集合的概念及表示方法.ppt

,集合的含义与表示,（第一课时）,2010.9,集合的含义与表示,了解康托尔,德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。,学习目标,1.了解集合的含义以及集合中元素的确定性、互异性与无序性.2.掌握元素与集合之间的属于关系并能用用符号表示.3.掌握常用数集及其专用符号，学会使用集合语言叙述数学问题.,数集自然数的集合,有理数的集合,不等式x-73的解的集合,初中学习了哪些集合的实例,点集圆(到一个定点的距离等于定长的点的集合)线段的垂直平分线(到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合),等等.,“请我们班所有的女生起立！”，咱们班所有的女生是不是确定的对象？,“请我们班身高在1.70米的男生起立！”，他们是不是确定的？,其实，生活中有很多东西都是确定的都能构成集合。比如：中国的直辖市（北京，上海，天津，重庆）中国古代的四大发明（火药，印刷术，指南针，造纸术）新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等大家能不能再举一些生活中的实际例子呢？,由某些确定的对象组成的整体叫集合，简称集。其中，集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元。并规定：用花括号“”表示集合且常用大写拉丁字母A,B,C.表示。集合的元素常用小写拉丁字母a，b，c.表示。,集合的概念,集合元素具有以下三个特征,确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了,互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同。,无序性：集合中的元素是无先后顺序的，即集合里的任何两个元素可以交换位置,这些性质都是从概念中得到的,概念是知识的生长点,思维的发源地.,判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:大于3小于11的偶数我国的小河流(3)我们班上的高个子男生(4)我们班上的最高三位同学(5)1,2,2,3这四个数字与1,2,3这三个数字(6)著名的科学家(7)全体英文字母(8)直角坐标平面内的一些点,数的扩充,整数分数,有理数无理数,实数,自然数分数,常用的数集,判断0与N,N*,Z的关系?,解析:判断一个元素是否在某个集合中,关键在于弄清这个集合由哪些元素组成的.,空集：不含任何元素的集合,问题,如果用A表示高一（3）班学生组成的集合，a表示高一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同学,那么A里面有没有a,有没有b？a、b与集合A分别有什么关系？由此看出元素与集合之间有什么关系？,由于集合是一些确定对象的集体,因此可以看成整体,通常用大写字母A,B,C等表示集合.而用小写字母a,b,c等表示集合中的元素.,元素与集合的关系有两种:,如果一个元素a在集合A中，记作:,如果a不是集合A的元素，记作：,元素与集合的关系,属于,或不属于,读作“元素m属于集合A”,例如：用A表示“120以内所有的”质数组成的集合，则有3A，4A。,质数：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，不能被其他正整数整除，那么这样的正整数叫做质数,问题(1)如何表示“地球上的四大洋”组成的集合?(2)如何表示“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集合?,1,-2,把集合中的元素一一列举出来,并用花括号括起来表示集合的方法叫做列举法.,集合的表示方法,太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋,注意：1、元素间要用逗号隔开；2、不管次序放在大括号内。,例如：book中的字母的集合表示为：,，o，,(),1.确定性2.互异性3.无序性,集合的表示方法,例1用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程的所有实数根组成的集合；(3)由120以内的所有质数组成的集合.,解：(1)A=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.(2)B=0，1.(3)C=2，3，5，7，11，13，17，19.,一个集合中的元素的书写一般不考虑顺序(集合中元素的无序性).,1.确定性2.互异性3.无序性,(1)您能用自然语言描述集合2,4,6,8吗?(2)您能用列举法表示不等式x-73的解集吗?,小于10的正偶数的集合,不能一一列举,(请阅读课本的内容),集合的表示方法,即：x|p(x),p(x)表示该集合中的元素x所具有的性质,X为该集合的代表元素,例如：book中的字母的集合表示为：x|x是book中的字母,集合的表示方法,(2)用描述法表示下列集合1,-1大于3的全体偶数构成的集合.,练习(1)用列举法表示下列集合,自然语言主要用文字语言表述,而列举法和描述法是用符号语言表述.列举法主要针对集合中元素个数较少的情况,而描述法主要适用于集合中的元素个数无限或不宜一一列举的情况.,集合的表示方法,根据集合中元素个数的多少，我们将集合分为以下两大类：,1.有限集：,含有有限个元素的集合称为有限集特别，不含任何元素的集合称为空集,记为,2.无限集：,若一个集合不是有限集，则该集合称为无限集,六、数集的分类,注意：不能表示为。,例3、求方程x2+1=0的所有实数解的集合。,解：方程x2+1=0没有实数解，所以x|x2+1=0，xR=。,思考：直线y=x上的点集如何表示？,解：A=(x,y)|y=x,练习：P.7.第3题。,基础练习,1.填空题,设集合-2,-1,0,1,2，时代数式的值则中的元素是,现有:不大于的正有理数.我校高一年级所有高个子的同学.全部长方形.全体无实根的一元二次方程四个条件中所指对象不能组成集合的,3,0,-1,2选择题,以下说法正确的()(A)“实数集”可记为R或实数集或所有实数(B)a,b,c,d与c,d,b,a是两个不同的集合(C)“我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元素不确定,已知2是集合M=中的元素，则实数为()(A)2(B)0或3(C)3(D)0,2,3均可,C,c,（3）下列四个集合中，不同于另外三个的是：yy=2B.xx=2C.2D.xx2-4x+4=0,(4)由实数x,-x,x,所组成的集合中，最多含有的元素的个数为:A.2B.3C.4D.5,（C）,（A）,（1）方程组的解集用列举法表示为_；用描述法表示为.（2）集合用列举法表示为.,3.填空,1.用描述法表示下列集合,1，4，7，10，13,1/3,1/2,3/5,2/3,5/7.,能力提高题,2.用列举法表示下列集合：（1）A=xNZ(2)B=NxZ,4.若-3a-3,2a+1,a2+1,求实数a的值.,3.求集合3，x,x2-2x中，元素x应满足的条件。,回顾交流,今天我们学习了哪些内容？,第12页习题1.1A组第1、2、3、4题,课堂作业,大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列（即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数似乎不能。他在1874年的论文关于一切实代数数的一个性质中证明了他的估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则。,格奥尔格康托尔康托尔（GeorgCantor，1845-1918，德）德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。,1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。,康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在18791884年发表的题为关于无穷线性点集论文6篇，其中5篇的内容大部分为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证明。在1891年发表的集合论的一个根本问题里，他证明了一集合的幂集的基数较原集合的基数大，由此可知，没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出，其后在1883年论文里说即将有一严格证明，但他始终未能给出。,在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起,康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。,19世纪70年代许多数学家只承认，有穷事物的发展过程是无穷尽的，无穷只是潜在的，是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体，例如集合论里的各种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷，从而遭到了一些数学家和哲学家的批评与攻击，特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面，康托尔创建集合论的工作开始时就得到戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展，已成为数学的基础理论。他的著作有：G.康托尔全集1卷及康托尔-戴德金通信集等。康托尔是德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷。康托尔1