毕业设计（论文）-浅谈中学数学中最值的求解.doc

ANSHUN UNIVERSITY本科生毕业论文（设计）（20092013年）题 目： 浅谈中学数学中最值的求解 系 别： 数学与计算机科学系 专业班级： 数学与应用数学2009级 学生姓名： 学号： 指导教师： 职称： 讲 师 起讫日期： 2012.9.12013.4.19 安 顺 学 院本科生毕业论文（设计）原创性申明本人郑重申明：所呈交的论文（设计）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文（设计）不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。本人完全意识到本申明的法律后果由本人承担。作者签名： 日期：本科生毕业论文（设计）版权使用授权书本科生毕业论文（设计）作者完全了解学校有关保留、本科生毕业论文（设计）的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权安顺学院可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本本科生毕业论文（设计）。 作者签名： 日期：导师签名： 日期：摘 要浅谈中学数学中最值的求解 摘 要 最值的求解问题贯穿于我们整个中学数学的始终，它遍及代数、三角及解析几何各科之中，几乎每一个章节都会或多或少的牵扯到最值问题，加之最值问题又与我们的实际生活联系密切，在生活生产实践中也有广泛的应用。不仅如此，最值问题就像一条纽带，将中学数学知识联系在一起，而且研究最值问题能够开发我们的思维，锻炼我们的能力和提高我们的数学素养，在函数，解析几何，圆锥曲线，向量问题中均离不开最值问题的讨论，可以说最值问题就是数学的生命线，研究最值问题具有很大的实际意义。因此，本文主要围绕以上几个方面，对求解最值问题的一些基本的和常用的方法进行初步的探讨，以及对解题思路和方法进行简单的归纳总结，以方便初学者更好的掌握。关键词：最值 归纳 求解 中学数学IABSTRACT Introduction to the most value in the middle school mathematics to solve The most value throughout the entire middle school mathematics has always been, throughout the algebra, trigonometry, solid geometry, and analytic geometrysubjects into almost every chapter involve the most value can be more or less, combined with the most value problemvery close contact with our real life, widely used in the production practice, for this reason, the most value problem has always been all kinds of hot exam, only that, like the main line of the most value, secondary mathematics knowledge intogether, study the most value to develop students thinking, the ability to exercise the students at the function, analytic geometry, solid geometry, conic sections, vector problem can not be separated from the discussion of the most value problem, we can say the most value problem is the mathematicalthe lifeline of most value problem of great practical significance. Therefore, we focused on the above aspects, a preliminary study of solving some of the problems of most value and commonly used method, given the regular examination of the kinds of questions, and problem-solving ideas and methods are summarized, in order to facilitate early scholars better grasp.Keywords: most values are summarized solving middle school mathematics1目 录 目 录第一章 引言1第二章 最值求解的方法归类22.1 判别式法22.2 配方法42.3 函数单调性法52.4 三角函数法52.5 换元法72.6 数形结合法82.7 均值不等式法92.8 导数法92.9 观察法10结束语11参考文献12致谢13第一章第二章 最值求解的方法归类1第一章 引 言第1章 引 言 - 1 - 1 最值求解问题之所以历来被中、高考所青睐，不单是因为它与我们实际生活的密切相关，更是因为求解最值能够开发我们的思维，对于认识事物本质能力的培养有着重大的现实意义。在中学数学中，最值问题涉及面广，像函数（三角函数，二次函数，指数函数，对数函数，幂函数）、不等式、向量、解析几何、圆锥曲线中都能找到最值问题，求解最值问题的方法很多，但是我们必须掌握的方法主要有以下几种：均值不等式法、单调性法、配方法、换元法、三角函数法，数形结合法，导数法，判别式法，观察法，问题多，方法也多是求解最值问题的重点和难点，本文主要对最值问题的常用方法和一般技能进行简单的归类整理。 第二章 最值求解的方法归类第二章 最值求解的方法归类2.1 判别式法 一、判别式法求值域的理论依据。 例1：求函数的值域。像这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。解：由得：（y-1）x2+(1-y)x+y=0 上式中显然y1,故式是关于x的一元二次方程为什么可以这样做？即为什么0，解得y的范围就是原函数的值域？我们可以设计以下问题让学生回答：1、 当x=1时，y=? (0) 反过来当y=0时，x=?（1）当x=2时，y=? () 当y=时，x=?（2）以上y的取值，对应x的值都可以取到，为什么？（因为将y=0和y=代入方程，方程的0）2、 当y=-1时，x=? 当y=2时，x=? 以上两个y的值x都求不到，为什么求不到？（因为将y的值代入方程式中2时,y=f(n)=n2-2 在这里，就必须注意对称轴与函数定义域的位置关系，当定义域在对称轴的左边时，由于此时函数为减函数，所以是在靠近对称轴处取得最小值；而当定义域在对称轴的右边时，函数为增函数，因此是在远离对称轴处取得最大值。2.3 函数的单调性法 这种方法需要先判明函数给定区间上的单调性,然后根据单调性来求解函数的最值。 例5：已知函数f(x)定义域为R,对任意的x1,x2R都有 ：f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)且x0时f(x)0,f(1)=-2，试判断在区间-3,3 上f(x)是否有最大值和最小值?并说明理由。 解:令x1=x2=0,则f(0)=f(0)+f(0)=2f(0) f(0)=0, 令x1=x, x2=-x则有f(x)+f(-x)= f(0) 即f(x)+f(-x)=0 f(x)=-f(-x), 因此f(x)为奇函数.设x1,x2R,且x10, f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)0, f(x2)0 ，从而函数 y=2sinx+3的最大值为21+3，即为5。2.4.3 对形如y=或（y=）的函数基本思路：可利用分离常数法或1去求解。 例8：求函数y= 的最大值。解：由原函数变形得到y=-1. -11,12-3, y=3 例9：求函数的最值。 解：设，则 因此， 2.5 换元法2.5.1 三角代换我们可利用三角代换巧妙地求解某些函数的最值。并且在作代换时，可根据不同的函数解析式作相应的代换。 例如： =（a0），可令； 又如：（a0），可令（）； 对，我们可令等等。 例10：求函数的最值。 解：设，则=cos ，取x最小值0时，y=1. 故.2.5.2 直接代换 例11 ： 求函数的最值。 解：设，则 因此， 此处，虽然不是x的二次函数，但是通过换元之后可以转化为t的二次函数，再按照二次函数求解最值的方法求其最值。但应注意换元后新变量的取值范围，对不在定义域范围的部分应当剔除。 小结：由于事物的质和量是由多种因素综合决定的，改变其中的每一因素都可能产生新的思路，在求解数学问题中，使用“多种换元法”解题，可以使问题化繁为简，更容易坚决。换元思想方法在数学解题中有着不可低估的作用。总结解题的规律和技巧，强化思维训练，这对提高我们分析问题、解决问题的能力将是十分有益的，并且能全面提高学生素质，培养和提高我们的创造能力。因此，我们更有必要对数学方法进行再认识，全面提高数学综合能力。2.6 数形结合法 这种方法是将抽象的函数解析式赋予一定的几何意义，把数量之间的关系用几何图形展现出来，既而实现数与图信息的整合与转化，换句话说就是把代数的问题用几何的方法来解决，使得问题的求解变得简便，在解决最值问题时，这种方法的作用是非常巨大的，我们来看一下下面的例子。 例12：已知实数满足等式，求的最值。 图1 解：如图1，如果把等式看成圆的一般式，那么就有点（x,y）在圆上，那么表示该点与原点连线的斜率.由于圆位于第一象限，若过原点作圆的两切线OA、OB（A，B为切点），则的最值分别是直线OA、OB的斜率. 解：设=k，即y=，。整理为 ：,解得,. 例13：求函数的最小值。解：原式可转化为求的最小值 ，所以它等价于“求动点P(x,y)到A(-1,0),B(1,0)距离之和的最小值”，即的最小值。，当且仅当P在线段AB上时，等号成立。故的最小值为.即原函数的最小值为2。 其实利用数形结合法求解最值的实质，就是要我们将代数问题几何化，使得许多抽象的问题变得直观和形象起来，解决起来得心应手，确为一种好的最值求解方法。2.7 均值不等式法 利用均值（基本）不等式求最值是历年高考的热点内容之一，也是重点。但在利用均值不等式求最值时必须其前提条件，具体可概括为“一正、二定、三相等”。当这些条件不完全具备时，就需要一定的技巧，特别是凑“定和”或“定积”的技巧，使其具备，下面谈谈常见的凑”定和”或“定积”的技巧。 例14： 求函数f（x）=x2+2x+的最值。 解：由题目易知函数定义域为-1，f(x)=x2+2x+-1=，当，- 9 -结束语即时，有。需要指出的是，在利用均值不等式法求解时，必须注意应用大前提，即所谓“一正、二定、三相等”，如若找不出使等号成立的x的值，那么此方法就无效，应改用其他方法。2.8 导数法设函数f(x)在a,b上连续且在(a,b)上可导,则f(x)在a,b上的最大值和最小值应在f(x)在(a,b)内的各极值和两端点值中寻找。 例15：已知P（x,y)是抛物线y=x2-2x-1上的动点,o为原点,且op2当x=2时取得极小值,求op2的最小值。解: op2=x2+y2= x2+( x2-2x-1)2=x4-4x3+3x2+4x+1令c= x4-4x3+3x2+4x+1,则f(x)=4x3-12x2+6x+4=4(x-2)(x-)(x-),令f(x)=0得:x=2, , 表一:x(-, )(,)(,2)2(2,+)f(x) -0+0-0+f(x)极小值极大值极小值 因为f(x)的定义域为(-, +),所以所求最小值为两个极小值中较小的那一个,比较f()=f(2)=5,得出f(x)的最小值即op2的最小值，为。 2.9 观察法 在有些时候，我们遇到的函数可能会比较简单，这时只需将已知函数的解析式作适当变形后，就可以很容易地观察出函数的最值，此谓之观察法，它比较适用于一些简单的函数，这里简单的提一下。如：函数。此函数可化为： 可明显观察得出：当x=3时，；当x=1时，。结束语本文主要从常用的判别式法，配方法，函数单调性法，三角函数法，换元法,数形结合法,均值不等式，导数法以及观察法等对最值问题的求解进行了探讨，每种方法不是万能的也不是绝对的，在遇到较复杂的问题时，我们要将几种方法结合起来用，做到具体问题具体分析,同时，在解题时还应注意一些小细节，以免出现错误。如在例2中，由于在求解的过程中历经了平方的变形，从而使x的取值范围扩大了,因此在利用判别式法求出y的范围后，还得结合函数的定义域,将扩大的部分剔除（可将端点值代入检验），以免求出的最值不在原函数的取值范围之内，造成错解。利用配方法求最值时要注意以下几点：一是要注意函数的定义域；二是注意对称轴与定义域的相对位置关系；三是注意函数是否过某个特殊点，找到之后可以减少讨论，使问题变得简单。在利用换元法求解最值时，应注意换元后新变量的取值范围，对不在定义域范围的部分应当剔除。在运用重要不等式求函数的最值时一定要注意不等式成立的条件，包括等号成立的条件。还有在利用均值不等式求最值时，一定要注意其前提条件：“一正、二定、三相等”。当这些条件不完全具备时，就需要一定的技巧，特别是凑“定和”或“定积”的技巧，使其具备。如若找不出使等号成立的x的值，则此法无效，应改用其他方法。总之，无论哪种方法都有自己的妙处，同时也有自己的局限 性，要善于灵活掌握，就需要把握住题目的特点与每一种方法的特点。遇到题目，要学会分析题目，从而抓准解决问题的关键。 - 13 -参考文献13参考文献参考文献 1 丁一，张建.中学教材全解m.陕西人民教育出版社，2007:198-204.2 张剑，王莉.中学第二教材m.延边大学出版社，2007:67-73. 3 刘建中，均值不等式在求函数最值中的应用，中国校外教育期刊， 2012-03-10. 4 尹玉柱.高中导学练m.中国石油大学出版社，2009:63-65.5 林超群 .三角函数最值问题的若干解法，考试周刊，2011-08-23.6 刘文治.教材解析m.中国少年儿童出版社，2008：89-93. 7 陈荣烂. 高中数学最值问题的研究。苏州大学出版社，2010-09-01. 8 石立坤，赵春梅.教材精析精练m.人民教育出版社，2009：45-48. 9 刘研妮，函数最值常用的几种方法，科技创新与应用期刊，2012-04-08. 10 崔开