 ?x?0， y 为任意实数 点 P(x,y)既在 x 轴上，又在 y 轴上 ?x， y 同时为零，即点 P坐标为 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 ?x与 y相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 ?x与 y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特 征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于 x轴、 y轴或远点对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p 关于 x 轴对称 ?横坐标 相等，纵坐标互为相反数 点 P 与点 p 关于 y 轴对称 ?纵坐标相等，横坐标互为相反数 28 / 61 点 P 与点 p 关于原点对称 ?横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离： 点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 y 点 P(x,y)到 y 轴的距离等于x 点 P(x,y)到原点的距离等于 x2?y2 知识点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量， y 是 x 的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 解析法 29 / 61 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 列表法 把自变量 x的一系列值和函数 y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 知识点四、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 30 / 61 2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量 x?0，函数 y?0，所以，它的图像与 x 轴、 y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 知识点六、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果 y?ax?bx?c(a,b,c 是常数， a?0)，特别注意 a不为零，那么 y叫做 x 2 y?ax2?bx?c(a,b,c 是常数， a?0)叫做二次函数的一般式。 、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于 x? 31 / 61 b 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a 抛物线的主要特征： 有开口方向； 有对称轴； 有顶点。 、二次函数图像的画法 五点法： 先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出 求抛物线 y?ax?bx?c 与坐标轴的交点： 当抛物线与 x轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y轴的交点 C，再找到点 CD。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图 当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y轴的交点 C及对称点 D。由 C、 M、三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A、 B， 1. 二次函数基本形式： y?ax2 的性质： a 32 / 61 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2 确定解析式的方法仍 是待定系数法。由于在反比例函数 y? k 中，只有一个待定系数，因此 x 只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系 数的几何意义 k (k?0)图像上任一点 P 作 x 轴、 y 轴的垂线 PM， PN，则所得的矩形 x k PMON的面积 S=PM?PN=y?x?xy。 ?y?,?xy?k,S?k。 33 / 61 x 若过反比例函数 y? 2. y?ax2 ?c的性质： 二次函数 y?ax2?c 的图像可由 y?ax2 的图像上下平移得到。 3. y?a?x?h?2 的性质： 二次函数 y?a?x?h?2 的图像可由 y?ax2 的图像左右平移得到。 4. y?a?x?h?2 ?k的性质： 34 / 61 知识点八、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式： y?ax2?bx?c； 2. 顶点式： y?a(x?h)2?k； 3. 两点式： y?a(x?x1)(x?x2). 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成两 点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b2?4ac?0 时，抛物线的解析式才可以用两点式表 示二次 函数解析式的这三种形式可以互化 . a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 知识点九、二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况： 35 / 61 1. 已知抛物线上 三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与 x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 知识点十、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值，即当 x?b 4ac?b22a 时， y最值 ? 4a。 如果自变量的取值范围是 xb 1?x?x2，那么，首先要看 ? 2a 36 / 61 是否在自变量取值范围 xb 4ac?b21?x?x2 内，若在此范围内，则当 x=?2a 时， y最值 ?4a；若不在此范围内，则需要 考虑函数在 x1?x?x2 范围内的增减性，如果在此范围内， y随 x 的增大而增大，则当 x?x2时， y2 最大 ?ax2?bx2?c，当 x?x1 时， y 最小 ?ax21?bx1?c；如果在此范围内， y随 x 的增大而 减小，则当 x?x21 时， y最大 ?ax1?bx1?c，当 x?x2时， y2 最小 ?ax2?bx2?c。 知识点十一、二次函数的性质 1、二次函数的性质 2、二次函数与一元二次方程的关系： 37 / 61 一元二次方程 ax2?bx?c?0是二次函数 y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况 . 图象与 x轴的交点个数： 当 ?b2?4ac?0 时，图象与 x轴交于两点 A?x1，其中的 x1，x2是 0?， B?x2， 0?(x1?x2)， 一元二次方程 ax?bx?c?0?a?0?的两根这两点间的距离AB?x2?x1?2 推导过程：若抛物线 y?ax?bx?c 与 x 轴两交点为 A?x1， 0?，B?x2， 0?，由于 x1、 x2是 2 方程 ax?bx?c?0 的两个根，故 2 bcx1?x2?,x1?x2? aa 38 / 61 AB?x1?x2? x1?x22 ? x1?x22 b2?4ac?b?4c ?4x1x2? aaa?a? 2 当 ?0时，图象与 x轴只有一个交点； 当 ?0时，图象与 x轴没有交点 . 1 当 a?0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，39 / 61 都有 y?0； 2当 a?0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x为任何实数，都有 y?0 记忆规律：一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。 因此一元 二次方程中的 ?b?4ac，在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点。 当 ?0 时，图像与 x 轴有两个交点；当 ?=0 时，图像与 x 轴有一个交点； 当 ? 中考二次函数压轴题常考公式 、两点间距离公式 如图：点 A坐标为点 B 则 AB间的距离，即线段 AB2 函数知识点总结 (掌握函数的定义、性质和图像 ) 平面直角坐标系 1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系 2、各个象限内点的特征 : 40 / 61 第一象限： 点 P，则 x 0,y 0； 第二象限： 点P，则 x 0,y 0； 第三象限： 点 P，则 x 0,y 0； 第四象限： 点 P，则 x 0,y 0； 3、坐标轴上点的坐标特征： x 轴上的点，纵坐标为零； y 轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为。两坐标轴的点不属于任何象限。 4、点的对称特征：已知点 P(m,n), 关于 x 轴的对称点坐标是 (m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于 y 轴的对称点坐标是 (-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是 (-m,-n) 横，纵坐标都反号 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征： 平行于 x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等； 平行于 y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。 6、各象限角平分线上的点的坐标特征： 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。 第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。 7、点 P的几何意义： 41 / 61 点 P 到 x 轴的距离为 |y|， 点 P到 y 轴的距离为 |x|。 点P 到坐标原点的距离为 8、两点之间的距离： X 轴上两点为 A(x1,0)、 B(x2,0) |AB|?|x2?x1| x?y 2 2 Y 轴上两点为 C(0,y1)、 D(0,y2) |CD| ?|y2?y1| 2 2 已知 A(x1,y1)、 B(x2,y2) AB|= (x2?x1)?(y2?y1) 42 / 61 9、中点坐标公式：已知 A(x1,y1)、 B(x2,y2) M 为 AB 的中点 则： M=( x2?x1 2 , y2?y1 2 ) 10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中， 将点向右平移 a 个单位长度，可以得到对应点； 将点向左平移 a 个单位长度，可以得到对应点； 将点向上平移 b 个43 / 61 单位长度，可以得到对应点； 将点向下平移 b个单位长 度，可以得到对应点。 注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来， 从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。 函数的基本知识： 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x和 y，并且对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x称为自变量，把 y称为因变量，y 是 x 的函数。 *判断 A是否为 B的函数，只要看 B 取值确定的时候， A是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定44 / 61 函数定义域的方法： 关系式为整式时，函数定义域为全体实数； 关系式含有分式时，分式的分母不等于零； 关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； 关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； 实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的图像 一般 来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象 6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表； 第二步：描点； 第三步：连线。 8、函数的表示方法 45 / 61 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 正比例函数和一次函数 1、正比例函数及性质 一般地，形如 y=kx(k 是常数， k0) 的函数叫做正比例函数，其中 k叫做比例系数 . 注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零 ) k 不为零 x 指数为 1 b 取零 当 k0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x 的增大 y 也增大；当 k (3) 走向： k0 时，图像经过一、三象限； k0， y 随 x的增大而增大； k 一般地，形如 y=kx b(k,b是常数， k0 )，那么 y叫做 x的一次函数 .当 b=0时， y=kx b 即 y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数 . 46 / 61 注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零 ) k 不为零 x 指数为 1 b 取任意实数 一次函数 y=kx+b 的图象是经过和两点的一条直线，我们称它为直 线 y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx平移 |b|个单位长度得到 . 解析式： y=kx+b(k、 b是常数， k?0) 必过点：和 走向： k0，图象经过第一、三象限； k0，图象经过第一 、二象限； b ?k?0?k?0 直线经过第一、二、三象限 ?直线经过第一、三、四象限 ? ?b?0?b?0?k?0?k?0 ?直线经过第一、二、四象限 ?直线经过第二、三、四象限 ?b?0b?0? 注： y kx+b中的 k， b的作用： 47 / 61 1、 k决定着直线的变化趋势 k0 直线从左向右是向上的 k b0 直线与 y 轴的正半轴相交 b 增减性： k0， y 随 x 的增大而增大； k0时，将直线 y=kx的图象向上平移 b个单位； 当 b 3、一次函数 y=kx b的图象的画法 . 根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一 次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可 .一般情况下：是先选取 它与两坐标轴的交点：， .即横坐标或纵坐标为 0的点 . 注：对于 y kx+b 而言，图象共有以下四种情况： 1、 k0， b0 2、 k0， b0 4、直线 y=kx b(k0) 与坐标轴的交点 (1)直线 y=kx 与 x 轴、 y轴的交点都是 (0， 0)； 48 / 61 (2)直线 y=kx b与 x 轴交点坐标为 5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤： 与 y轴交点坐标为 (0， b) 根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式； 将 x、 y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； 解方程得出未知系数的值； 将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式 . 6、两条直线交点坐标的求法： 方法：联立方程组求 x、 y 例题：已知两直线 y x+6 与 y 2x-4 交于点 P，求 P点的坐标？ 7、直线 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 的位置关系 两条直线平行： k1=k2且 b1?b2 两直线相交： k1?k2 两直线重合：k1=k2且 b1=b2 平行于 49 / 61 轴的直线记作 .特别地， 轴记作直线 8、正比例函数与一次函数图象之间的关系 一次函数 y=kx b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移 |b|个单位长度而得到 . 9、一 元一次方程与一次函数的关系 任何一元一次方程到可以转化为 ax+b=0 的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值 . 从图象上看，相当于已知直线 y=ax+b 确定它与 x 轴的交点的横坐标的值 . 10、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等 式都可以转化为 ax+b0 或 ax+b 以二元一次方程 ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数 y=? 50 / 61 abx? cb 的 函数知识点总结 (掌握函数的定义、性质和图像 ) 正比例函数和一次函数 1、正比例函数及性 质 一般地，形如 y=kx(k 是常数， k0) 的函数叫做正比例函数，其中 k叫做比例系数 . 注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零 ) k 不为零 x 指数为 1 b 取零 当 k0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x 的增大 y也增大；当 k (1) 解析 式： y=kx (2) 必过点：、 (3) 走向： k0时，图像经过一、三象限； k (4) 增减性：51 / 61 k0， y随 x 的增大而增大； k (5) 倾斜度： |k|越大，越接近 y轴； |k|越小，越接近 x轴 2、一次函数及性质 一般地，形如 y=kx b(k,b 是常数， k0) ，那么 y 叫做 x的一次函数 .当 b=0 时， y=kx b 即 y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数 . 注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零 ) k 不为零 x 指数 为 1 b 取任意实数 一次函数 y=kx+b 的图象是经过和两点的一条直线，我们称它为直 k 线 y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx平移 |b|个单位长度得到 . 解析式： y=kx+b(k、 b是常数， k?0) 必过点：和 k 走向： k0，图象经过第一、三象限； k b0，图象经过52 / 61 第一、二象限； b ?k?0?k?0?直线经过第一、二、三象限 ?直线经过第一、三、四象限 ?b?0b?0? ?k?0?k?0 直线经过第一、二、四象限 ?直线经过第二、三、四象限 ?b?0?b?0 注： y kx+b中的 k， b的作用： 1、 k决定着直线的变化趋势 k0 直线从左向右是向上的 k 2 、 b 决定着直线与 y轴的交点位置 b0 直线与 y轴的正半轴相交 b 增减性： k0，y 随 x 的增大而增大； k 倾斜度： |k|越大，图象越接近于 y 轴； |k|越小，图象越接近于 x 轴 . 图像的平移： 当 b0时，将直线 y=kx的图象向上平移 b 个单位； 当 b 3、一次函数 y=kx b的图象的画法 . 53 / 61 根据几何知识：经 过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可 .一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：， .即横坐标或纵坐标为 0的点 . 注：对于 y kx+b 而言，图象共有以下四种情况： 1、 k0， b0 2、 k0， b0 4、直线 y=kx b(k0) 与坐标轴的交点 (1)直线 y=kx 与 x 轴、 y轴的交点都是 (0， 0)； (2)直线 y=kx b与 x 轴交点坐标为 5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤： 与 y 轴交点坐标为 (0， b) 根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式； 将 x、 y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关54 / 61 系式中得到以待定系数为未知数的方程； 解方程得出未知系数的值； 将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式 . 6、两条直线交点坐标的求法： 方法：联立方程组求 x、 y 例题：已知两直线 y x+6 与 y 2x-4 交于点 P，求 P点的坐标？ 7、直线 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 的位置关系 两条直线平行： k1=k2 且 b1?b2 两直线相交： k1?k2 两直线重合： k1=k2 且 b1=b2 平行于轴的直线记作 .特别地，轴记作直线 55 / 61 8、正比例函数与一次函数图象之间的关系 一次函数 y=kx b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移 |b|个单位长度而得到 . 9、一元一次方程与一次函数的关系 任何一元一次方程到可以转化为 ax+b=0 的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值 . 从图象上看，相当于已知直线 y=ax+b 确定它与 x 轴的交点的横坐标的值 . 10、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次 不等式都可以转化为 ax+b0 或 ax+b 11、一次函数与二元一次方程组 以二元一次方程 ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数 y=? 图象相同 . acx?的 bb 56 / 61 二元一次方程组 ?a1x?b1y?c1ac 的解可以看作是两个一次函数 y=