一元二次不等式恒成立题型.doc

一元二次不等式恒成立专题例题：设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围.(3)对于任意m1,3，f(x)m5恒成立，求实数x的取值范围.解：(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10，满足题意；若m0，则即4m0.4m0.(2)方法一要使f(x)m5在x1,3上恒成立，就要使m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，g(x)maxg(3)7m60，0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，g(x)maxg(1)m60，得m6，m0.综上所述，m的取值范围是.方法二当x1,3时，f(x)m5恒成立，即当x1,3时，m(x2x1)60，又m(x2x1)60，m.函数y在1,3上的最小值为，只需m即可.综上所述，m的取值范围是.(3) 解f(x)m5，即mx2mx1m5，m(x2x1)60.设g(m)m(x2x1)6.则g(m)是关于m的一次函数且斜率x2x120.g(m)在1,3上为增函数，要使g(m)0在1,3上恒成立，只需g(m)maxg(3)0，即3(x2x1)60，x2x10，方程x2x10的两根为x1，x2，x2x10的解集为，即x的取值范围为.练习：1. 当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是_.解析：构造函数f(x)x2mx4，x1,2，则f(x)在1,2上的最大值为f(1)或f(2).由于当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立时，k的取值范围为_.答案解析由题意知0，即14k，即k.3.若关于x的不等式x24xm0对任意x(0,1恒成立，则m的最大值为()A.1 B.1C.3 D.3答案C解析由已知可得mx24x对一切x(0,1恒成立，又f(x)x24x在(0,1上为减函数，f(x)minf(1)3，m3，m的最大值为3.4.对任意a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，则x的取值范围是()A.1x3 B.x3C.1x2 D.x2答案B解析设g(a)(x2)a(x24x4)，g(a)0恒成立且a1,1x3.5.对于任意实数x，不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，则实数a的取值范围是()A.(，2) B.(，2C.(2,2) D.(2,2答案D解析当a20时，即解得2a2.当a20时，40恒成立，综上所述，2a2.6.若不等式(a21)x2(a1)x10的解集为R，则实数a的取值范围是_.答案解析当a210时，a1或a1.若a1，则原不等式为10，恒成立，满足题意.若a1，则原不等式为2x10，即x，不合题意，舍去.当a210，即a1时，原不等式的解集为R的条件是解得a1.综上，a的取值范围是.7已知函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求a的取值范围；(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求a的取值范围解(1)f(x)a恒成立，即x2ax3a0恒成立，必须且只需a24(3a)0，即a24a120，6a2，a的取值范围为6,2(2)f(x)x2ax323.当4时，f(x)minf(2)2a7，由2a7a，得a，a不存在；当22，即4a4时，f(