中考高分十八个关节关节2充分发挥方程工具性作用.doc

构造方程解决问题 1、借助方程，解决某些“数与式”的问题 例1 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么，称这个正整数为“神秘数”。如：，因此4，12，20这三个数都是神秘数，（1）28和2008这两个数是神秘数吗？为什么？（2）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？【观察与思考】根据题中规定知道，若（），(其中是整数，为正整数)，则就是“神秘数”。正整数是不是“神秘数”，就看使（）式成立的整数是不是存在，存在时就是“神秘数”；不存在，就不是“神秘数”。这就是说，研究是不是“神秘数”的问题，就变成了研究（）这个关于的方程有无整数解的问题。解：（1）方程有非负整数解3。即 28是神秘数。方程，没有整数解，2008不是神秘数。（2），令解得不是整数。两个连续奇数的平方差（取正数）不是神秘数。例2 按下面的程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的的不同值最多有（ ）输入计算的值输出结果是否A、2个 B、3个 C、 4个 D、5个【观察与思考】本题相当于按如下规律构造的方程：，有正整数解的共有多少个。可验证只有上述4个方程有正数解。 解：选C。2、借助方程，解决某些几何图形的求值问题ABCDEFGNM例4 如图，这是由五个边长为1的正方形组成的图形，过顶点A的一条直线和CD，ED分别相交于点M，N。假若直线MN绕过A旋转的过程中存在某一位置，使得MN将图形分成的两部分面积恰好相等，求这时线段EN的长。【观察与思考】可借助来构造关于EN的方程求其长。解：。得关于EN的方程解得（不合题意，舍去）。3、借助方程，解决函数相关的问题例5 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于点E和F。从点A（1，0）和OABCDEFB（3，0）作轴的垂线，分别与直线交于点C和点D。已知，求直线的解析式。【观察与思考】若设直线的解析式为。现在要求出 的值，为此去构造关于的方程组。而所给条件 “”就是这两个方程组所依据的等量关系。解：设直线的解析式为，易知：依题意有方程组： 解得直线的解析式为：4、和运动有关的图形问题，凡属运动过程中的特定形状，特定数量以及特定位置关系的，大都需要借助构造方程来解决例7 如图，在梯形ABCD中，AD/BC，开始沿AD边向D点运动，速度为1厘米/秒，同时点N从点C开始沿CB向点B运动，速度为2厘米/秒，设运动的时间为秒。ABCDMN（1） 当为何值时，四边形MNCD 是平行四边形？（2） 当为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？ 【观察与思考】对于（1），当四边形MNCD是平行四边形时，MD=NC，就以这一相等关系构造关于的方程。 对于（2），画出四边形MNCD是等腰梯形的草图，如图（2），ABCDQP作垂足为G，作垂足为H，此时应有NG=CH，也即CN=MD+2CH。可以用这一相等关系的构造关于的方程来求解。解：（1）MD=15，CN=2，令MD=NC，得的方程 。解得=5即=5（秒）时四边形MNCD是平行四边形。（2）令得关于的方程 解得即（秒）时，四边形MNCD是等腰梯形。例8 如图，在ABCD中，AB=4，AD=3，点P和点Q同时从点A出发，以每秒1个单位的速度运动，点P沿ADDCCB向点B运动，点Q沿射线AB的方向运动。当点P运动到点B处时，两点的运动同时结束。设运动时间为秒。（1）当点P在边AD上运动时， 求使成为以DQ为底边的等腰三角形的时刻；（2）当点P在边DC上运动时，是否存在时刻，使线段PQ和对角线BD互相平行？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；（3）当点P在边CB上运动时，可能成为直角三角形吗？写出你的判断，并说明理由；【观察与思考】以上三个问题，实际都归于建立关于的方程来解决。ADPCQB 解：（1）点P在边AD上运动时，。总有为等边三角形，即。 令PD=PQ，即。 （秒）时，是以DQ为底边的等腰三角形。（1）（2） 当点P在边DC上运动时，。 若有PQ/BD，则四边形DBQP为平行四边形，即PD=BQ，如图（1），也即，该方程无解。 不存在这们的时刻，使PQ/BD。（3）点P在边CB上运动时， 若为直角三角形，只有如图（2），此时。ABCDPQ 令 当，为直角三角形。函数知识函数知识的三个支点：一、明意义：指总能在需要的情况下恰如其分地将问题归结为函数，即形成“函数思想”；二、定表达式；三、用性质：指恰当地运用函数的性质解决相应的问题。一、明意义1、函数“明意义”的基本体现对函数相关的问题，能够从以下两个方面来观察、认识和把握：能从“总体感知”和“具体对应方式”两个视角来认识与考虑问题；能从“整体过程”和某些“特殊值的对应情况”来认识与考虑问题；例1 如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平纸上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为，大正方形内除去小正方形部分的面积为（阴影部分），那么与的函数图象大致应为（A）ABCD GCDEFH 例2 已知：如图（1），点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒的速度沿图（1）的边线运动，运动路径为：相应的的面积关于运动时间的函数图象如图（2），若则下列四个结论中正确的个数有（ ）A、 图（1）中的BC边长是8 B、 图（2）中的M点表示第4秒时的值为2424712NMC、 图（1）中的CD长是4， D、 图（2）中的N点表示第12秒时的值为18ABGCEFDH（2） （1）A、 1个 B、2个 C、 3个 D、 4个GCDEFH 【观察与思考】若把点 P由对应的图象分别记为第段、第段、第段、第段、第段，则从图（1）和图（2）的对应情况可知：（1）由的两端点横坐标，知由G到C运动2秒，可得GD=4，即BC=8；（2）M点的纵坐标等于 （3）图象两端点横坐标为2和4，可知；（4）由的两端点横坐标为4和7，知DE=6，而EF=ABCD=2，可知的右端点的横坐标为8，再由的两端点横坐标为8和12，推得FH=8，从而所以，N点的纵坐标等于解：应选D。【说明】对函数“明意义”，就要善于从自变量与函数值的对应关系入手，从原背景、关系式、图象三者的统一来认识和解决问题。2、“明意义”的更高体现 例3 在五环图案内，分别填写五个数，如图，其中，是三个连续24657偶数是两个连续奇数，且满足例如请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入下图： 【观察与思考】可以看作一个函数问题，因为：ABCDMN设表示的三个连续偶数为表示的两个连续奇数为均为整数）。则有，得，只需和都是整数，如此一来，满足要求的、有无穷多对（只需取偶数即可）。如（这就得到题目中所举的例）；而使五个数均在0和20之间的,除例子之外,就只有这两种情况了.1012214217219268101113 解: 或 例4 如图,四边形ABCD为边长等于4的菱形,点M为边AD上一点,点N为边DC上一点,且AM=DN. (1)当AM=DN=3时,求的面积. （2）是否存在点M和点N，使的面积等于？若存在，请指出点M和点N的位置；若不存在，请说明理由。【观察与思考】问题（1）和问题（2）都涉及到的面积和AM（相应地DN）之间的对应关系，而的面积和AM的值具有函数关系，因此如果把它们之间的函数关系搞清楚了，问题（1）、（2）就可迎刃而解了。解：菱形的长为4，菱形的高为。设AM的长为的面积为S。则 （1）当时，由S与的函数关系式得（2）由S与的函数关系得。这说明的面积最小值为，因此不存在点M，N使正是函数意识我们看到问题（1）、（2）的共同基础，并借助函数将问题顺利而明快地解决。 二、定关系式要用函数，就要善于确定函数关系式，而确定函数关系式的方法，基本上有三种：1、用待定系数法确定函数关系式 用待定系数法确定函数关系式，应具备以下两个条件：条件一，已知知道这个函数是一次函数、二次函数、或是反比例函数；条件二，知道该函数满足的若干组对应值；一次函数需两组；二次函数需三组，反比例函数需一组。 实际上，待定系数法就是通过构造关于函数关系表达式中各项系数的方程，求出它们的值，从而使函数关系的表达式确定下来。用待定系数法求函数关系地表达式，可分为这们两个层次：基本形式与复合形式。（1）基本形式的待定系数法 这类问题的条件是直接地给出了确定函数所需要的对应值。现仅举一例。 例1 为了迎接暑期旅游，某旅行社推出了一种价格优惠方案：从现在开始，各条旅游线路的价格每人（元）是原来价格每人（元）的一次函数。现知道其中两条旅游线段原来旅游价格分别为每人2100元和2800元，而现在旅游的价格为每人1800元和2300元。（1）求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）（2）王老师想参加该旅行社原价格为5600元的一条线路的暑期旅游，请帮王老师算出这条线路现在的价格。【观察与思考】满足这个一次函数的两组数值为（1800，2100）和（2300，2800）。可用待定系数法求得解析式。解：（1）设与的函数关系式为，由题意，得 解之，得与的函数关系式为（2）当时，元。王老师旅游这条线路现在的价格是4300元（2）复合形式的待定系数法所谓复合形式的待定系数法是指满足函数关系的“对应值”组，并未直接悉数给出，而是要先从条件中求出需要的“对应值”，而后再由待定系数求出函数关系表达式；或者通过其他条件直接构造关于函数系数的方程，得出表达式。CABFE例2 如图，已知双曲线经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则 。【观察与思考】因为点F，E均在双曲线上，则。设点F的坐标为解：应填2 。 【说明】本题的解答需要对反比例函数性质以及与之相关矩形及其面积间的关系有深入的认识。例3 如图，是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点O与原点重合，点A在轴上，点B在轴上，。将折叠，使BO边落在BA边上，点O与点D重合，折痕为BC； （1）求直线BC的解析式；CDBA （2）求经过B，C，A三点的抛物线的解析式；若抛物线的顶点为M，试判断点M是否在直线BC上，并说明理由。 【观察与思考】对于（1），先求出点C的坐标，再用待定系数法求BC的解析式； 对于（2），用待定系数法求出过B，C，A三点的抛物线的解析式，再验证它的顶 点是否在BC上。解：（1） ,点C的坐标为（1，0）。设直线BC的解析式为，则由 解得（2）设过点B（），C（1，0），A（3，0）的抛物线的解析式为，由，解得所以抛物线的解析式为，其顶点M的坐标为，点M不在直线BC上。【说明】由以上两例可以看出，用待定系数法求函数关系式的多种变化与复合形式，解法的恰当选择基于对相关知识的融会贯通。2、用“列式法”确定函数关系式 所谓用列式法确定函数关系的表达式，就是根据问题中的数量关系直接列出用自变量的代数式来表示函数，这样的情况也是很多的。 例4 学校体育室准备添置20副乒乓球拍和若干乒乓球，两家体育用品商店的零售价都是每副乒乓球拍20元，每个乒乓球元，且都表示对集体购买优惠：甲店买一副乒乓球拍赠送5个乒乓球，再对总价打9折；乙店统一按定价的8折出售。 （1）设体育室外除了买20副乒乓球拍外，再需购买个乒乓球，若在甲店购买付款数额为（元），在乙店购买付款数额为（元），分别写出，关于的函数关系式。 （2）就购买乒乓球数讨论在哪个店购买较合算？ 【观察与思考】对于（1），可用直接列式法求出，关于的函数关系式。对于（2），实际是比较在什么范围时，两个函数中哪个函数值较小。ACBQPR 解：（1）（2）假设购买个乒乓球时，甲商店合算，即，也即，解得。同理可得 。这就是说，当购买的乒乓球个数不超过233个时，在甲商店买合算；当购买的乒乓球个数超过233个时，在乙店买合算。 【说明】与实际相关的问题需建立函数关系式时，大都需要借助直接列式法。 例5 如图，在P为AC上一个动点，四边形PQRC为矩形，其中点Q，R分别在AB，BC上，设AP的长为，矩形PQRC的周长为，求关于的函数关系式。【观察与思考】只需用表示出QP和PC即可。解：。【说明】相当多的几何图形中变量的对应关系，在建立函数关系式时，也多是利用“直接列式法”。3、从某个等量关系中导出函数关系式 有时不易用自变量及已知数量把函数直接表示出来，可根据所给条件先建立包括“函数”、自变量、与已知数量的某个（或某些）等式，再从中导出函数关系式来。CAPBQ 例6 如图，已知直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P。连结BP，过P作交过点A的直线（它与轴垂直）于点C。求之间的函数关系式。解：在中，），。从中解得【说明】几何图形中有关函数关系式的建立，有不少情况需借助这种“等式导出法”。 例7 某中学足球队参加全市中学足球联赛，比赛记分规则如下表。联赛共进行了12轮（即每队比赛了12场），该中学足球队共得19分。若胜的场数为，负的场数为，求关于的函数关系式。胜一场平一场负一场积分310【观察与思考】可借助胜、平、负的场数以及得分的关系导出关于的函数关系表达式。解：设平的场数为，则根据条件有 从两个等式中消去，得。【说明】本题是从三个变量的两个等量关系中导出两个变量间的函数关系式。三、用性质 函数的性质，主要是指一次函数、二次函数和反比例函数增减性和二次函数、反比例函数图象的对称性，以及二次函数图象的顶点坐标等。对函数性质的考查，主要有两个层面：一是对给定的函数确定其某个方面的性质，二是利用函数的性质，解决某相关的问题。1、确定指定函数的性质 例1 写出一个图象经过点（-2，1），随的增大而减小的一次函数。【观察与思考】要使一次函数具有“随的增大而减小”这一性质，且其图象经过点（-2，1），则只需这个一次函数的图象还经过点有无穷多个。因此，本题是开放性的题目，正确的答案有无穷多个，如选过点（0，0），则直线的解析式为。例2 下表给出了代数式与的一些对应值：012343-13(1)请在表内的空格中添入适当的数;(2)设=,当取何值时, 0 ?【观察与思考】当时,均有代数式的值=3,可知对应的抛物线的对称轴为=2,顶点坐标为(2,-1),因此有以下的解:解:(1)由已知令,.(2),可知抛物线开口向上,并与轴交于点(1,0)和(3,0),【说明】由以上两例看出,熟练而恰当地运用函数的性质,可使问题的解决思路明晰,过程简捷.开始输入与的关系式输入结束2、运用函数的性质解决相关的实际问题或数学问题例3 按右图所示的流程，输入一个数据，根据与的关系式就输出一个数据，这样可将一组数据变换成另一组新的数据。要使任意一组都在20100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（）新数据都在60100（含60和100）之间；（）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。（1）若与的关系式是，请说明：当时，这种变换 满足上述两个要求； （2）若按关系式将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式，（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要