随机信号分析课件第6章.ppt

随机过程,第六章：正态随机过程,第六章：正态随机过程,6.1随机变量特征函数的回顾6.2多维正态随机变量的定义与协方差矩6.3n维正态随机变量的性质6.4正态随机过程的定义6.5正态随机过程的性质,如果对一个随机过程任意选取n个时刻，则得到n个相应的随机变量,若此n个随机变量的联合分布是n维正态分布，则称随机过程X(t)是正态随机过程（高斯过程）。,正态随机过程定义：,随机变量的特征函数：随机变量的概率密度函数和特征函数之间存在一一对应关系，这个关系就是Fourier变换对，因此在得知随机变量的特征函数后，就可以知道它的概率密度函数。,6.1随机变量特征函数的回顾,设为随机变量，称的数学期望为随机变量的特征函数。记为：,已知特征函数，求概率密度函数(Fourier反变换)：,（1）特征函数的定义,连续型,离散型,解：,解答：,详细解答见教材P8例题1.2。,例题6-1：,结论：,具有X的特征函数为，则Y=aX+b的特征函数为：,证明：,（2）特征函数的性质,证明：（归纳法证明）,当n=1时：,证明省略。,即：,定义：若,（3）多维随机变量的特征函数,特征函数：,多维随机变量的特征函数定义：,同一维随机变量一样，多维随机变量的特征函数与概率密度函数是一对fourier变换对：,特征函数：,概率密度函数：,若X1，X2统计独立，则：推广到n个：证明：,若独立，则,多维随机变量的特征函数性质：,边际特征函数：推广到n个：证明：,已知,证明：,比较：,一维正态随机变量X的概率密度函数可以表示为：,记为特征函数为:,6.2多维正态随机变量的定义与协方差矩,（1）一维正态随机变量,若随机变量X1,X2的联合概率密度函数可以表示为：,则称X1,X2为二维正态随机变量。其中为X1和X2的相关系数。对于上述二维随机变量，其边际概率密度函数可表示为：,因此其边际分布为一维正态分布：，,（2）二维正态随机变量,二维正态分布的协方差矩阵可表示为：,二维正态分布的协方差矩阵具有如下性质：实对称矩阵；正定矩阵其逆矩阵可表示为,二维正态随机变量的联合概率密度也可表示为：,其中,二维正态随机变量的特征函数表示为：,其中：,二维正态随机变量的特征函数也表示为：,若n维随机变量的联合密度函数为：,则称为n维正态随机变量，其中C为n维实对称正定矩阵，也是协方差矩阵。记为：,（3）n维正态随机变量,若n维随机变量的特征函数为：,若，则存在n阶正交矩阵A，使得向量中的分量Y1,Y2,Yn是独立的随机变量，且Yi为一维正态分布N(0,di)。,说明：,6.3n维正态随机变量的性质,的特征函数为,证明：,总存在正交矩阵A，通过变换此时随机向量的协方差矩阵，且,由性质1可以知道：为n维独立随机变量，,且,其中,则,由特征函数线性变换的性质，对于：,可以得到:,证毕。,n维正态分布中任意m维子向量亦为正态分布(mn),证明：,已知:,若令,则:,n维正态随机变量的线性变换也为正态随机变量。即若为正态随机向量，则亦为正态随机向量。,只需证明其特征函数亦为正态特征函数,即,已知,若,即,证明：,若为n维正态随机变量，那么X1,X2,Xn相互独立的充要条件是两两互不相关。,证明：,(1)若已知两两相互独立,则不相关.(2)若已经知道两两不相关,即Cij=0(当i不等于j时)，则,实际上，若：,方法二：,若为n维正态随机变量，则其混合中心距可以用其特征函数来表述：,6.4正态随机过程的定义,如果对一个随机过程任意选取n个时刻，则得到n个相应的随机变量,若此n个随机变量的联合分布是n维正态分布，则称随机过程X(t)是正态随机过程（高斯过程）。,正态随机过程定义：,n维正态随机变量的联合密度函数为：,则称为n维正态随机变量，其中C为n维实对称正定矩阵，也是协方差矩阵。记为：,n维正态随机变量的特征函数为：,6.5正态随机过程的性质,若正态随机过程为宽平稳，则必为严平稳。二阶矩过程,若正态过程为宽平稳过程，则mX(t)=a为常数，RX(tk,ti)=RX(tk-ti).任取n个抽样时刻t1,t2,tn，这n个时刻所对应的随机变量的协方差矩阵为C，其任意一元素cki=RX(tk-ti)-a2=c(tk-ti)，则该n个正态变量对应的特征函数为：,证明：,若把n个时间抽样点作一个时间平移h，即取抽样时刻为t1+h,t2+h,tn+h，则平移后的对应的n个正态分布的随机变量的特征函数为：,如果对高斯过程X(t)在n个不同时刻采样，所得一组随机变量X1,X2,Xn为两两互不相关，则这些随机变量也是相互独立的。平稳正态随机过程与确定信号之和的概率分布仍为正态随机过程。若正态随机过程X(t)在T上是均方可微的，则其导数X(t)也是正态过程。若正态随机过程X(t)在T上是均方可积的，则其下列积分也是正态过程。,高斯过程通过线性系统，其输出亦为正态随机过程。若系统输入端的随机过程为非高斯过程，只要输入随机过程的等效带宽远大于系统的通频带，系统输出端得到正态随机过程。,例题6-2：设平稳正态过程X(t)均值为0，相关函数RX()=(e-2|)/4，求对给定时刻t，X(t1)的值在0.5和1之间的概率。解：,例题6-3：X(t)=Acosw0t+Bsinw0t，其中A与B为两个独立的正态随机变量，且EA=EB=0，EA2=EB2=2，w0为常数，求X(t)的一维，二维密度函数。解：,X(t)为正态随机过程，,所以：,或者,或者,所以,X(t)Xcos2t+Ysin2