初一上册数学一元一次方程总结

1 / 56 初一上册数学一元一次方程总结 一元一次方程 1等式：用 “=” 号连接而成的式子叫等式 . 2等式的性质： 等式性质 1：等式两边都加上同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式； 等式性质 2：等式两边都乘以同一个不为零的数，所得结果仍是等式 . 3方程：含未知数的等式，叫方程 . 4方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意： “ 方程的解就能代入 ” ！ 5移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项 .移项的依据是等式性质 1. 2 / 56 6一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的 次数是 1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程 . 7一元一次方程的标准形式： ax+b=0. 8一元一次方程解法的一般步骤： 化简方程 -分数基本性质 去 分母 -同乘最简公分母 去 括号 -注意符号变化 移 项 -变号 合并同类项 -合并后注意符号 系数化为 1-未知数细数是几就除以几 10列一元一次方程解应用题： 3 / 56 读题分析法 :? 多用于 “ 和，差，倍，分问题 ” 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如： “ 大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套 -” ，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程 . 画图分析法 : ? 多用于 “ 行程问题 ” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得列方程的依据，最后利用量与量之间的关系，填入有关的代数式是获得方程的基础 . 11解实际应用题： 知识点 1：市场经济、打折销售问题 商品利润商品售价商品成本价 商品利润率商品利润 100% 商品成本价 4 / 56 商品销售额商品销售 价 商品销售量商品的销售利润 销售量 知能点 2： 方案选择问题 知能点 3 储蓄、储蓄利息问题 (1）顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本 息和，存入银行的时间叫做期 数，利息与本金的比叫做利率。利息的 20%付利息税 (2）利息 =本金 利率 期数 本息和 =本金 +利息 利息税 =利息 税率 (3）利润 ?每个期数内的利息 ?100%, 本金 知能点 4：工程问题 工作量工作效率 工作时间 工作效率工作量 工作时间 5 / 56 工作时间工作量 工作效率 完成某项任务的各工作量的和总工作量 1 知能点 5：若干应用问题等量关系的规律 和、差、倍、分问题 此类题既可有示运算关系，又可表示相等关系，要结合题意特别注意题目中的关键词 语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等，它们能指导我们正确地列出代数式或方程 式。 增长量原有量 增长率 现在量原有量增长量 等积变形问题 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变 圆柱体的体积公式 V=底面积 高 Sh ?r2h 6 / 56 长方体的体积 V长 宽 高 abc 知能点 6：行程问题 基本量之间的关系： 路程速度 时间 时间路程 速度 速度路程 时间 相遇问题 追及问题 快行距慢行距原距 快行距慢行距原距 航行问题 顺水速度静水速度水流速度 逆水速度静水速度水流速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速不变的特点考虑相等关系 知能点 7：数字问题 要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为 a，十位数字是 b，个位数字为 c则这个三位数表示为： 100a+10b+c。7 / 56 然后抓住数字间或新数、原数之间 的关系找等量关系列方程 数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 1；偶数用 2n表示，连续的偶数用 2n+2 或 2n 2 表示；奇数用 2n+1 或 2n 1表示。 初一数学上册第三单元一元一次方程知识点归纳及测试题 一一元一次方程 1.等式与等量：用 “=” 号连接而成的式子叫等式 .注意：“ 等量就能代入 ”! 2. 等式的性质： 等式性质 1：等式两边都加上 (或减去 )同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 ; 等式性质 2：等式两边都乘以 (或除以 )同一个不为零的数，所得结果仍是等式 . 8 / 56 3.方程：含未知数的等式，叫方程 . 4.方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解 ;注意： “ 方程的解就能代入 ”! 5.移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项 .移项的依 据是等式性质 1. 6.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程 . 7.一元一次方程的标准形式： ax+b=0(x 是未知数， a、 b 是已知数，且 a0). 8.一元一次方程的最简形式： ax=b(x 是未知数， a、 b 是已知数，且 a0). 9. 一元一次方程解法的一般步骤：整理方程 ?去分母 ?去括号 ?移项 ?合并同类项 ?系数化为1?(检验方程的解 ). 二列一元一次方程解应用题。 (1)读题分析法 :?多用于 “ 和，差，倍，分问题 ” 9 / 56 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如： “ 大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套 -” ，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程 . (2)画图分析法 :?多用于 “ 行程问题 ” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系 (可把未知数看做已知量 )，填入有关的代数式是获得方程的基础 . 三列方程解应用题的常用公式。 四、本单元重点概念、定义： 1、列方程时，要先设字母表示未知数，然 后根据问题中的相等关系，写出还有未知数的等式 方程。 2、含有一个未知数，未知数的次数都是 1，这样的方程叫做一元一次方程。 10 / 56 3、分析实际问题中的数量关系，利用其中的等量关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。 4、等式的性质 1：等式两边加同一个数，结果仍相等。 5、等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以一个不为 0 的数，结果仍相等。 6、把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。 7、应用：行程问题： s=vt 工程问题：工作总量 =工作效率 时间 盈亏问题：利润 =售价成本 利率 =利润 成本 100 售价 =标价 折扣数 10 储蓄利润问题：利息 =本金 利率 时间 本息和 =本金 +利息 初一数学上册第三单元测试题 1 学校 _ 班级 _ 姓名 _ 一、 选择题 1、 原产量 n 吨，增产 30 之后的产量应为 . A、吨 B、吨 C、 n+30 吨 D、 30n 吨 11 / 56 2、下列 说法正确的是 ?. A、 3x 的系数是 3 2 2 2 B、 2xy 的系数是 2x 2 C、 5x的 系数是 5 D、 3x的系数是 3 3、下列计算正确的是 ?. A、 4x 9x 6x x B、 2a 2a 0 C、 x x x D、 xy 2xy 3xy 12 / 56 4、买一个足球需要 m 元，买一个篮球需要 n 元，则买 4 个足球、 7个篮球共需 要 ? A、 4m 7n B、 28mn C、7m 4n D、 11mn 22 5、计算： 6a 5a 3 与 5a 2a 1 的差，结果正确的是 22 A、 a 3a 4 B、 a 3a 2 22 C、 a 7a 2 D、 a 7a 4 二、填空题 3 2 13 / 56 6、列示表示： p的 3 倍的 4 3 是 _ 。 7、的次数是 _ 。 8、多项式 2b 4 22 ab 5ab 1的次数 为 _ 。 2 9、写出 5xy 的一个同类项 _ 。 10、三个连续奇数，中间的一个是 n，则这三个数的和为_ 。 11、观察下列算式： 14 / 56 222222 1 0=1+0=1； 2 1=2+1=3； 3 2=3+2=5； 2222 4 3=4+3=7； 5 4=5+4=9； ? 若字母 n 表示自然数，请你把观察到规律用含 n的式子表示出来： _ 三、 解答题 12、计算：每小题 5 分，共 15分） 2st 3st 6; 8a a+a+4a a 7a 6; 7xy+xy+4+6x 5xy 5xy 3; 13、计算 15 / 56 33 2 3 2 3 2+3(2b 3a); 22222 2(x xy) 3(2x 3xy) 2【 x (2x xy+y)】 14、先化简，再求值 2x 4x 3x (x 3x 2x)，其中x= 3； 2ab 5ac (3ac ab) (3ac 4ac)，其中 a= 1， b=2，c= 2 . 16 / 56 15、 如图，在一长方形休闲广场的四角设计 一块半径相同的四分之一圆形的花坛，若圆 形的半径为r 米，广场长为 a米，宽为 b米 . 请列示表示广场空地的面积； 若休闲广场的长为 500 米，宽为 200 米， 圆形 花坛的半径为 20米，求广场空地的面积 16、 小明在实践课中做了一个长方形模型，模型一边长为 3a+2b，另一边比它小 a b，则长方形模型的周长为多少？ 附加题 17、张华在一次测验中计算一个多项式加上 5xy 3yz 2xz时，误认为减去此式，并计算出错误结果为 2xy 6yz xz，试求出正确答案。 2 17 / 56 2 2 2 3 223 18、每家乐超市出售一中商品，其原价为元，现有三种调价方案： 先提价 20 ，再降价 20 ； 先降价 20 ，再提价 20 ； 先提价 15 ，再降价 15 。问用这三种方案调价结果是否一样？最后是不是都恢复了原价？ 初一数学上册第三单元测试题 班级： 姓名： 一、选择题 1下列方程中是一元一次方程的是 A 18 / 56 1 ?x?2 x B 2x?3y?0 D x?4x?5?0 2 C x?1?4 2如果 3x?2?8,那么 6x?1? A 6 B 19 C 25 D 13 3某班有学生 56 人，其中男生人数比女生人数的 2 倍少 11人，若设女生人数为 x，则可 以列方程 A 2x?11?x?56 B 2x?11?x?56 C 19 / 56 x ?11?x?56 2 D x?11 ?x?56 2 4王静问老师的年龄，老师笑着说： “ 我们两人的年龄和为 51，我的年龄是你的年龄的 3 倍少 1. ” 你能 用学过的知识把她们两人的年龄求出来吗？ A 13岁和 38岁 B 14岁和 37岁 C 15岁和 36岁 D 12岁和 39岁 5星期天，小红和同学们一起以 5 千米 /小时的速度步行去郊外野游，走了 16 分钟后，妈妈发现小红没带照像机，于是妈妈骑自行车以 13千米 /小时的速度追小红，那么妈妈多长时间才能把照像机送到小红手中 A 10小时 小时 D 620 / 56 小时 二、填空题 1在括号内填上所得等式成立的理由： 由x?1?3得 x?4 由 B 1 小时 6 C 130 x ?5得 x?10 2 m?1 2若方程 x?2m?0 是关于 x 的一元一次方程，则 m ，此21 / 56 方程解为 . 初一数学上册一元一次方程应用题总复习 列方程解应用题的方法及步骤： 审题：要明确已知什么，未知什么及其相互关系，并用 x 表示题中的一个合理未知数。 根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 根据相等关系，正确列出方程，即所列的方程应满足等号两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同。 解方程：求出未知数的值。 检验后明确地、完整地写出答案。检验应是：检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义。 2. 应用题的类型和每个类型所用到的基本数量关系： 等积类应用题的基本关系式：变形前的体积变形后的体22 / 56 积。 调配类应用题的特点是：调配前的数量关系，调配后又有一种新的数量关系。 利息类应用题的基本关系式：本金 利率利息，本金利息本息。 商品利润率问题：商品的利润率 ，商品利润商品售价商品进价。 工程类应用题中的工作量并不是具体数量，因而常常把工作总量看作整体 1，其中，工作效率工作总量 工作时间。 行程类应用题基本关系：路程速度 时间。 相遇问题：甲、乙相向而行，则：甲走的路程乙走的路程总 路程。 追及问题：甲、乙同向不同地，则：追者走的路程前者走的路程两地间的距离。 23 / 56 环形跑道题： 甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发：快的必须多跑一圈才能追上慢的。 甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发：两人相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度。 飞行问题、基本等量关系： 顺风速度无风速度风速 逆风速度无风速度风速 航行问题，基本等量关系： 顺水速度静水速度水速 逆水速度静水速度水速 比例类应用题：若甲、乙的比为 2： 3，可设甲为 2x，乙为3x。 24 / 56 数字类应用题基本关系：若一个三位数，百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c，则这三位数为 ： 。 1 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 27人，在乙处植树的有 18人 .如果要使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2 倍，需要从乙队调多少人到甲队？ 2 变题 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有 23人，在乙处植树的有 17 人 .现调 20 人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的 2倍多 2人，应调往甲、乙两处各多少人？ 分析 设应调往甲处 x人，题目中涉及的有关数量及其关系可以用下表表示： 3 某中学组织同学们春游，如果每辆车座 45 人，有 15 人没座位，如果每辆车座 60 人，那么空出一辆车，其余车刚好座满，问有几辆车，有多少同学？ 4 某车间一共有 59 个工人，已知每个工人平均每天可以加工甲种零件 15个，或乙种零件 12个，或丙种零件 8个，问如25 / 56 何安排每天的生产，才能使每天的产品配套？ 5 一张方桌由一张桌面和四根桌腿做成，已知一立方米木料可做桌面 50 个或桌腿 300 根，现在 5 立方米木料，恰好能做桌子多少张？ 6 某班有 50 名学生，在一次数学考试中，女生的及格率为80%，男生的及格率为 75%，全班的及格率为 78%，问这个班的男女生各有多少人？ 7 一份试卷共有 25 道题，每道题都给出了 4 个答案，其中只有一个正确答案，每道题选对得 4 分，不选或错选倒扣 1分，如果一个学生得 90分，那么他做对了多少道题。 8 有人问毕达哥拉斯，他的学校中有多少学生，他回答说：“ 一半学生学数学，四分之一学音乐，七分之一正休息，还剩 3 个女学生。 ” 问毕达哥拉斯的学校中多少个学生。 9 有一些分别标有 5,10,15,20,25?的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大 5，小明拿到了相邻的 3 张卡片，且这些卡片上的数之和为 240。 26 / 56 小明拿到了哪 3张卡片？ 你能拿到相邻的 3 张卡片，使得这些卡片上的数之和是 63吗？ 10个连续整数的和为 72，则这三个数分别是 11、 (准备小勇 6年后上大学的学费 5000元，他的父母现在就参加了教育储蓄，下面有两种储蓄方式。 (1)直接存一个 6年期，年利率是； (2)先存一个 3年期的， 3 年后将本利和自动转存一个 3 年期。 3 年期的年利率是。 你认为哪种储蓄方式开始存人的本金比较少 ? 分析：要解决 “ 哪种储蓄方式开始存入的本金较少 ” ，只要分别求出这两种储蓄方式开始存人多少元，然后再比较。 设开始存入 x 元。 如果按照第一种储蓄方式，那么列方程： x(1 十 6) 5000 解得 x4263( 元 ) 如果按照第二种蓄储方式， 可鼓励学生自己填上表，适当时对学生加以引导，对有困难的学生复习：本利和本金十利息 利息：本金 X利率 X 期数 等量关系是：第二个 3 午后本27 / 56 利和 5000 所以列方程 (1 十 3) 5000 解得 x4279 这就是说，大约 4280 元， 3 年期满 后将本利和再存一个 3年期， 6 年后本利和达到 5000 元。 因此第一种储蓄方式 12 答下列各问题： (1)据北京日报 2000 年 5 月 16日报道：北京市人均水资源占有 300立方米，仅是全国人均占有量的，世界人均占有量的 1，问全国人均水资源占有量是多少立方米 ?世界 3218 人均水资源占有量是多少立方米 ? (2)北京市一年漏掉的水相当于新建一个自来水厂，据不完全统计，全市至少有 6l05 个水龙头， 2l05 个抽水马桶漏水，如果一个关不紧的水龙头，一个月能漏掉 a 立方米水，一个漏水马桶，一个月漏掉 b 立方米水，那么一个月造成的水流失量至少有多少立方米 ?(用含 a、 b 的代数式表示 ) (3)水源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫，针对居民用水浪费现象，北京市将制定居民用水标准 ，规定三口之家楼房每月标准用水量，超标部分加价收费，假设不超标部分每立方米水费元，超标部分每立方米水费元，某住楼房的三口之28 / 56 家某月用水 12立方米，交水费 22元，请你通过列方程求出北京市规定三口之家楼房每月标准用水量是多少立方米 ? 13 伐木队按计划每天应采伐 48m3的木材，因每天采伐 54m3，故提前 3 天完成任务，且比原计划多伐 138m3，求原计划采伐多少木材？ 14 某市按以下规定收取每月水费：若每月每户用水不超过20 立方米，则每立方米水价按元收费；若超过 20 立方米，则超过部分每立方米按 2 元收费。如果某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米元，那么他这个月共用了_立方米的水。 15国家规定个人发表文章，出版图书获得稿费的纳税计 算办法是：稿费不高于 800元的不纳税；稿费高于 800 元又不高于 4000元的应缴纳超过 800元的那一部分稿费的 14%的税；稿费高 于 4000元的应缴纳全部稿费的 11%的税。今知丁老师获得一笔稿费，并缴纳个人所得税 420元，问丁老师的这笔稿费有_元。 29 / 56 16工人师傅制作了一个容积是 84cm3，高为 6cm的长方体盒子，已知盒子底面的长比宽多 5cm，那么盒子底面的宽是 _cm。 17、乙两队学生绿化校园 ，如果两队合作， 6 天可以完成；如果单独工作，乙队比甲队多用 5 天，两队单独工作各要多少天？ 18、某商品的进价为 200 元 ,标价为 300元 ,打折销售时的利润为 5%,此商品是按几折销售的 ? 19 理一批图书，由一个人做要 40 小时完成，现在计算由一部分人先做 4小时，再增加 2人和他们一起做 8小时，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体先安排多少人工作？ 20种货物，连续两次均以 10%的幅度降价后，售价为 486 元，则降价前的售价为 _元。 21 家商店里某种服装每件的成本价是 50 元，按标价的 8 折优惠卖出。 、如果每件仍获利 14 元，这种服装的标价是30 / 56 多少元？ 、如果利润率为 20%，这种服装的标价是多少元？商场将一件成本价为 100 元的夹克，按成本价提高 50%后，标价 150元，后按标价的 8 折出售给某顾客，请算一算，在这笔交易中商家有没有赚？ 22商店积压了 100 件某种商品，为使这批货物尽快脱手，该商店采取了如下销售方案，将价格提高到原来的倍，再作三次降价处理：第一次降价 30%，标出 “ 亏本价 ” ；第二次降价 30%，标出 “ 破产价 ” ；第三次降价 30%，标出 “ 跳楼价 ” 。三次降价处理销售结果如下表： 跳楼价占原价的百分比是多少？ 该商品按新销售方案销售，相比原价全部售完，哪一种方案赢利多？ 七年级数学上一元一次方程题型总结 第一节 你今年几岁了 31 / 56 一、 知识总结 知识点一： 1、含有 _的等式是方程，使方程的等式两边的相等的值教 方 程 的 解 ， 方 程 中 含 有 _ 个 未 知 数 ， 未 知 数 的_的方程称为一元一次方程 (注意：方程一定是等式，等式不一定是方程 ) 知识点二：等式的性质 1 等式两边都 _(或者减去 )_(或同一个式子 )所得 结果仍是 _. 等式的性质 2 等式两边都 _(或者除以 )_(或同一个式子 ),所得结果仍是 _. 二、 题型归纳 题型一：判定是不是方程 32 / 56 2 1下列各式中： 3+3=6 3?2x?1 9x?3=7 z?2z?1 m?0 9?3?2 6x?3?2 有 _条是方程，其中 _(填写编号 )是一元一次方程。 2、下列式子谁有资格进入住方程乐园？ 3x?7?29， x?x2?6， 3、判断是不是一元一次方程？ x? 11y?x?02 x2 ， 7， ?2y?4， ?4?2?2 2(x+100) 600 , (x+200)+ x+(x -448) 30064 y4x+(x+4)=8, x+5=8 , x-2=6 , 32x-y=120 33 / 56 2 题型二：判定是不是一元一次方程 1、如果单项式 - 1n?12 ab与 3a2n?1bm 是同类项，则 n=_,m=_ 2 XX 2 如果代数式 3x-5 与 1-2x的值互为相反数，那么 x=_ 3 若 方 程 3x-5=4x+1 与 3m-5=4(m+x)-2m 的 解 相 同 ，求 ?m?20?4关于 x 的方程 mx5关于 x 的方程 m?2 的值 ?m?3?0是一个一元一次方程 ，则 m?_ 34 / 56 1111 x?2?4x?m?的解是 ?，则 ?m?12002 ?_ 366 6关于 x的方程 3x?9与 x?4?k解相同，则代数 式 1?2k 的值为 _ k2 k2 ?0是 一元一次方程，则 k?_，方程的解为 7若关于 x的方程 ?k?2?x?kx?2 3 _ 1?xx?1 35 / 56 与 1?的值相等 232x?kx?3k ?1,的解是 x= -1,则 k的值是 9 若关于 x的一元一次方程 32 213 A B 1 C ? D 0 711 x?11?xkx?22?2x ?3?x 与方程 4?3k?11已知方程 2?的 解相同，则k 的值 3234 8当 x?_时，代数式为 0 2 1 36 / 56 ?1 11已知方程 2x?3? ?6 m ?x的解满足 x?1?0，则 m 的值是 3 ?6或 ?12 任何数 ?12 12已知当 a?1， b?2 时，代数式 ab?bc?ca?10，则 c 的值为 12 6 ?6 37 / 56 ?12 13解关于 x的方程 14已知 b?xx?a ?a?b?0? ab y ?m?my?m 2 当 m?4时，求 y的值； 当 y?4时，求 m的值 15 已知 x=- 2是方程 2x?3mx?2m?8 的解，求 m的值。 2 16 若方程 2x+a= 22511 38 / 56 ，与方程 x?=的解相同，求 a的值。 333 第二节、 解方程 一 知识总结 知识点一：解方程的步骤： 1、 如果有分母，先去 _, 2、 后去 _, 3、 再 _、 4、 _得到标准形式 ax=b(a0) ，最后两边同除以_的系数。 5、 易错知识辨析： 判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，系数不等于 0的方程，像不是一元一次方程 . 解方程的基本思想就是应用等式的基本 性质进行转化，要注意： 方程两边不能乘以含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解； 去分母时，不要漏乘没有分母的项； 解方程时一定要注意 “ 移项 ” 要变号 . 39 / 56 1 ?2， 2x?2?2?x?1?等 x 二 题型归纳 题型一：应用解方程的步骤细心解方程 351、 4x-3 (20-x )=6x-7 ( 9-x ) 2、 1-x?3x? 22 3 解方程： 2x? 5解方程 7 解方程： 4 3 x?12x?11?3?2 40 / 56 =2?x?x 4 解方 程 ： 1?23 2?4?3 ?x ?1 ?3，则 x?_ 6 解方程： 5?3x3?5x2x?15x?1 ?1， 8 、 2368 二、解下列方程： 1 234 8 20 7 1； 2 3 x 2x 3 5 32x x 8 2； 1?1?1?1? x?1?6?4? 1； ? 2?3?4?5? x? 41 / 56 ?3x5x? ?0； x? x?4 x? 54 4y?3(20?y)?6y?7(11?y) m 为何值时，代数式 2m? 2x?110x?12x?1 ?1 364 42 / 56 5m?17?m的值与代数式的值的和等于 5？ 32 第三节 4、日历中的方程 一 知识总结 一、 知识点一：在日历中，注意一个日历数的 上下横竖的数量关系，同一 竖列相邻两数之差为 7，横列相邻两数相差 1。 二 题型归纳 题型一：日历中存在的数量关系 1.在日历上横着每两个数的差为 _，竖着的差为_. ,8 ,7 43 / 56 ,8 ,7 4.设最小的数为 x,则日历中它所在的正方形中最大数表示为 +7 1.在一本日历上，用一个长方形竖着圈住 6个数，且它们的和为 129，则这六个数分别为多少？ 1、做一做 +1 +2 +8 44 / 56 、方程的有关概念 1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程 . 2. 一元一次方程：只含有一个未知数 (元 )x，未知数 x 的指数都是 1(次 )，这样的方程叫做一 元一次方程 . 例如： 1700+50x=1800， 2=5等都是一元一次方程 . 3方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解 . 注： 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值 (或 几个数值 )，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程 . 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程45 / 56 的左、右两边计算它们的值，其 次比较两边的值是否相等从而得出结论 . 、等式的性质 等式的性质 (1)：等式两边都加上 (或减去 )同个数 (或式子 )，结果仍相等 . 等式的性质 (1)用式子形式表示为：如果 a=b，那么 ac=bc 等式的性质 (2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0的数，结果仍相等， ab 等式的性质 (2)用式子形式表示为：如果 a=b，那么 ac=bc;如果 a=b(c0) ，那么 cc 、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项 、去括号法则 1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内46 / 56 相应各项的符号相同 2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变 、解方程的一般步骤 1. 去分母 (方程两边同乘各分母的最小公倍数 ) 2. 去括号 (按 去括号法则和分配律 ) 3. 移项 (把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号 ) 4. 合并 (把方程化成 ax = b (a0) 形式 ) b5. 系数 化为 1(在方程两边都除以未知数的系数 a，得到方程的解 x=). a 一列一元一次方程解应用题的一般步骤 审题：弄清题意找出等量关系：找出能够表示本题含义的47 / 56 相等关系 设 出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子， ?然后利用已找出的 等量关系列出方程解方程：解所列的方程，求出未知数的值检验，写答案：检 验所求出的未知数的值是否是方程的解， ?是否符合实际，检验后写出答案 二、一元一次方程的实际应用 1. 和、差、倍、分问题： 增长量原有量 增长率 现在量原有量增长量 倍数关 系：通过关键词语 “ 是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长 率 ?” 来体现 . 48 / 56 多少关系：通过关键词语 “ 多、少、和、差、不足、剩余 ?”来体现 . 例 1：兄弟二人今年 分别为 15岁和 9 岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的 2倍？ 解：设 x 年后，兄的年龄是弟的年龄的 2 倍， 则 x 年后兄的年龄是 15+x，弟的年龄是 9+x 由题意，得 2=15+x 18+2x=15+x，移向得： 2x-x=15-18 x= -3 答： 3年前兄的年龄是弟的年龄的 2 倍 1.一个数的 3倍比它的 2 倍多 10，若设这个数为 x，可得到方程 _. 49 / 56 2. 用一根长 80厘米的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多 10厘米，则这个长方 形的长和宽各是 _、 _.面积是 _. 2. 等积变形问题： “ 等积变形 ” 是以形状改变而体积不变为前提 .常用等量关系为： 形状面积变了，周长没变； 原料体积成品体积 . 解 ： 设 圆 柱 形 水 桶 的 高 为 x 毫 米 ， 依 题 意 ，得 ? x=30030080 2 1. 一根内径为 3 的圆柱形长试管中装满了水，现把试管中的水逐渐滴入一个内径为 8、高为的圆柱形玻璃杯中，当玻璃杯装满水时，试管中的水的高度下降了 . 50 / 56 3. 工程问题： 工程问题：工作量工作效率 工作时间 完成某项任务的各工作量的和总工作量 1 例 3. 一件工程，甲独做需 15天完成，乙独做需 12天完成，现先由甲、乙合作 3 天后， 甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？ 11x解：设乙还需 x 天完成全部工程，设工作总量为单位 1，由题意得， (+)3+=1 151212 1. 甲、乙工程队从相距 100m 的马路两端开始挖沟，甲工程队每天挖沟的进度是乙工程队 的 2 倍少 1m，若 5 天完工，两队每天各挖几米？ 4.行程问题： 51 / 56 路程速度 时间 时间路程 速度 速度路程 时间 相遇问题： 快行距慢行距原距 追及问题： 快行距慢行距原距 航行问题：顺水速度静水速度水流速度 逆水速度静水速度水流速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速不变的特点考虑相等关系 例 4. 甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90公里，一列快车从乙站开出，每小时行 140公里。 慢车先开出 1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ 两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里？ 两车同时