2019-2020学年高二数学上学期期末考试试卷 理(含解析).doc

2019-2020学年高二数学上学期期末考试试卷 理(含解析)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.抛物线x2=-8y的准线方程是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据题意，求得抛物线x2=-8y的p，即可求出准线方程.【详解】抛物线x2=-8y可得2p=8所以p2=2 故准线方程为y=2故选B【点睛】本题考查了抛物线的准线方程，属于基础题.2.已知向量=（1，1，0），则与共线的单位向量=（）A. (22,-22,0)B. (0,1，0)C. (22,22,0)D. (1,1，1)【答案】C【解析】【分析】先根据题意，设出与共线的单位向量可为(a,a,0)，再利用单位向量的模长为1，求得a的值即可得出答案.【详解】因为向量=（1，1，0）所以与共线的单位向量可为(a,a,0)且a2+a2+0=1 解得a=22 所以可得与共线的单位向量为(22,22,0)或(22,22,0)故选C【点睛】本题主要考查了向量共线的单位向量，属于基础题.3.下列说法中正确的是()A. 若AB=DC，则A,B,C,D四点构成一个平行四边形B. 若a/b，b/c，则a/cC. 若a和b都是单位向量，则a=bD. 零向量与任何向量都共线【答案】D【解析】【分析】结合向量的性质，对选项逐个分析即可选出答案。【详解】对于选项A，A,B,C,D四点可能共线，故A不正确；对于选项B，若b是零向量，则a/c不一定成立，故B错误；对于选项C，若a、b方向不同，则ab，故C错误；对于D，零向量与任何向量都共线，正确。故答案为D.【点睛】本题考查了零向量、平行向量、相等向量、单位向量等知识，考查了学生对基础知识的掌握情况。4.给出如下三个命题：若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；命题“若ab，则2a2b-1”的否命题为“若ab，则2a2b-1”；“xR，x2+11”的否定是“xR，x2+11”正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】根据真值表可得p且q为假命题时，则p、q至少有一个是假命题写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论全称命题：“xA，P（x）”的否定是特称命题：“xA，非P（x）”，结合已知中原命题；“xR，x2+11”，易得到答案【详解】根据真值表可得：若p且q为假命题时，则p、q至少有一个是假命题，所以错误根据命题“若ab，则2a2b-1”的否命题为“若ab，则2a2b-1” 是真命题，所以正确 若原命题“xR，都有x2+11” 命题“xR，都有x2+12x”的否定是： xR，有x2+11，所以不正确 故选：B【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握真值表、特称命题、命题的否定以及其他的有关基础知识，属于基础题.5.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）A. 12B. 32C. 34D. 64【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，得出2c=a，然后求得离心率e=ca=12即可.【详解】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即2c=a 所以离心率e=ca=12 故选A【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，熟悉性质是解题的关键，属于基础题.6.“a=1”是“y=cos2axsin2ax的最小正周期为”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当a=1时，y=cos2axsin2ax=cos2x，所以周期为T=22=，当y=cos2axsin2ax=cos2ax的最小正周期为时，=2|a| ，所以a=1，因此“a=1”是“y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为”的充分不必要条件.故选A.7.若曲线x21k+y21+k=1表示椭圆，则k的取值范围是()A. k1B. k1C. 1k1D. 1k0或0k01+k01-k1+k，解不等式组可得结果.【详解】曲线x21-k+y21+k=1表示椭圆，1-k01+k01-k1+k，解得-1k1，且k0，k的取值范围是-1k0或0k0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则opfp的取值范围为A. 3-23,+）B. 3+23,+）C. 74,+）D. 74,+）【答案】B【解析】试题分析： 因为F（-2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为x23y2=1设点P（x0，y0），则有x023y02=1(x03)，解得y02=x0231(x03)，因为PF=(x0+2，y0)，OF=(x0，y0)，所以OF PF=x0(x0+2)+y02=x0（x0+2）+x0231=4x023+2x0-1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-34，因为x03，所以当x0=3时，OF PF取得最小值OF PF=433+231=3+23，故OF PF的取值范围是3+23，+)，选B考点：本题主要考查了待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力点评：解决该试题的关键是先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得y0的表达式，根据P，F，O的坐标表示出OP,FP，进而求得OPFP的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则OPFP的取值范围可得【此处有视频，请去附件查看】10.已知动圆P与定圆C：（x-2）2+y2=1相外切，又与定直线l：x=-1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（）A. y2=4xB. y2=-4xC. y2=8xD. y2=-8x【答案】C【解析】【分析】令P点坐标为（x，y），A（2，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA=1+r，d=r，PA-d=1，化简可求【详解】令P点坐标为（x，y），A（2，0），动圆得半径为r，则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA=1+r，d=r，P在直线的右侧，故P到定直线的距离是x+1，所以PA-d=1，即x-22+y2-（x+1）=1，化简得：y2=8x故选C【点睛】本题主要考查了点的轨迹方程的求解，解题的关键是由根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得PA-d=1，属于中档题.11.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC1=xAB+2yBC+3zC1C，则x+y+z=（）A. 1B. 76C. 56D. 23【答案】B【解析】【分析】先根据题意，易知AC1=AB+BC+CC1=AB+BCC1C，再分别求得x,y,z的值，然后求得答案即可.【详解】在平行六面体中，AC1=AB+BC+CC1=AB+BCC1C 所以x=1,2y=1,3z=1解得x=1,y=12,z=13所以x+y+z=76 故选B【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于较为基础题.12.方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1(|m|n|0)的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】方程mx+ny2=0即y2=mnx，表示抛物线，方程mx2+ny2=1(|m|n|0)表示椭圆或双曲线，当m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1(|m|n|0)表示焦点在y轴的椭圆，无符合条件的选项；当m和n异号时，抛物线y2=mnx开口向右，方程mx2+ny2=1(|m|n|0)表示双曲线，本题选择A选项.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=8，则|AB|=_；【答案】10【解析】【分析】先根据题意求出p=2，再利用抛物线的焦点弦AB=x1+x2+p代入得出答案即可.【详解】抛物线y2=4x中，2p=4,p=2过焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=8，则焦点弦AB=x1+x2+p=8+2=10 故答案为10【点睛】本题主要考查了抛物线的性质以及焦点弦，属于基础题.14.已知|a|=|b|=|c|=1，且a，b=3，b，c=2，a，c=2，则|a+2b-c|=_；【答案】22【解析】【分析】先求出ab，bc，ac，然后利用a+2b-c2=a+2b-c2，展开计算即可。【详解】由题意，ab=11cos3=12，bc=11cos2=0，ac=11cos2=0，则a+2b-c2=a+2b-c2=a2+2b2+c2+4ab-4bc-2ac=1+4+1+2-0-0=8，则a+2b-c=22.【点睛】本题考查了向量的数量积，向量的平方等于模的平方，考查了计算能力，属于基础题。15.已知(4,2)是直线被椭圆x236+y29=1所截得的线段的中点，则的方程是_.【答案】x+2y8=0【解析】试题分析：由题意得，斜率存在，设为 k，则直线l的方程为 y-2=k（x-4），即 kx-y+2-4k=0，代入椭圆的方程化简得 （1+4k2）x2+（16k-32 k2）x+64 k2-64k-20=0，x1+x2=32k216k1+4k2=8，解得 k=-12，故直线l的方程为 x+2y-8=0考点：直线与圆锥曲线的关系16.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，侧面PCD底面ABCD,且PC=PD=2， M,N分别为棱PC,AD的中点，则点N到平面MBD的距离为_.【答案】55【解析】【分析】由题意，过点M作CD的垂线，垂足为F，可证明MF平面ABCD，设点N到平面MBD的距离为h，则VM-BDN=VN-BDM，即13SBDNMF=13SBDMh,求解即可。【详解】由题意，BCCD，侧面PCD底面ABCD，故BC侧面PCD，则BCMC，又因为M为棱PC的中点，所以MB=BC2+MC2=5，BD=2BC=22，因为PC=PD=CD=2，所以PCD为正三角形，分别过点M、P作CD的垂线，垂足为F、E，则MF=12PE=12232=32，MD=232=3，因为MD2+MB2=BD2，所以MBMD，因为N为棱AD的中点，所以SBDN=1221=1，设点N到平面MBD的距离为h，则VM-BDN=VN-BDM，即13SBDNMF=13SBDMh,则h=SBDNMFSBDM=1321253=55.故点N到平面MBD的距离为55.【点睛】本题考查了空间几何中点到平面的距离的求法，利用等体积法是解决此类问题的常见的方法，属于中档题。三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知双曲线的方程是16x29y2144.(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|PF2|32，求F1PF2的大小【答案】（1）焦点坐标F1(5,0)，F2(5,0)，离心率e53，渐近线方程为y43x.（2）F1PF290.【解析】【分析】（1）将双曲线方程化为标准方程，即可求出a、b，从而可求出双曲线的实轴长和渐近线方程；（2）由双曲线的性质可得PF1-PF2=6，结合余弦定理cosF1PF2=PF12+PF22-4c22PF1PF2，即可求出F1PF2.【详解】（1）将双曲线方程化为标准方程x29-y216=1，则a=3,b=4，长轴长为6，渐近线方程是y=43x.（2）c=a2+b2=5，PF1-PF2=6且PF1PF2=32,则cosF1PF2=PF12+PF22-4c22PF1PF2=(PF1-PF2)2+2PF1PF2-4c22PF1PF2,因为(PF1-PF2)2+2PF1PF2-4c2=36+64-100=0，所以cosF1PF2=0，故F1PF2=90.【点睛】本题考查了双曲线的方程，双曲线的长轴及渐近线等基础知识，考查了双曲线中焦点三角形，属于基础题。18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1平面ABC，BAC=90，AC=AB=AA1，E是BC的中点（1）求证：AEB1C；（2）求异面直线AE与A1C所成的角的大小；（3）若G为C1C中点，求二面角C-AG-E的正切值【答案】（1）见解析；（2）3；（3）5【解析】【分析】（1）由BB1面ABC及线面垂直的性质可得AEBB1，由AC=AB，E是BC的中点，及等腰三角形三线合一，可得AEBC，结合线面垂直的判定定理可证得AE面BB1C1C，进而由线面垂直的性质得到AEB1C； （2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，根据异面直线夹角定义可得，E1A1C是异面直线A与A1C所成的角，设AC=AB=AA1=2，解三角形E1A1C可得答案 （3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQAG于Q，连EP，EQ，则EPAC，由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得EP平面ACC1A1，进而由二面角的定义可得PQE是二面角C-AG-E的平面角【详解】证明：（1）因为BB1面ABC，AE面ABC，所以AEBB1由AB=AC，E为BC的中点得到AEBCBCBB1=BAE面BB1C1CAEB1C解：（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，则AEA1E1，E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角 设AC=AB=AA1=2，则由BAC=90，可得A1E1=AE=2，A1C=22，E1C1=EC=12BC=2E1C=E1C12+C1C2=6在E1A1C中，cosE1A1C=2+8-62222=12所以异面直线AE与A1C所成的角为3 （3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQAG于Q，连EP，EQ，则EPAC又平面ABC平面ACC1A1EP平面ACC1A1而PQAGEQAGPQE是二面角C-AG-E的平面角由EP=1，AP=1，PQ=15，得tanPQE=PEPQ=5所以二面角C-AG-E的平面角正切值是5【点睛】本题是与二面角有关的立体几何综合题，主要考查了异面直线的夹角，线线垂直的判定，二面角等知识点，难度中档，熟练掌握线面垂直，线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角及二面角的定义，是解答本题的关键19.如图，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，（1）求证：CF平面A1DE；（2）求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）13【解析】【分析】（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CF平面A1DE （2）求出平面A1DE的法向量和平面A1DA的法向量，利用向量法能求出平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值【详解】证明：（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），B1（2，2，2），则DA1=(2，0，2)，DE=(1，2，0)，CF=(0，-2，1)设平面A1DE的法向量是n=(a，b，c)则nDA1=2a+2c=0nDE=a+2b=0，取n=(-2，1，2)，CFn=(0，-2，1)(-2，1，2)=0所以CF平面A1DE解：（2）DC=(0，2，0)是面A1DA的法向量，cosnDC=(-2，1，2)(0，2，0)(-2)2+12+220+22+0=13即平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值为13【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20.已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点F，抛物线上一点P点纵坐标为2，|PF|=3. （1）求抛物线的方程；（2）已知抛物线C与直线l：y=kx+1交于M,N两点，y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有kPM+kPN=0？说明理由.【答案】（1）x2=4y；（2）存在.【解析】【分析】（1）由抛物线性质可知PF=yP+p2，计算可求出p=2，即可得到抛物线方程；（2）设P(0,b)为符合题意的点，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，设直线PM,PN的斜率分别为k1,k2, 将y=kx+1代入抛物线C的方程可得关于k的一元二次方程，结合斜率表达式及根与系数关系可得kPM+kPN=k1+b=0,从而可求出b=-1，即可说明存在P点。【详解】（1）PF=yP+p2 3=2+p2即p=2，故抛物线的方程为x2=4y.（2）设P(0,b)为符合题意的点，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，设直线PM,PN的斜率分别为k1,k2,将y=kx+1代入抛物线C的方程得x2-4kx-4=0，故x1+x2=4k,x1x2=-4,kPM+kPN=y1-bx1+y2-bx2=kx1+1-bx1+kx2+1-bx2=2kx1x2+(1-b)(x1+x2)x1x2=-8k+4k(1-b)-4=k(1+b),当b=-1时，有kPM+kPN=0.故存在点P(0,-1)，使得当k变动时，总有kPM+kPN=0.【点睛】本题考查了抛物线的性质，考查了抛物线方程的求法，考查了直线的斜率，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题。21.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD=2，E、F分别为CD、PB的中点（1）求证：EF平面PAB；（2）设AB=2AD，求直线AC与平面AEF所成角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）36【解析】【分析】（1）求出直线EF所在的向量，再求出平面内两条相交直线所在的向量，然后利用向量的数量积为0，根据线面垂直的判定定理得到线面垂直（2）求出平面的法向量以及直线所在的向量，再利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为线面角，即可解决问题【详解】解：以D为从标原点，DC、DA、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D-xyz设AB=a，则A（0，2，0），B（a，2，0），C（a，0，0），D（0，0，0，），p（0，0，2），e(a2，0，0)，F(a2，1，1)（1）由题意可得：EFPA=00+12+1（-2）=0，EFPB=0a+12+1（-2）=0EFPA，EFPBEF平面PAB （2）AB=22由上，AE=(2，-2，0)，EF=（0，1，1）设平面AEF的法向量n=(x,y,z)，则nAE=0nEF=0即2x-2y+0=00+y+z=0令y=1，则x=2，z=-1，所以n=(2，1，-1) 又AC=22，-2，0，所以cosAC，n=4-2+0124=36 所以sin=co