函数图像总结

1 / 46 函数图像总结 为高等数学小结的 基本初等函数 1.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则 2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性 ，周期性 复习的时候 一定要从这四个方面去研究函数。 3.每个函数的图像很重要 . 幂函数 有界性： 2 / 46 单 调 性 ： 若 a0, 函 数 在 内 总 有 定 义 。 内单调增加； 若 a 事奇函数，那些是偶函数 要知道这些函数那些 周期性： 每种函数的图像 - 1 - . . 指数函数 定义域： 有界性： 值域： 3 / 46 单调性：若 a1 函数单调增加；若 0 奇偶性： 周期性： 注意： 图形过点 暨 a =1 直线 y=0 为函数图形的水平渐近线 - 2 - 今后 用的较多 这个函数的图形，性质要记清楚 1 、 4 / 46 . 对数函数 1、 定义域： 值域： 有界性： 单调性： a1时，函数单调增加； 0 奇偶性： 周期性： 主 要性 质：与指 数函 数互为反 函数 ，图形过 点， 直线 x=0 为函数图形的铅直渐近线 e= ，无理数 经常用到以 e为底的对数 5 / 46 - 3 - . 三角函数 强调：图像 定义域： 有界性： -1,1 有界函数 单调性：单调递增 奇偶性：奇函数 周期性：以为周期的周期函数； 定义域： 有界性： -1,1 有界函数 单调性： 奇偶性：偶函数 6 / 46 值域： -1,1 值域： -1,1 - 4 - 周期性： 定义域：有界性： 单调性： 奇偶性：奇函数 周期性： 值域： - 5 - 函数图像总结 一 基本函数图像 1y=kx (x0) 2 y=kx+b (k0) 3 y? 4 y?ax2?bx?c(a?0) 5 y?xa 6 y?x?k(k?0) xk(k?0) 7 y?ax(a?0,a?1) x 8 y?logax(a?0,a?1) 7 / 46 二 抽象图像平移 f(x） ?f(x+1) f(x） ?f(x-1) f(x） ?f(x)+1 f(x） ?f(x)-1 f(x) ?f(2x) f(x) ?2f(x) f(x） ?f(2x+2) y=f 变成 y=f 练习： cosx? cos2x c os2x? cos cosx?cos2x+4 三 图像的变换 1 f(x） ?f(|x|) 保留 y轴右边的，左边关于右边 y 轴对称 2 f(x） ?| f(x)| 保留 x 轴上方的，下方关于 x轴对称 3 f(x） ? f(-x） y轴对称 8 / 46 4 f(x） ?-f(x) x 轴对称 5 f(x） ?-f(-x） 原点对称 6 f(x） ?f先根据 1 方法变成 f,在向左平移一个单位得到 f 7 f(x） ?f先向左平移一个单位 得到 f，再根据 1 方法变成f 8 f(x)与 f?1(x)的图象关于直线 y?x对称 联想点 ,(y,x) 9 f(x)与 ?f(2a?x)的图象关于点 (a， 0)对称 eg f= 2x与 g=-2?x关于 对称 一、函数 y?f(x)与函数 y?f(?x)的图象关系 函数 y?f(?x)的图象是由 y?f(x)的图象经沿 y 轴翻折 180而得到的。注意它与函数 y?f(x)满足 f(x)?f(?x)的图象是不同的，前者代表两个函数，后者表示函数 y?f(x)本身是关于 y 轴对称的。 伸缩变换及其应用： 9 / 46 函数 y?af(bx)的图像可以看作是由函数 y?f(x)的图像先将横坐标伸长 (|b| 1）或缩短 (|b| 1）到原来的 1倍，再把纵坐标伸长 (|a| 1）或缩短 (|a| 1）到原来的 |a|倍即可得到。如： |b| 1 的图像 x?1要求： 1 会画 y=|x+1| y=- 2 会画 f=lg|x|以及 f=|lgx| 3 会画 f=|lg|x+1| 以及 f(x)= x2-4|x|+5 f(x)=| x2-2x-3| 二 1 由图像可知 f 为偶函数对称轴为 2 由图像可知 f为奇函数关于点对称 Eg、对 a， b?R，记 maxa， b ? (A)0 (B) 10 / 46 ?a,a?b，函数 f max|x 1|， |x 2|(x?R)的最小值是 ?b,a b13 (C) (D)3 22 9011、 y?f(x)?绕原点顺时针方向旋转； ?y?f? 12、 y?f(x)?； ?y?f?绕原点逆时针方向旋转 9000 ?f(x)yx(y?b)(y?f(x)b,a)?1 ?f(x) 0 说明：关于绕原点旋转 180 的变换实际上就是关于原点对称的问题。 例 2、函数 y=f(x)与函数 y=f(a x)的定义域均为 R(a 为常数 ),这两个函数的图象 ( ) (A)关于 y轴对称， (B)关于 x=a 对称， (C)关于 x? 11 / 46 a 对称 ， (D)关于 x=2a对称。 2 函数图象及应用的规律总结 平移变换： 、水平平移：函数 y?f(x?a)的图像可以把函数 y?f(x)的图像沿 x 轴方向向左 (a?0)或向右 (a?0)平移 |a|个单位即可得到； 1） y=f(x)?y=f(x+h)； 2） y=f(x) 右移 h 左移 h ?y=f(x?h)； 、竖直平移：函数 y?f(x)?a 的图像可以把函数 y?f(x)的图像沿 x轴 上移 h 方向向上 (a?0)或向下 (a?0)平移 |a|个单位即可得到； 1）y=f(x) ?y=f(x)+h； 2） y=f(x) 下移 h 12 / 46 ?y=f(x)?h 对称变换： 、函数 y?f(?x)的图像可以将函数 y?f(x)的图像关于 y轴对称即可得 y 轴 到； y=f(x) ?y=f(?x) 、函数 y?f(x)的图像可以将函数y?f(x)的图像关于 x 轴对称即可得到； y=f(x) ?y= ?f(x) 、函数 y?f(?x)的图像可以将函数 y?f(x)的图像关于原点对称即可得到； y=f(x) ?y= ?f(?x) 、函数 x?f(y)的图像可以将函数 原点 x 轴 y?f(x)的图像关于直线 y?x对称得到。 y=f(x) ?x=f(y) 、函数 y?f(2a?x)的 图像可以将函数 y?f(x)的图像关于直线 x?a对称即可得到；13 / 46 y=f(x) ?y=f(2a?x)。 翻折变换： 、函数 y?|f(x)|的图像可以将函数 y?f(x)的图像的 x轴 下方部分沿 x轴翻折到 x轴上方，去掉原 x 轴下方部分，并保留 y?f(x)的 x轴上方部分即可得到； 直线 x?a 直线 y?x 、函数 y?f(|x的图像可以将函数 y?f(x)的图像右边沿 y轴翻折到 y轴左边替代原 y轴左边部分并保留 y?f(x)在 y 轴右边部分即可得到 伸缩变换： 、函数 y?af(x)(a?0)的图像可以将函数 y?f(x)的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长 (a?1)或压缩为原来的 a 倍得到； y=f(x)?y=af(x) 、函数 y?f(ax)(a?0)的图像可以将函数 y?f(x)的图像中的每一点纵坐标不变横坐 x?a 1 14 / 46 标伸长 (a?1)或压缩为原来的倍得到。 f(x=f(x)?y=f(ax ) a y?a 四种应用： 知式选图； 知图选式； 知图选图； 综合运用 知式选图 1函数 y x cosx 的大致图象是 ( ) 2函数 y 2 log2x 的图象大致是 ( ) 15 / 46 1 3. 函数 y? x ?2sinx的图象大致是 2 4已知函数： y 3； y ln x； y x； y x2 则下列函数图象 (在第一象限部分 )从左到右依次与函数序号的对应顺序一致的是 ( ) x 1 16 / 46 1 A B C D 1 5函数 y 1 ( ) x 1 6.函数 y?e 7.函数 y lncosx(-|lnx| ?|x?1|的图象大致是 ? 17 / 46 x )的图象是 22 8.函数 y?tanx?sinx?tanx?sinx 在区间 ( ?3? 2,2 )内的图象是 A B C 2 D 18 / 46 9若指数函数 f(x) ax(a0， a1) 图象上的任意 一点 P(x0，y0)处的导数都大于零，则函数 yxax 的图象的大致形状是 ( ) |x| 10在同一坐标系中画出函数 y logax， y ax， y x a的图象，可能正确的是 ( ) 11设 abc0，二次函数 f(x) ax2 bx c的图象可能是 ( )左下图 12设 a b，函数 y (x a)2(x b)的图象可能是 ( )如右上图 19 / 46 13设函数 f(x)满足 f(?x)?f(x)， f(x?2)?f(x)，则函数 y?f(x)的图像是 1 14若 f(x)是 R上的奇函数，且当 x?0时， f(x)?()x?1，则f(x)的反函数的图象大致 2 是 知图选式 3 15.图中的图象所表示的函数的解析式为 333 |x?1| (0x2) ?|x?1| (0x2) 20 / 46 222 3 C. y?|x?1| (0x2) ?1?|x?1|(0x2) 2 ? 16. 在同一平面直角坐标系中，函数 y?f(x)和 y?g(x)的图像关于直线 y?x对称现将 y=g(x)图像沿 x轴向左平移个单位，再沿 y轴向上平移个档位，所得的图像是由两条线段组成的折线，则函数 f(x)的表达式为 ( ) ?2x?2,?1?x?0?2x?2,?1?x?0 ? .f(x)?x .f(x)?x 21 / 46 ?2,0?x?2?2,0?x?2?2?2?2x?2,1?x?2?2x?6,1?x?2? .f(x)?x .f(x)?x ?1,2?x?4?3,2?x?4?2?2 17函数 f(x)?a x?b 的图象如图，其中 a、 b为 常数，则下列结论正确的是 A a?1,b?0 C 0?a?1,b?0 m B a?1,b?0 D 0?a?1,b?0 n 18函数 f(x)?axg(?x)在区间 0,1上的图像如图所示，22 / 46 则 m， n的值可能是 A m?1,n?1 B m?1,n?2 C m?2,n?1 D m?3,n?1 知图选图 19若函数 f(x) loga(x b)的大致图象如图所示，其中 a，b(a0且 a1) 为常数，则函数 g(x) ax b 的大致图象是 ( ) 20设 f(x) 是函数 f(x)的导函数， y f(x) 的图象如图所示，则 y f(x)的图象最有可能的是 ( ) 4 21点 P 是球 O的直径 AB上的动点， PA x，过点 P 且与 AB垂直的截面面积记为 y，则 y f(x)的大致图象是 ( 23 / 46 ) 22函数 y f(x)与函数 y g(x)的图象如图，则函数 yf(x)g(x) 的图象可能是 ( ) 综合运用 23函数 f(x)与 g(x)的定义域为 m， n，它们的图象如图所示，则不等式 f(x)g(x) 24方程 x ()x 的实根个数是 _ 2 ?8x 8， x1 ， ? 25已知函数 f(x) ?g(x) log2x，则 f(x)与 g(x)两函数图象的交点个数为 ?0， x1， ? 1 24 / 46 2 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 ? 26已知函数 f(x) ?3 lg?3 x?， x ( ) A ( ， 0) 3lg x， x2 ，若方程 f(x) k 无实数根，则实数 k 的取值范围是 33 B ( ， 1) C ( ， lg D， ) 22 25 / 46 27函数 y |2x 1|在区间 (k 1， k 1)内不单调，则 k的取值范围是 ( ) A ( 1， ) x B ( ， 1) C ( 1,1) D (0,2) 28函数 f?x?2?3x 的零点所在的一个区间是 ?2,?1? ?1,0? ?0,1? ?1,2? ?2x 1?x0? 29已知函数 f(x) ?，若方程 f(x) x a有且只有两个不相等的实数根，则实 ?f?x 1?x0? 数 a 的取值范围为 ( ) A ( ， 0 B 0,1) C ( ， 1) D 0， ) 26 / 46 30使 log2( x) 31若直线 y 2a 与函数 y |ax1|(a0 且 a1) 的图象有两个公共点，求 a的取值范围 5 高中函数图像性质总结 一、指数函数 y?ax(a?0 且 a?1) 1、指数函数的图象和性质 2、第一象限：底数越大，图像越高 ? 二、 y?logax 1、对数函数的图象和性质 2、当 a1 时， a 越大，图像越靠近 x 轴； 当 0 1、所有的幂函数图象都过点。除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限； 注：当 0 时过定点和； 27 / 46 当 0 时过定点 2、 0 时，幂函数的图象都通过原点，并且在 0， +上，是增函数 3、 0 时，幂函数的图象在区间上是减函数 . 4、任何两个幂函数最多有三个公共点 5、图像性质： 在 第一象限幂函数图像表现为： 0时， 越大，图像越陡； 0时， 越大，图像越靠近 y 轴远离 x 轴。 四、一元二次函 数 ： 1、图像和性质 2 顶点式： f(x) a(x h)2 k，定点坐标 28 / 46 分解式： f(x) a(x x1)(x x2), 一元二次方程的两根为x1， x2 一般式： f(x) ax2 bx c， (a0) 1.一次函数 (包括正比例函数 ) 最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。 定义域： R 值域： R 奇偶性：无 周期性：无 平 面 直 角 坐 标 系 解 析 式 ( 下 简 称 解 析 式 ): ax+by+c=0 一般式 y=kx+b 斜截式 y -y1=k(x-x1)点斜式 /(y2 -y1)=(x-x1)/(x2-x1)两点式 与为直线上的两点） x/a -y/b=0截距式 解析式表达局限性： 所需条件较多； 29 / 46 、 不能表达没有斜率的直线； 参数较多，计算 过于烦琐； 不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。 倾斜角： x轴到直线的角称为直线的倾斜 角。设一直线的倾斜角为 a，则该直线的斜率 k=tg(a)。 2.二次函数： 题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与 y轴平行的抛物线。 定义域： R 值域： (4ac -b )/4a，正无穷）； t ，正无穷） 奇偶性：偶函数 周期性：无 解析式： y=ax+bx+c 一般式 a0 30 / 46 a 0，则抛物线开口朝上； a 0，则抛物线开口朝下； 极值点：； =b -4ac, 0，图象与 x轴交于两点： 和； 0，图象与 x 轴交于一点： ； 0，图象与 x轴无交点； y=a(x -h) +t配方式 此时，对应极值点为，其中 h=-b/2a， t=(4ac-b )/4a）； 定义域： 0，正无穷） 值域：0，正无穷） 奇偶性：无 周期性：无 图象类似于将一个过圆点的二次函数以原点为旋转中心，顺时针旋转 90 ，再去掉 y轴下方部分得到的图象 5.指数函数 函数的图像和性质专题 第 1 讲 函数的基本性质总结 31 / 46 例、已知函数 f(x)? 在区间 ?2,?上为增函数，则实数 a 的取值范围 _； 2 注意：求单调区间时，一是勿忘定义域 ,二是在多个单调区间之间不一定能添加符号 “?” 和 “ 或 ”, 三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示 例、若函数 f(x)?loga(x2?ax?3)在区间 (?,上为减函数，求 a 的取值范围 、函数的奇偶性 1、函数的奇偶性 、偶函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数 、奇函数 一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(x)= f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数 32 / 46 ?1； f(x) 、图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y轴对称。 、利用函数奇偶性定义的等价形式： f(x)?f(?x)?0或 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数 .若对称， (1)再根据定义判定 ; (2)有时判定 f(-x)=f(x) 比 较 困 难 ， 可 考 虑 根 据 是 否 有f(-x)f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=1 来判定 ; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 3、函数奇偶性的性质： 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于33 / 46 原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 . 若f(x)为偶函数，则 f(?x)?f(x)?f(|x|). 例、定义在 R 上的偶函数 f(x)在 (?,0)上是减函数，且f()=2，则不等式 13 f(log1x)?2的解集为 _. 8 若奇函数 f(x)定义域中含有 0，则必有 f(0)?0. 函数 y?f?x?a?(a?0)的图象是把函数 y?f?x?的图象沿 x轴向左平移 a个单位得到的 ; 函数 y?f?x?a?(a?0)的图象是把函数 y?f?x?的图象沿 x轴向右平移 a个单位得到的 ; 函数 y?f?x?+a(a?0)的图象是把函数 y?f?x?助图象沿 y轴向上平移 a个单位得到的 ; 34 / 46 函数 y?f?x?+a(a?0)的图象是把函数 y?f?x?助图象沿 y轴向下平移 a个单位得到的 ; 函数 y?f?ax?(a?0)的图象是把函数 y?f?x?的图象沿 x 轴伸缩为原来的 1 得 a 到的 ; 函数 y?af?x?(a?0)的图象是把函数 y?f?x?的图象沿 y 轴伸缩为原来的 a倍得 到的 . 、函数的对称性 a?b 对称。 2 点 (x,y)关于 y 轴的对称点为 (?x,y)；函数 y?f?x?与y?f?x?关于 y 轴对称； 点 (x,y)关于 x 轴的对称点为(x,?y)；函数 y?f?x?与 y?f?x?关于 x轴对称； 点 (x,y)关于原点的对称点为 (?x,?y)；函数 y?f?x?与 y?f?x?关于35 / 46 原点对称； |f(x)| 的图象先保留 f(x)原来在 x 轴上方的图象，作出 x轴下方的图象关于 x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到； f(|x|)的图象先保留 f(x)在 y 轴右方的图象， 满足条件 f?x?a?f?b?x?的函数的图象关于直线 x? 擦去 y轴左方的图象，然后作出 y 轴右方的图象关于 y轴的对称图形得到。 例、作出函数 y?|log2(x?1)|及 y?log2|x?1|的图象 . 三 典型例题 例 1、奇函数 f(x)满足： f(x) 在 (0,?)内单调递增；f(1)?0 ；则不等式 (x?1)f(x)?0 的解集为： 1x2?4x?5 例 2、函数 y=()的递减区间是 _. 2 36 / 46 答案： 2， + 1t )单调递减， t=x2-4x+5在 2， +) 上递增， 递减区间为 2， +). 2 例 3、判断下列各函数的奇偶性： 解析： y=( lg(1?x2) f(x)?(x?f(x)?2； |x?2|?2 1?x ?0，得定义域为 ?1,1)，关于原点不对称， f(x)为非奇非偶解：由 1?x 37 / 46 函数 2 ?1?x?0 由 ?2得定义域为 (?1,0)?(0,1)， ?|x?2|?2?0 lg(1?x2)lg(1?x2) ?f(x)? ， 22 x?(x?2)?2 lg1?(?x)2lg(1?x2) ?f(x) f(x) 为偶函数 f(?x)?22 (?x)x 例 4 设函数 38 / 46 为奇函数，则 解析 :f(x)=, f ( x)= 又 f(x) 为奇函数 ,f (x)= f ( x). = .x2?(a?1)x?a?x2?(a?1)x?a a= 1. 1?x ，求 1?x 例 5 已知函数 f(x)?x?log2 f(? 1111)+f(?)+f()+f()的值 XXXXXXXX 39 / 46 1?x ?0得函数的定义域是 (?1,1) 1?x 1?x1?x ?log2?log21?0 又 f(?x)?f(x)?log2 1?x1?x ?f(?x)?f(x)成立， ?函数是奇函数 1111f(?)+f()=0 f(?)+f()=0 XXXXXXXX 1111)+f(?)+f()+f() =0 f(? XXXXXXXX 例 6、为了得到函数 y?f(?2x)的图象，可以把函数 y?f(1?2x)40 / 46 的图象适当平移，这个平移 解：由 是 1 A.沿 x 轴向右平移 1 个单位 B.沿 x 轴向右平移 2个单位 1 C.沿 x 轴向左平移 1 个单位 D.沿 x 轴向左平移 2个单位 第 2 讲 函数的图象与性质 1 (2016 陕西 )下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 A y x 1 B y x3 C y D y x|x| 解析 利用排除法求解 41 / 46 A 选项中的函数为非奇非偶函数 B、 C、 D 选项中的函数均为奇函数，但 B、 C 选项中的函数不为增函数，故选 D. cos 6x 2 (2016 山东 )函数 y x x的图象大致为 2 2 解析 利用函数的奇偶性和函数值的变化规律求解 cos 6x y f(x)， f( x) 2 2 cos 6xf(x)， f(x) 是奇函数，其图 x