概率论与数理统计JA.ppt

第四章随机变量的数字特征,1数学期望2方差3几种重要随机变量的数学期望和方差4协方差及相关系数5矩,(1)去掉最高、低分的启示,算术平均数是最常用的技巧，平均数作为衡量标准科学合理吗？,班级有30个学生，其中两个学生数学考试只得2分和10分。此外，有5个学生得90分，22个得80分，1个得78分。此时该班数学成绩的平均分是：,确实，该结果不能反映多数人的真实状况(80分左右合理）。去掉一个最低分，总平均约是79.2分，去掉两个最低分，总平均则是81.7分。这似乎比较符合实际了。,第四章随机变量的数字特征,演员竞赛：演员表演完后，先由10个（或若干个）评委亮分，裁判长总要去掉最高分和最低分，再用其余的8个数据的平均值作为最后得分。,算术平均数有两个缺点：受异常值的影响；计算比较复杂（不能一眼看出）。,去掉最高分或最低分，有“弄虚作假”之嫌，不见得都合适。平均数就是中等水平-是不合适的。,上述30个学生的数学成绩中，总平均是76.67分。某同学得78分，超过平均数，似乎该是“中上”水平了，其实他是倒数第三名！,第四章随机变量的数字特征,例:在体操比赛中，规定有四个裁判给一个运动员打分。例如：9.30，9.35，9.45，9.90(按顺序排列)给分是当中两项的平均值：9.4。这样给分规定，避免了过高分数9.90的影响，同时9.40分处于四个裁判分的中间位数，不偏不倚，十分公正。,第四章随机变量的数字特征,怎样刻划“中等水平”呢？-中位数。,例：上面的30个学生的数学成绩依大小排列后，第15位和16位都是80分，所以中位数是80分。那么78分低于此数，当然是中下水平无疑了。,众数也是常常使用的代表数，即数据中重复出现次数最多的那个数据。,比如，美国某厂职工的月工资数统计如下：月工资数（美元）得此工资的人数100001（总经理）80002（副总经理）50002（助理）20005100012900188002370055002,第四章随机变量的数字特征,如何来选取该厂的月工资代表数呢？,经计算，平均值为1387美元，中位数为900美元，众数为800美元。,工厂主为了显示本厂职工的收入高，用少数人的高工资来提高平均数，故采用1387美元。工会领导人则不同意，主张用众数800美元（职工中以拿每月800美元的人最多）。而税务官则希望取中位数，以便知道目前的所得税率会对该厂的多数职工有利还是不利，以便寻求对策。,第四章随机变量的数字特征,(2)“伟大的”期望值,例如，一个体户有一笔资金，如经营西瓜，风险大但利润高（成功的概率为0.7，获利2000元）；如经营工艺品，风险小但获利小（95会赚，但利润为1000元）。,究竟该如何决策？于是计算期望值。若经营西瓜，期望值E1=0.7*2000=1400元。而经营工艺品为E2=0.95*l000=950元。所以权衡下来，情愿“搏一记”，去经营西瓜，因它的期望值高。,第四章随机变量的数字特征,再举一个用期望值进行决策的例子。,某投资者有10万元，有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息。,买股票的收益取决于经济形势：形势好(获利40000元)、形势中等(获利10000元)、形势不好(损失20000元)。如果是存入银行(年利率为8)，即可得利息8000元。又设经济形势好、中、差的概率分别为30、50和20。,试问应选择哪一种方案？,第四章随机变量的数字特征,下面给出采用期望标准的解法。,第四章随机变量的数字特征,按最大收益原则，取期望收益高的方案，淘汰期望收益低的方案，所以应采用购买股票的方案。,买股票和存银行的期望值分别为,第四章随机变量的数字特征,设X表示获利,它是离散型随机变量,分布律为,则获利的期望值为,数学期望的定义,随机变量函数的数学期望,数学期望的性质,1数学期望,第四章随机变量的数字特征,一、数学期望定义,1）离散型,第四章随机变量的数字特征,1数学期望,设离散型随机变量X的分布律为：,若级数绝对收敛，则称随机变量X的数学期望存在，记作EX，,且,数学期望也称为均值。,2）连续型,第四章随机变量的数字特征,1数学期望,设连续型随机变量X的概率密度为，,若积分绝对收敛，则称积分的值为X的数学期望。,记为,第四章随机变量的数字特征,1数学期望,说明,第四章随机变量的数字特征,1数学期望,例2,例3,第四章随机变量的数字特征,1数学期望,此例说明了数学期望更完整地刻化了X的均值状态。,设离散型随机变量X的分布律为：,设离散型随机变量X的分布律为：,第四章随机变量的数字特征,1数学期望,例4,甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出:,试问哪一个人的射击水平较高？,第四章随机变量的数字特征,1数学期望,甲、乙击中的的平均环数为,因此，从平均环数上看，甲的射击水平要比乙的好,例5,第四章随机变量的数字特征,按规定，火车站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立，其规律为：,(1)旅客8:00到站，求他侯车时间的数学期望。,(2)旅客8:20到站，求他侯车时间的数学期望。,1数学期望,第四章随机变量的数字特征,1数学期望,解：,X103050,1/63/62/6,(1)旅客8：00到达,（2）旅客8：20到达,X的分布率为,X的分布率为,X1030507090,3/62/6(1/6)(1/6)(3/6)(1/6)(2/6)(1/6),设旅客的候车时间为X（以分记）,二、随机变量函数的数学期望,定理1：,第四章随机变量的数字特征,1数学期望,设Y=g(X),g(x)是连续函数，,(2)若X的概率密度为f(x)，,（1）若X的分布率为,定理2：,第四章随机变量的数字特征,若(X,Y)是二维随机变量，,(1)若(X,Y)的分布律为,(2)若(X,Y)的概率密度为f(x,y)，且,g(x,y)是二元连续函数，,1数学期望,第四章随机变量的数字特征,解：,例6,设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴,y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。求EX，E(-3X+2Y)，EXY。,1数学期望,第四章随机变量的数字特征,例7国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X（吨），XU2000,4000，每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但销售不出而囤积在仓库，则每吨需浪费保养费1万元。问需要组织多少货源，才能使国家平均收益最大。,设y为预备出口的该商品的数量，则,用Z表示国家的收益（万元）,解：,1数学期望,第四章随机变量的数字特征,下面求EZ，并求y使EZ达到最大值，,即，组织3500吨此种商品是最佳的决策。,例8(续）,1数学期望,三、数学期望的性质,第四章随机变量的数字特征,1数学期望,例8,第四章随机变量的数字特征,对N个人进行验血，有两种方案：,（2）将采集的每个人的血分成两份，然后取其中的一份，按k个人一组混合后进行化验（设N是k的倍数），若呈阴性反应，则认为k个人的血都是阴性反应，这时k个人的血只要化验一次；如果混合血液呈阳性反应，则需对k个人的另一份血液逐一进行化验，这时k个人的血要化验k+1次;,（1）对每人的血液逐个化验，共需N次化验；,假设所有人的血液呈阳性反应的概率都是p，且各次化验结果是相互独立的。,试说明适当选取k可使第二个方案减少化验次数。,第四章随机变量的数字特征,1数学期望,解：设X表示第二个方案下的总化验次数，,表示第i个组的化验次数，则,例8（续）,第四章随机变量的数字特征,1数学期望,只要选k使,即,就可使第二个方案减少化验次数；,当q已知时，,第四章随机变量的数字特征,例如：当p=0.1，q=0.9时，可证明k=4可使最小；这时，,工作量将减少40%.,1数学期望,就可使化验次数最少。,第四章随机变量的数字特征,例9一民航送客载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数。求EX（设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）。,解：,1数学期望,第四章随机变量的数字特征,例10对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第n件仍未发现废品则认为这批产品合格。假设产品数量很大，抽查到废品的概率是p，试求平均需抽查的件数。,解：,设X为停止检查时，抽样的件数，,则X的可能取值为1,2,n，且,1数学期望,第四章随机变量的数字特征,1数学期望,第四章随机变量的数字特征,例11用某台机器生产某种产品，已知正品率随着该机器所用次数的增加而指数下降，即,假设每次生产100件产品，试求这台机器前10次生产中平均生产的正品总数。,解：,设X是前10次生产的产品中的正品数，并设,第四章随机变量的数字特征,1数学期望,所以,第四章随机变量的数字