集合的概念与运算 .ppt

第3讲集合的概念与运算,1.集合的概念2.集合之间的关系3.集合的运算4.文氏图、容斥原理,集合论(settheory),十九世纪数学最伟大成就之一集合论体系朴素(naive)集合论公理(axiomatic)集合论创始人康托(Cantor),GeorgFerdinandPhilipCantor18451918德国数学家,集合论创始人.,什么是集合(set),集合：不能精确定义。一些对象的整体就构成集合，这些对象称为元素(element)或成员(member)用大写英文字母A,B,C,表示集合用小写英文字母a,b,c,表示元素aA：表示a是A的元素，读作“a属于A”aA：表示a不是A的元素，读作“a不属于A”,集合的表示,列举法描述法特征函数法,列举法(roster),列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分开，然后用花括号括起来，例如A=a,b,c,d,x,y,zB=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9集合中的元素不规定顺序C=2,1=1,2集合中的元素各不相同(多重集除外)C=2,1,1,2=2,1,多重集(multipleset),多重集:允许元素多次重复出现的集合元素的重复度:元素的出现次数(0).例如:设A=a,a,b,b,c是多重集元素a,b的重复度是2元素c的重复度是2元素d的重复度是0,描述法(definingpredicate),用谓词P(x)表示x具有性质P，用x|P(x)表示具有性质P的集合，例如P1(x):x是英文字母A=x|P1(x)=x|x是英文字母=a,b,c,d,x,y,zP2(x):x是十进制数字B=x|P2(x)=x|x是十进制数字=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,描述法（续）,两种表示法可以互相转化，例如E=2,4,6,8,=x|x0且x是偶数=x|x=2(k+1)，k为非负整数=2(k+1)|k为非负整数有些书在列举法中用:代替|,例如2(k+1):k为非负整数,特征函数法(characteristicfunction),集合A的特征函数是A(x):1，若xAA(x)=0，若xA对多重集,A(x)=x在A中的重复度,数的集合,N：自然数(naturalnumbers)集合N=0,1,2,3,Z：整数(integers)集合Z=0,1,2,=,-2,-1,0,1,2,Q：有理数(rationalnumbers)集合R：实数(realnumbers)集合C：复数(complexnumbers)集合,集合之间的关系,子集、相等、真子集空集、全集幂集、n元集、有限集集族,子集(subset),子集:若B中的元素也都是A中的元素,则称B为A的子集,或说B包含于A,或说A包含B,记作BABAx(xBxA)若B不是A的子集,则记作BABAx(xBxA)x(xBxA)x(xBxA)x(xBxA)x(xBxA),子集(举例),设A=a,b,c,B=a,b,c,d,C=a,b,则AB,CA,CB,A,C,B,a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,相等(equal),相等:互相包含的集合是相等的.A=BABBAA=Bx(xAxB)A=BABBA(=定义)x(xAxB)x(xBxA)(定义)x(xAxB)(xBxA)(量词分配)x(xAxB)(等值式),包含()的性质,AA证明:AAx(xAxA)1若AB,且AB,则BA证明:AB(A=B)(ABBA)(定义)(AB)(BA)(德摩根律)AB(已知)BA(即BA)(析取三段论)#,包含()的性质(续),若AB,且BC,则AC证明:ABx(xAxB)x,xAxB(AB)xC(BC)x(xAxC),即AC.#,真子集(propersubset),真子集:B真包含A:ABABABAB(ABAB)(定义)(AB)(A=B)(德摩根律)x(xAxB)(A=B)(定义),真包含()的性质,AA证明:AAAAAA100.#若AB,则BA证明:(反证)设BA,则ABABABAB(化简)BABABABA所以ABBAA=B(=定义)但是ABABABAB(化简)矛盾!#,真包含()的性质(续),若AB,且BC,则AC证明:ABABABAB(化简),同理BCBC,所以AC.假设A=C,则BCBA,又AB,故A=B,此与AB矛盾,所以AC.所以,AC.#,空集(emptyset),空集:没有任何元素的集合是空集,记作例如,xR|x2+1=0定理1:对任意集合A,A证明:Ax(xxA)x(0xA)1.#推论:空集是唯一的.证明:设1与2都是空集,则12211=2.#,全集,全集:如果限定所讨论的集合都是某个集合的子集,则称这个集合是全集,记作E全集是相对的,视情况而定,因此不唯一.例如,讨论(a,b)区间里的实数性质时,可以选E=(a,b),E=a,b),E=(a,B,E=a,b,E=(a,+),E=(-,+)等,幂集(powerset),幂集:A的全体子集组成的集合,称为A的幂集,记作P(A)P(A)=x|xA注意:xP(A)xA例子:A=a,b,P(A)=,a,b,a,b.#,n元集(n-set),n元集:含有n个元素的集合称为n元集0元集:1元集(或单元集),如a,b,|A|:表示集合A中的元素个数,A是n元集|A|=n有限集(fimiteset):|A|是有限数,|A|0,Aa=0,a),Aa|aR+的指标集是R+,0,a,集合之间的运算,并集、交集相对补集、对称差、绝对补广义并集、广义交集,并集(union),并集:AB=x|(xA)(xB)xAB(xA)(xB)初级并:,并集(举例),例1:设An=xR|n-1xn,n=1,2,10,则例2:设An=xR|0x1/n,n=1,2,则,交集(intersection),交集:AB=x|(xA)(xB)xAB(xA)(xB)初级交:,交集(举例),例1:设An=xR|n-1xn,n=1,2,10,则例2:设An=xR|0x1/n,n=1,2,则,不相交(disjoint),不相交:AB=互不相交:设A1,A2,是可数多个集合,若对于任意的ij,都有AiBj=,则说它们互不相交例:设An=xR|n-1xn,n=1,2,10,则A1,A2,是不相交的,相对补集(setdifference),相对补集:属于A而不属于B的全体元素,称为B对A的相对补集,记作A-BA-B=x|(xA)(xB),A-B,A,B,对称差(symmetricdifference),对称差:属于A而不属于B,或属于B而不属于A的全体元素,称为A与B的对称差,记作ABAB=x|(xAxB)(xAxB)AB=(A-B)(B-A)=(AB)-(AB),AB,A,B,绝对补(complement),绝对补:A=E-A,E是全集,AEA=x|(xExA)A=xE|xA),A,A,相对补、对称差、补(举例),例:设A=xR|0x2,A=xR|1x3,则A-B=xR|0x1=0,1)B-A=xR|2x3=2,3)AB=xR|(0x1)(2x3)=0,1)2,3),),),),广义并集(bigunion),广义并:设A是集族,A中所有集合的元素的全体,称为A的广义并,记作A.A=x|z(xzzA当是以S为指标集的集族时A=A|S=AS例:设A=a,b,c,d,d,e,f,则A=a,b,c,d,e,f,广义交集(bigintersection),广义交:设A是集族,A中所有集合的公共元素的全体,称为A的广义交,记作A.A=x|z(zAxz)当是以S为指标集的集族时A=A|S=AS例:设A=1,2,3,1,a,b,1,6,7,则A=1,广义交、广义并(举例),设A1=a,b,c,d,A2=a,b,A3=a,A4=,A5=a(a),A6=,则A1=abc,d,A1=abc,d,A2=a,b,A2=a,b,A3=a,A3=aA4=,A4=,A5=a,A5=aA6=,A6=E,文氏图(Venndiagram),文氏图:平面上的n个圆(或椭圆),使得任何可能的相交部分,都是非空的和连通的JohnVenn,18341923例:,文氏图(应用),文氏图可表示集合运算(结果用阴影表示),AB,AB,A-B,AB,A,A,A,A,A,A,A,B,B,B,B,B,AB=,文氏图(问题),Venn曾经构造出4个椭圆的文氏图,并且断言:没有5个椭圆的文氏图PeterHamburger&RaymondPippert,1996,构造出5个椭圆的文氏图Canyoutryit?,文氏图(续),试试n=4:,1416,文氏图(续),试试n=5,17+,532,容斥原理(principleofinclusion/exclusion),容斥原理(或包含排斥原理),容斥原理(证明),n=2时的情况:|AB|=|A|+|B|-|AB|归纳证明:以n=3为例:|ABC|=|(AB)C|=|AB|+|C|-|(AB)C|=|A|+|B|-|AB|+|C|-|(AC)(BC)|=|A|+|B|-|AB|+|C|-(|AC|+|BC|-|(AC)(BC)|)=|A|+|B|+|C|-|AB|-|AC|-|BC|+|ABC|,A,B,B,C,A,容斥原理(举例),例1:在1到10000之间既不是某个整数的平方,也不是某个整数的立方的数有多少?解:设E=xN|1x10000,|E|=10000A=xE|x=k2kZ,|A|=100B=xE|x=k3kZ,|B|=21则|(AB)|=|E|-|AB|=|E|-(|A|+|B|-|AB|)=10000-100-21+4=9883注意AB=xE|x=k6kZ,|AB|=4.#,容斥原理(举例、续),例2:在24名科技人员中,会说英,日,德,法语的人数分别为13,5,10,和9,其中同时会说英语,德语,或同时会说英语,法语,或同时会说德语,法语两种语言的人数均为4.会说日语的人既不会说法语也不会说德语.试求只会说一种语言的人数各为多少?又同时会说英,德,法语的人数有多少?解:设E=x|x是24名科技人员之一,|E|=24A=xE|x会说英语,B=xE|x会说日语,C=xE|x会说德语D=xE|x会说法语,容斥原理(举例、续),解(续):设所求人数分别为x1,x2,x3,x4,x(如图),A=xE|x会说英语,|A|=13B=xE|x会说日语,|B|=5C=xE|x会说德语,|C|=10D=xE|x会说法语,|D|=9首先,x