毕业论文-矩阵初等变换的性质及应用.doc

矩阵初等变换的性质及应用缪洁静【摘要】矩阵的初等变换的性质及应用在高等代数中具有重要地位。本文主要讨论了矩阵的初等变换在高等代数中的运用。文章证明了矩阵初等变换的两个性质，以此为基础,说明了矩阵的初等变换在高等代数课中用途很广，且使用方便。可以用来求逆矩阵，求向量组的极大无关组，证明向量组等价，解线性方程组，解矩阵方程和判断向量组的线性相关性，并把初等变换在分块矩阵中进行推广，并举例说明，等等。另外，在初等数论中，可求整数的最大公因数和多项式的最大公因式以及其它多方面的应用。【关键字】初等变换 性质 高等代数 初等数论 应用20Properties and applications of matrix of elementary transformationsMiao Jie Jing【Abstract】The property and application of elementary transformation matrix play an important role in higher algebra. This thesis mainly discusses the application of elementary transformation matrix in higher algebra and it also proves matrix elementary transformations two properties, which show that the elementary transformation matrix is used very widely in higher algebra course and easy to use. The elementary transformation matrix can be used to calculate inverse matrix, to find the maximum independent groups of vector set, to prove the equivalence of vector group, to solve linear equations and matrix equation, and to judge the linear-relevant analyses in vector groups. It also generalizes the elementary transformation to partitioned matrix and illustrates that, etc. In addition, in elementary theory, the elementary transformation matrix can find the greatest common divisor of integer and the greatest common factor of polynomials and it has other various applications.【Key words】Elementary transformation ; Properties; Higher algebra; Elementary theory; application 目录1 引言12 矩阵的初等变换12.1 矩阵初等行变换的定义12.2 矩阵初等变换的重要性质23 初等变换在高等代数中的一些应用33.1 利用初等变换判断矩阵的可逆性、并求逆矩阵33.2 用初等变换法求矩阵的秩43.3 判定向量组的线性关系，并求秩及其一个极大无关组43.4 判断两个向量组是否等价53.5 求齐次线性方程组的基础解系，并求解非齐次线性方程组64 初等变换在高等代数中其它方面的应用74.1 解矩阵方程74.2 利用初等变换求伴随矩阵84.3 求规范正交基94.4 把可逆矩阵表示为初等矩阵的乘积94.5 初等变换在分块矩阵中的应用104.5.1 求解行列式104.5.2 证明矩阵的不等式124.6 初等变换在矩阵中的应用135 初等变换在初等数论中的应用145.1 求整数的最大公因数和多项式的最大公因式145.2 用初等变换求商和余式165.3 用矩阵的初等变换判定一个多项式有无重因式176 结语18参考文献19致谢191 引言高等代数课程是大学数学专业的基础课，矩阵的初等变换起源于解线性方程组，是高等代数的一个基本概念，作为高等代数的重点和难点，同时也是研究矩阵的一个非常重要的工具。但有同学对初等变换的性质和应用不怎么了解，本文较系统地阐述了矩阵的初等变换及其应用，从而使读者对这一内容有一个全面、系统的认识。2 矩阵的初等变换2.1 矩阵初等变换的定义定义1 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。显然，初等矩阵都是方阵，每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵。（1）矩阵两行互换第i行与第j行互换，记为，得 （2）用一个非零的常数c去乘以矩阵的某一行元素第i行的每一个元素都乘以c,记为c，得(3)把矩阵的某一行的每一个元素都乘以某一个常数以后再加到另一行上去把第行的每一个元素都乘以以后再加到第行上，得 相应地也有矩阵的列初等变换。它的表示方法与行初等变换相仿，在记法上只要把行换成列即可。从而矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换。进而对于任意矩阵，我们总可以通过实施初等变换变成我们所想要的矩阵。2.2 矩阵初等变换的重要性质性质11 初等变换不改变矩阵的秩，不改变行（列）向量组的线性相关性。性质21 第一种初等变换可以由第二、三种初等变换实施得到。证明 设为数域P上的矩阵（i=1，2，n）对矩阵施行第二、三种变换 上述矩阵与矩阵交换两行后得到的矩阵是相同的。定理证毕。 性质31 设=是数域p上一个矩阵， 其中（i=1,2,n） 且 若经过初等变换为矩阵=其中（i=1,2,n）则有证明 由初等变换的定义知道方程组与方程组同解。因此，若 证毕。上述性质2说明只进行两种初等变换就可以起到三种初等行变换的作用。性质3说明求一个矩阵中列向量组的线性关系表达式可以通过初等行变换而得到。对于列变换的情形有类似结论。3 初等变换在高等代数中的一些应用3.1 利用初等变换判断矩阵的可逆性、并求逆矩阵利用初等变换将矩阵化为阶梯形，若其对应的行列式不为零则矩阵可逆，且行列式的值等于主对角线上各元素之积，但应注意第一种变换会使行列式的值变号，第二种变换会使行列式的值变为原来的c倍。当矩阵可逆时，我们要求矩阵只需把和同阶的单位矩阵拼凑在一起（通常把它们之间用一竖线隔开），形成一个新的矩阵，然后对这个新的矩阵实施一系列行初等变换最终调整为竖线左侧是单位矩阵，从而坚线的右侧即为的逆矩阵即（|）。例1 判断矩阵的可逆性、并求，已知。由于|A|=40,故A可逆。所以 。3.2 用初等变换法求矩阵的秩我们要求矩阵的秩，只需对实施一系列行初等变换，使之最终变为阶梯形矩阵，即，则矩阵中非零行的行数即为原矩阵的秩。例2 求r(),已知因此 r（）=33.3 判定向量组的线性关系，并求秩及其一个极大无关组 对于向量组，我们要判定其是线性相关还是线性无关，只需把这组向量写成列形式并依次并成一矩阵即设，若r()=s，则此向量组，线性无关；若r()1）重因式是的k-1重因式。由定理5知，的所有重因式必出现在与的最大公因式中，故可通过求，的最大公因式的方法来求的所有重因式及重数。例18 判定在Q上是否有重因式；若有，判定是几重因式。解 。所以，在Q上有重因式,且是的4重因式。6 结语以上说明矩阵的初等变换应用广泛，在数学各知识领域内紧密相连，且矩阵的初等变换使许多运算比较复杂的问题求解起来变得更加容易。希望该文章对读者有所帮助，会给读者带来兴趣。参考文献1王萼芳，石生明.高等代数M.3版.北京：高等教育出版社，2003.2张小红.高等代数专题研究选编G.西安：陕西科学技术出版社，1922.3郭卫舵，龙德明.高等代数M.成都：成都科技大学出版社，1997.4S.Axler K.A.Ribet Graduate Texts in Mathematics M. 5 杨刚, 吴惠彬. 线性代数M . 北京:北京理工大学出版社,2002 :78 - 90 ,116 - 1226王文省，姚忠平.初等变换的思想方法及在高等代数中的应用J.聊城师范 学报(自然科学版)20037张恭庆，林源渠，泛涵分析讲义M.北京大学出版社.1999.8闵嗣鹤，严士健.初等数论M.高等教育出版