圆的一般方程_1

1 / 9 圆的一般方程 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 圆的一般方程 （一）教学目标 1知识与技能 （ 1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件 . （ 2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程 . （ 3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力 . 2过程与方法 通过对方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件的探究，培养 学生探索发现及分析解决问题的实际能力 . 3情感态度与价值观 渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索 . （二）教学重点、难点 教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数， D、 E、 F. 教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 . （三）教学过程 2 / 9 教学环节教学内容师生互动设计意图 课题引入问题：求过三点 A(0， 0)， B(1， 1)， c(4， 2)的圆的方程 . 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直 线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式 圆的一般方程 .让学生带着问题进行思考设疑激趣导入课题 . 概 念 形 成 与 深 化 请 同 学 们 写 出 圆 的 标 准 方 程 ：(x a)2+(y b)2=r2，圆心 (a， b)，半径 r. 把圆的标准方程展开，并整理： x2+y2 2ax 2by+a2+b2 r2=0. 取 D= 2a， E= 2b， F=a2+b2 r2 得 x2+y2+Dx+Ey+F=0 这个方程是圆的方程 . 反过来给出一个形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？ 把 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方得 ( 配方过程由学生去完成 )这个方程是不是表示圆？ （ 1）当 D2+E2 4F 0 时，方程 表示以为圆心， 为半径的圆； （ 2）当 D2+E2 4F=0 时，方程只有实数解，即只表示一个点； 3 / 9 （ 3）当 D2+E2 4F 0 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 . 综上所述，方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示的曲线不一定是圆 . 只有当 D2+E2 4F 0 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的表示圆的方程称为圆的一般方程 .整个探索过程由学生完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳 . 圆的一般方程的特点： （ 1） x2 和 y2 的系数相同，不等于 0. 没有 xy这样的二次项 . （ 2）圆的一般方程中有三个特定的系数 D、 E、 F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了 . （ 3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显 .通过学生对圆的一般方程的探究，使学生亲身体会圆的一般方程的特点，及二元二次方程表示圆所满 足的条件 . 应用举例例 1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径 . （ 1） 4x2+4y2 4x+12y+9=0 （ 2） 4x2+4y2 4x+12y+11=0 解析：（ 1）将原方程变为 4 / 9 x2+y2 x+3y+=0 D= 1， E=3， F=. D2+E2 4F=1 0 此方程表示圆，圆心（，），半径 r=. （ 2）将原方程化为 x2+y2 x+3y+=0 D= 1， E=3， F=. D2+E2 4F= 1 0 此方程不表示圆 . 学生自己分析探求解决途径： 用 配方法将其变形化成圆的标准形式 . 运用圆的一般方程的判断方法求解 .但是，要注意对于（ 1） 4x2+4y2 4x+12y+9=0 来说，这里的 D= 1， E=3，而不是 D= 4， E=12， F=9.通过例题讲解使学生理解圆的一般方程的代数特征及与标准方程的相互转化更进一步培养学生探索发现及分析解决问题的能力 . 例 2 求过三点 A(0， 0)， B(1， 1)， c(4， 2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标 . 分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写 出圆的一般方程 . 解：设所求的圆的方程为： x2+y2+Dx+Ey+F=0 A(0 ， 0)， B(1， 1)， c(4， 2)在圆上，所以它们的坐标是5 / 9 方程的解 .把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于 D、E、 F 的三元一次方程组： 即 解此方程组，可得： D= 8， E=6， F=0 所求圆的方程为： x2+y2 8x+6y=0 ； . 得圆心坐标为 (4， 3). 或将 x2+y2 8x+6y=0 左边配方化为圆的标准方程，(x 4)2+(y+3)2=25，从而求出圆的半径 r=5，圆心坐标为 (4， 3).例 2 讲完后 学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤： 1根据题设，选择标准方程或一般方程 . 2根据条件列出关于 a、 b、 r 或 D、 E、 F 的方程组； 3解出 a、 b、 r 或 D、 E、 F，代入标准方程或一般方程 . 例 3 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4， 3)，端点 A 在圆上(x+1)2+y2=4 运动，求线段 AB的中点 m 的轨迹方程 . 解：设点 m 的坐标是 (x， y)，点 A 的坐标是 (x0， y0)由于点B 的坐标是 (4， 3)且 m 是线段 AB中重点，所以 ， 于是有 x0=2x 4， y0=2y 3 因为点 A 在圆 (x+1)2+y2=4 上运动，所以点 A 的坐标满足方6 / 9 程 (x+1)2+y2=4，即 (x0+1)2+y02=4 把 代入 ，得 (2x 4+1)2+(2y 3)2=4， 整理得 所以，点 m 的轨迹是以为圆心，半径长为 1 的圆 . 课堂练习：课堂练习 P130第 1、 2、 3 题 .教师和学生一起分析解题思路，再由教师板书 . 分析：如图点 A 运动引起点 m 运动，而点 A 在已知圆上运动，点 A的坐标满足方程 (x+1)2+y2=4.建立点 m与点 A 坐标之间的关系，就可以建立点 m 的坐标满足的条件，求出点 m 的轨迹方程 . 归纳总结 1圆的一般方程的特征 2与标准方程的互化 3用待定系数法求圆的方程 4求与圆有关的点的轨迹教师和学生共同总结让学生更进一步（回顾）体会知识的形成、发展、完善的过程 . 课后作业布置作业：见习案的第二课时学生独立完成巩固深化 备选例题 例 1 下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径 . （ 1） x2+y2+x+1=0； 7 / 9 （ 2） x2+y2+2ac+a2=0(a0) ； （ 3） 2x2+2y2+2ax 2ay=0(a0). 【解析】（ 1）因为 D 1， E 0， F 1， 所以 D2+E2 4F 0 方程（ 1）不表示任何图形； （ 2）因为 D 2a， E 0， F a2， 所以 D2+E2 4F 4a2 4a2=0，所以方程（ 2）表示点 ( a，0)； （ 3）两边同时除以 2，得 x2+y2+ax ay=0， 所以 D=a， E= a， F=0.所以 D2+E2 4F 0， 所以方程（ 3）表示圆，圆心为，半径 . 点评：也可以先将方程配方再判断 . 例 2 已知一圆过 P(4， 2)、 Q( 1， 3)两点，且在 y 轴上截得的线段长为，求圆的方程 . 【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由 半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之 . 【解析】法一：设圆的方程为： x2+y2+Dx+Ey+F=0 将 P、 Q 的坐标分别代入 得 令 x=0，由 ，得 y2+Ey+F=0 由已知 |y1 y2¬|=，其中 y1， y2是方程 的两根 . 8 / 9 (y1 y2)2=(y¬1+y2) 4y1y2=E2 4F=48 解 联立成的方程组，得 故所求方程为： x2+y2 2x 12=0 或 x2+y2 10x 8y+4=0. 法二：求得 PQ 的中垂线方程为 x y 1=0 所求圆的圆心 c 在直线 上，故设其坐标为 (a， a 1)， 又圆 c 的半径 由已知圆 c 截 y 轴所得的线段长为，而圆 c 到 y 轴的距离为|a|. 代入 并将两端平方，得 a2 5a+5=0， 解得 a1=1， a2=5. 故 所 求 的 圆 的 方 程 为 ： (x 1)2+y2=13 或(x 5)2+(y 4)2=37. 【评析】 (1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和 y 轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多 . （ 2）涉及与圆的弦长有关问题，常用