2020版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第12讲 定积分与微积分基本定理讲义 理（含解析）.docVIP

第12讲定积分与微积分基本定理1.定积分的概念如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式f(i)x f(i)，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx f(i)其中f(x)称为被积函数，a称为积分下限，b称为积分上限2.定积分的几何意义3.定积分的性质性质1：kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)性质2：f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.性质3：f(x)dxf(x)dxf(x)dx.4.微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间a，b上的连续函数，且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式可以把F(b)F(a)记为F(x)|，即f(x)dxF(x)|F(b)F(a)5.定积分与曲边梯形面积的关系设阴影部分的面积为S.(1)Sf(x)dx；(2)Sf(x)dx；(3)Sf(x)dxf(x)dx；(4)Sf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dx.6.函数f(x)在闭区间a，a上连续，则有：(1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx2f(x)dx.(2)设f(x)为奇函数，则f(x)dx0.1.概念辨析(1)在区间a，b上连续的曲线yf(x)和直线xa，xb(ab)，y0所围成的曲边梯形的面积S|f(x)|dx.()(2)若f(x)dx0)，则从t0到tt0质点所经过的路程是mtdt.()答案(1)(2)(3) 2.小题热身(1)如图，指数函数的图象过点E(2，9)，则图中阴影部分的面积等于()A. B8C. D9答案A答案B (3) |x|dx_.答案解析|x|dx的几何意义是函数y|x|的图象与x轴围成的图形(如图阴影所示)的面积，所以|x|dx1122.(4)若x2dx9，则常数t的值为_答案3解析x2dx|9，解得t3.题型 定积分的计算答案C解析2. (3x34sinx)dx_.答案0解析易证函数f(x)3x34sinx为奇函数，所以 (3x34sinx)dx0.3.dx_.答案解析求定积分的常用方法(1)微积分基本定理法其一般步骤为：把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的和、差、积或商把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分分别用求导公式找到一个相应的原函数利用微积分基本定理求出各个定积分的值计算原始定积分的值(2)几何意义法将待求定积分转化为一个易求平面图形的面积，进而求值如举例说明3.(3)基本性质法对绝对值函数、分段函数，可利用定积分的基本性质将积分区间分解为若干部分求解1.(2018华南师大附中一模)|x24|dx()A.7 B. C. D4答案C解析2. e|x|dx的值为_答案2(e1)解析3.若f(x)，则f(x)dx_.答案解析令y，则(x1)2y24(y0)，所以函数f(x)的图象是以(1,0)为圆心，2为半径的圆在x轴上方(包括x轴)的部分，所以f(x)dx22.题型 利用定积分求平面图形的面积角度1求平面图形的面积(多维探究)1.(2018玉溪模拟)由曲线xy1，直线yx，x3及x轴所围成的曲边四边形的面积为()A. B.C.ln 3 D4ln 3答案C解析条件探究1将举例说明1中的“曲边四边形”改为“由曲线xy1，直线yx，y3所围成的封闭平面图形”，试求此平面图形的面积解条件探究2将举例说明1中的“曲边四边形”改为“由y，yx2及x轴围成的封闭图形”，试求此平面图形的面积解角度2已知平面图形的面积求参数答案(1,1)解析角度3与其他知识的交汇命题答案B解析由题意可得，是与面积有关的几何概率问题构成试验的全部区域是矩形OABC，面积为a6，记“向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件A，则构成事件A的区域即为阴影部分面积，为利用定积分求平面图形面积的四个步骤1如图所示，阴影部分的面积为()A. B. C1 D.答案C解析2如图，点M在曲线y，若由曲线y与直线OM所围成的阴影部分的面积为，则实数a等于()A. B.C1 D2答案C解析3若函数f(x)Asin(A0，0)的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为_答案解析题型 定积分在物理中的应用1一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5 B825ln C425ln 5 D450ln 2答案C解析2一物体做变速直线运动，其 vt曲线如图所示，则该物体在6 s间的运动路程为_ m.答案解析1物体A以v3t21(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v10t(m/s)的速度与A同向运