达朗贝尔方程及其解.ppt

2019/11/24,1,标量位与矢量位,设媒质是线性均匀且各向同性的，那么对微分形式的麦克斯韦方程中全电流定律两边取旋度，再将电磁感应定律代入，整理后得,若对电磁感应定律两边取旋度，再将全电流定律代入，整理后得,利用矢量恒等式，同时考到及，那么上述两式变为,2019/11/24,2,由此可见，时变电磁场的场强与场源的关系比较复杂，直接求解上述方程需要较多的数学知识。为简化求解过程，引入标量位与矢量位作为求解时变电磁场的两个辅助函数。,已知时变磁场是无散场，因此可以表示为矢量场A的旋度，即可令,式中A称为矢量位。将上式代入式中，得,2019/11/24,3,上式又可改写为,由此可见，矢量场为无旋场。因此它可以用一个标量场的梯度来表示，即可令,式中称为标量位。由此得,注意，这里的矢量位A及标量位均是时间及空间函数。当它们与时间无关时，矢量位A及标量位与场量的关系和静态场完全相同。因此矢量位A又称为矢量磁位，标量位又称为标量电位。,2019/11/24,4,位函数与源的关系,为了导出位函数与源的关系，根据位函数定义式及麦克斯韦方程，求得,利用矢量恒等式，上两式又可写为,2019/11/24,5,根据亥姆霍兹定理得知，只有当矢量场的散度及旋度共同给定后，这个矢量场才被惟一地确定。已知规定了矢量场A的旋度，必须再规定其散度。原则上，其散度值可以任意给定，但是为了简化计算，由上式可知，若令,则前两式可以简化为,罗伦兹条件,由上可见，按照罗伦兹条件规定A的散度后，原来两个相互关联的方程变为两个独立方程。矢量位A仅与电流J有关，标量位仅与电荷有关。,2019/11/24,6,由上可见，已知电流分布，即可求出矢量位A。已知电荷分布，由即可求出标量位。求出A及以后，即可求出电场与磁场。麦克斯韦方程的求解归结为位函数方程的求解，而且求解过程显然得到了简化。,因为原来电磁场方程为两个结构复杂的矢量方程，在三维空间中需要求解六个坐标分量，,而位函数方程分别为一个矢量方程和一个标量方程，且结构较为简单，在三维空间中仅需求解四个坐标分量。尤其在直角坐标系中，矢量位方程可以分解为三个结构如同标量位方程一样的标量方程。因此，实际上等于求解一个标量方程。由此可见，位函数A及的引入显著地简化了麦克斯韦方程的求解。,2019/11/24,7,函数方程的直接求解需要较多的数学知识，我们根据静态场的结果，采用类比的方法，推出其解。,位函数方程的求解,当场源是位于坐标原点的时变点电荷时，其场分布一定具有球对称特点，即场量仅为变量r的函数，与球坐标变量及无关。那么，在除坐标原点以外整个空间，位函数满足的方程式为,首先求解标量位函数方程。为此设场源是位于坐标原点的时变点电荷，求出其解后，采用叠加原理推出任意分布的时变体电荷的解。,式中,2019/11/24,8,上式为函数（r）的齐次波动方程，其通解为,由后面分析可以获知，式中第二项不符合实际的物理条件，应该舍去。因此，求得位于原点的时变点电荷产生的标量电位为,已知位于原点的静止点电荷产生的电位为,将此式同上式比较，可见函数f1为:,2019/11/24,9,因此，求得位于原点的时变点电荷产生的标量位为,式中r为体元dV至场点的距离。,对于位于V中的任意体分布电荷，如图示。,点电荷的位置矢量为r，则全部电荷在r处产生的电位由上式积分求得,2019/11/24,10,为了求出矢量位函数A，可将矢量位函数方程在直角坐标系中展开，则各个分量均满足结构相同的非齐次标量波动方程式，即,显然，对于每一个分量均可求得结构如同前式的解。三个分量合成后，矢量位A的解为,式中V为电流J的分布区域。,2019/11/24,11,首先两式均表明，空间某点在时刻t产生的标量位或矢量位必须根据时刻的场源分布函数进行求积。换言之，位于r处t时刻的场强不是由同一时刻t的源的分布决定的，而是取决于比t时刻超前时刻的源分布。这就意味着，位于r处的源产生的场传到r处需要一段时间，这段时差就是。已知(r-r)为源点至场点的距离，因此v代表电磁波的传播速度。,2019/11/24,12,恒定电流或低频交流电的情况下，场量往往是通过电流、电压及负载阻抗等参数表现，表面给人造成能量是通过电荷在导线内传输的假象。,I,如能量真是通过电荷在导线内传输，常温下导体中的电荷运动速度约10-5m/s，电荷由电源端到负载端所需时间约是场传播时间（L/c）的亿万倍,负载只需经过极短（t=L/c，其中c为光速）的时间就能得到能量的供应。,2019/11/24,13,由式可见，电磁波的传播速度与媒质特性有关。在真空中，最新测得的数据为,这就是光波在真空中的传播速度，或简称为光速。光速通常以c表示。,值得注意的是，既然空间场强不是取决于同一时刻的源特性，那么即使在同一时刻源已消失，只要前一时刻源还存在，它们原来产生的空间场强仍然存在，这就表明源已将电磁能量释放到空间，而空间电磁能量可以脱离源单独存在，这种现象称为电磁辐射。,2019/11/24,14,此外，显然只有时变电磁场才具有这种辐射特性，而静态场完全被源所束缚。当静止电荷或恒定电流一旦消失，它们所产生的静电场或恒定磁场也随之失去，因而静态场又称为束缚场。,若源随时间变化很快，空间场强的滞后现象更加显著，即使在源附近也会有显著的电磁辐射现象。所以似稳场和辐射场的区域划分不仅取决于空间距离，也与源的变化快慢有关。因此，为了向空间辐射电磁能量，必须使用变化很快的高频电流激励发射天线，而通常50Hz交流电不可能