信号与线性系统三四章习题答案.doc

第3章 连续信号的正交分解 重点、难点学习指导 1、正交函数 （1）两函数正交条件 两实函数和在区间内正交的条件： 两复函数和在区间内正交的条件：式中，分别是的复共轭函数。（2）正交函数集如果函数构成一个函数集，当这些函数在区间内满足则此函数集成为在区间的正交函数集。如果在这个正交函数集之外不存在满足等式则此函数集为完备正义函数集.2周期信号的傅里叶级数 任何周期为T的周期信号，若满足狄里赫莱条件，则可展为傅里叶级数。（1）三角形式的傅里叶级数式中，为相关系数，（2）指数形式的傅里叶级数或 式中与三角形式的傅里叶级数比较，其相关系数存在如下关系：3非周期信号的傅里叶变换 傅里叶变换定义式：正变换式 反变换式 由于频谱密度函数为复函数，故可表示为式中是的偶函数；是的奇函数4周期信号的傅里叶变换 周期信号可表示为指数形式的傅里叶级数： 式中，为信号的周期。的傅里叶变换为式中 或 式中为单个非周期信号的傅里叶变换。5傅里叶变换性质 （1）线性 F F 则F （2）延时特性 F （3）移频特性 （4）尺度变换 （5）奇偶特性 实信号的频谱函数、实部偶函数、虚部奇函数（6）对称特性 （7）时域微分 时域积分 （8）频域微分 频域积分 （9）卷积定理 习 题 详 解3.1 已知在时间区间上的方波信号为 （1）如用在同一时间区间上的正弦信号来近似表示此方波信号，要求方均误差最小，写出此正弦信号的表达式；（2）证明此信号与同一时间区间上的余弦信号(为整数)正交。【知识点窍】 正交函数集，两函数的正交条件。【逻辑推理】 两实函数和在区间内正交的条件；【解题过程】 （1）设函数近似为所以当时，方均误差最小。（2）所以此信号与同一时间内的余弦信号(为整数)正交。3.2 已知。求在上的分量系数及此二信号间的相关系数。【知识点窍】 分量系数与相关系数的定义、算法。【逻辑推理】 分量系数的计算公式相关系数的计算公式【解题过程】 分量系数相关系数3.3 证明两相互正交的信号和同时作用于单位电阻上产生的功率，等于每一信号单独作用时产生的功率之和。以和分别为下列两组函数来验证此结论。（1）（2）【知识点窍】 功率的定义，正交函数。【逻辑推理】 功率【证明】 和信号的功率为因为、正交，所以所以，即两相互正交信号的功率等于每一信号单独作用时产生功率之和。（1）易知与相互正交，由，得功率为功率为和信号功率为 所以结论成立。 （2）易知，不相互正交而 即不满足题意，所以题目结论成立。3.12 利用傅里叶变换的移频特性求图3.11所示信号的傅里叶变换。【知识点窍】 傅里叶变换的移频特性。若F ，F 的傅里叶变换为【逻辑推理】 由移频特性来求各图的频谱函数。图3.11【解题过程】 (a)图(a)峰值一样为矩形包络，由图(a)可知因为 由傅里叶变换的移频性质知所以 (b)图(b)为三角形包络，由图(b)可知，由移频性质得 (c)图(c)为矩形包络，由图(a)右移后得到，所以利用时延特性所以 3.15 求下列傅里叶函数所对应的时间函数。（1）（2）（3）（4）【知识点窍】 傅里叶反变换以及傅里叶变换的基本性质。【逻辑推理】 能直接使用傅里叶反变换的就直接求，不能用的可利用傅里叶的一些基本性质来解答，如对称性。【证明】 （1）利用定义（2）因为所以（3）因为 由频域微分特性，得 即 （4）因为 利用频域微分特性 即 所以 3.16 试用下列特性求图3.12所示信号的傅里叶变换。图3.12（1）用延时特性与线性特性；（2）用时域微分、积分特性。【知识点窍】 傅里叶变换的延时特性，若则。线性特性：若。则微分特性：若，则积分特性若，则【解题过程】 （1）由图3.12(a)易得信号表达式 由 得 又由延时特性得 ，所以 即 所以 （2）图3.12(b)：由频移特性得 因为 由对称特性得 所以 F 3.17 试用时域微分、积分特性求图3.13中波形信号的傅里叶变换。【逻辑推理】 每幅图都可以看成是我们常用图形的叠加，再运用以上两个性质来计算。图3.13【解题过程】 (a)由图得，波形表达式为由此可得 又因为 所以 则 因为所以 当时，上式为0所以 因为 所以 3.19 利用频域卷积定理，由的傅里叶变换及的傅里叶变换导出的傅里叶变换。【知识点窍】 频域卷积定理【逻辑推理】 先求出与的频谱函数，再利用频域卷积定理来计算。【解题过程】 因为 所以 3.23 已知的频谱函数为，将按图3.15所示的波形关系构成周期信号，求此周期信号的频谱函数。【知识点窍】 周期信号的傅里叶变换【逻辑推理】 将拆分成的延时信号的叠加，然后运用周期信号的傅里叶变换来计算。图3.15【解题过程】 由图得，在(-1,1)周期内所以又为实偶函数，所以中没有虚部，即4.1 正弦交流电压，经全波整流产生图4.1(b)所示的周期性正弦脉冲信号。求此信号通过图4.1(a)的RC电路滤波后，输出响应中不为零的前三个分量。图4.1【知识点窍】 全写出皮形函数，并且此函数为一偶函数与偶谐函数。【逻辑推理】 。【解题过程】 由图4.1(b)可知，所以由图得信号表达式为易知为偶函数与偶谐函数，所以，且只有为偶数的项所以由图得系统频率特性响应为 输出频率响应为当时，当时，代入得各频率分量复振幅。将各分量转换到时域并经叠加得总输出为4.2 如图4.2(b)所示的周期性矩形脉冲信号，其频率为，加到一谐振频率为的并联谐振电路上，以取得三倍频信号输出。并联谐振电路的转移函数为，如果要求输出中其他分量的幅度小于三次谐波分量幅度的1%，求并联谐振电路的品质因素。【知识点窍】 品质因素的定义以及与谐振电路的转移函数之间的关系。基波与三次谐波的输出幅度和求法。【逻辑推理】 图4.2【解题过程】 的傅里叶级数展开式为由于该电路的主要输出为的正弦信号，即三次谐波分量，所以回路应对三次谐波调谐。又因为谐振曲线对称，且基波幅度大于五次谐波，所以只需考虑基波的输出幅度是否满足要求。 由题意，应有，即因为 所以 4.6 一带限信号的频谱如图4.5(a)所示，若此信号通过如图45(b)所示系统。试绘出A，B，C，D各点的信号频谱的图形。系统中两个理想滤波器的截止频率均为，通常内传输值为1，相移均为零。 图4.5【知识点窍】 输出信号的频谱响应，等于输入信号的频谱响应与转移函数之积。【逻辑推理】 【解题过程】 A，B，C，D各点的信号频谱图形如图4.6所示。图4.64.8 求的信号通过图4.9(a)所示的系统后的输出。系统中理想通滤波器的传输特性如图4.9(b)所示，其相位特性。【知识点窍】 输出信号的频谱响应等于输入信号的频谱响应与转移函数之积。图4.9【逻辑推理】 【解题过程】 首先对输入信号进行傅里叶变换，由傅里叶变换对称性，得设输入理想带通滤波器的信号为，则所以 频域输出为 由傅里叶反变换得时域输出为F -1 4.9 有一幅调号为。其中：，试求：（1）部分调幅系数。（2）调幅信号包含的频率分量，绘出调制信号与调幅信号的频谱图，并求此调幅信号的频带宽度。（3）此调幅信号加到电阻上产生的平均功率与峰值功率，载波功率与边频边率。【知识点窍】 深刻理解调幅的有关概念，如调幅系数、调幅信号的频率分量，频带宽度等。【逻辑推理】 。【解题过程】 （1）部分调幅系数有0.3，0.1。（2）调幅信号包含的频率分量有调幅信号的频带宽度为。