数字电子技术第一章2包晓敏王开全主编.ppt

逻辑代数的基本公式和常用公式,公理,00=0,01=10=0,11=1,0+0=0,0+1=1+0=1,1+1=1,0-1律,自等律,A0=0A+1=1,A1=AA+0=A,逻辑代数的基本公式和常用公式,交换律,结合律,分配律,AB=BA,A+B=B+A,(AB)C=A(BC),(A+B)+C=A+(B+C),A(B+C)=AB+AC,A+BC=(A+B)(A+C),互补律,还原律,重叠律,AA=AA+A=A,逻辑代数的基本公式和常用公式,反演律,吸收律,A+AB=AA(A+B)=A,常用公式证明,例：用真值表证明反演律(摩根定律),1,1,1,1,“两项相加，一项含着另一项的非，则非因子多余.”,例：利用基本定律证明常用公式,解：,常用公式证明,“与或表达式中，两个乘积项分别包含同一因子的原变量和反变量，而两项的剩余因子包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的”,公式可推广：,例：证明包含律,常用公式证明,1.7.4逻辑代数的基本规则,任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立,得,由此反演律能推广到n个变量：,利用反演律,反演规则,对于任意一个逻辑函数式F，做如下处理：,若把式中的运算符“.”换成“+”,“+”换成“.”;,常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；,原变量换成反变量，反变量换成原变量,逻辑代数的三个基本规则,非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换。,不属于单个变量上的非号的两种处理方法：,保持原函数的运算次序-先与后或，必要时适当地加入括号；,应用反演规则时注意：,其反函数为,反演规则的应用,将大非号下面的函数式当作一个变量，去掉大非号即可。,1）若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成“.”；,2）常量“0”换成“1”，“1”换成“0”,得到新函数式为原函数式F的对偶式F。,对偶规则：,如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即若F1=F2则F1=F2。使公式的数目增加一倍。,例：,其对偶式,逻辑代数的三个基本规则,函数式中有“”和“”运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符“”换成“”，“”换成“”。,求对偶式时运算顺序不变，且它只变换运算符和常量，其变量是不变的。,应用对偶规则时注意：,一、逻辑函数的定义和特点,定义：输入逻辑变量和输出逻辑变量之间的逻辑关系。-若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。输入/输出之间是一种函数关系,特点：输入变量和输出变量只有逻辑0、逻辑1两种取值。,1.8逻辑函数及其表示方法及标准形式,F=f（A、B、C、.）,逻辑函数的表示方法,逻辑式真值表逻辑图波形图卡诺图各种表示方法之间可以相互转换,逻辑函数表示方法之一逻辑函数式,逻辑函数式就是以表达式的形式反映逻辑运算的功能,如:,F,0,0,0,1,逻辑函数表示方法之二真值表,A、B、C：断“0”，合“1”,F：灯灭“0”，灯亮“1”,逻辑函数的真值表是唯一的。,逻辑函数表示方法之三逻辑图,逻辑函数表示方法之四波形图,真值表逻辑函数式,挑出函数值为1的输入组合，每组输入变量取值对应一个乘积项,写出函数值为1的输入组合对应的乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量,这些乘积项作逻辑加,逻辑函数表示方法的互相转换,其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量。将这些变量相加即得Y。,逻辑式逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。,逻辑式逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。2.从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。,逻辑函数的标准形式逻辑函数的两种标准形式最小项之和最大项之积,3个变量的逻辑函数有以下8个最小项：,最小项：设有n个逻辑变量，由它们组成具有n个变量的与项中，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且仅出现一次，则称这个与项为最小项。,最小项的定义,最小项,最小项表示方法：最小项记作mi,其中i=0(2n-1)。,i取值：最小项取值为1时，各输入变量的取值看成二进制数，其对应的十进制数i作为最小项的编号。,对于n个变量来说，可有2n个最小项；,ABC取值为101，,001,ABC,000,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,1,最小项的性质：,2.任意两个最小项的乘积恒为0，即mimj=0(ij)；3.所有最小项之和恒为1。4.两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。-相邻：仅一个变量不同的最小项,1.每一最小项与一组变量取值相对应，只有这一组取值使该最小项的值为1；,逻辑函数的标准与-或表达式最小项之和的形式,解：,=m0+m1+m5+m8,=m（0，1，5，8）,=m3+m2+m1,=m（1，2，3）,逻辑函数的标准形式,函数的最大项的定义,如果一个或项包含了全部n个变量，且每个变量都以原变量或反变量的形式出现且仅出现一次，则称该或项为最大项。,最大项表示方法：最小项记作Mi,其中i=0(2n-1)。,i取值：将最大项取值为0时，各输入变量的取值看成二进制数，其对应的十进制数i作为最小项的编号。,对于n个变量来说，可有2n个最大项；,任意两个最大项之和为1；即：,真值表：以三变量为例,性质：,只有一种变量取值使Mi=0；,全体最小项之积为0：,编号相同的最小项和最大项是互反的，即,逻辑函数的标准与或式,从真值表找出F为1的对应最小项,解:,然后将这些项逻辑加,=m3+m5+m6+m7,=m（3，5，6，7）,逻辑函数的标准或与式,依次找出所有函数值等于0的输入组合；,把变量值为1的写成反变量，变量值为0的写成原变量，相和即得到最大项；,把这些最大项作逻辑乘，就得到标准或-与表达式。,思考：最小项表达式和最大项表达式有什么关系。,1.5逻辑函数的化简,逻辑函数公式法化简,逻辑函数图形法化简,例：已知逻辑图，求函数表达式,乘积项中的变量最少,逻辑函数化简的意义,乘积项最少,逻辑函数化简的意义,每个门的输入端个数少,逻辑电路所用门的数量少,降低成本，提高可靠性,逻辑函数的变换,从工程的角度，成本最低,五种常用表达式,“与或”式,“或与”式,“与非与非”式,“或非或非”式,“与或非”式,逻辑函数的变换将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑式。,表达式形式转换,“与或”式“与非-与非”式,“与或”式“或与”式,逻辑函数的变换,与或表达式的简化,公式法化简函数,消项：利用A+AB=A消去多余的项AB,代数法化简函数,例：试化简函数,解：,利用公式,利用公式,利用公式,利用公式,卡诺图化简函数,24变量卡诺图（K图）,AB,00,01,10,11,m0,m1,m2,m3,A,B,AB,A,B,1,0,1,0,m0,m1,m2,m3,mi,A,BC,0,1,00,01,11,10,00,01,11,10,00,01,11,10,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m12,m13,m14,m15,m8,m9,m10,m11,AB,CD,1.结构：,正方形或矩形,格雷码坐标,每个小方格代表1个mi或Mi。,图形法化简函数,逻辑相邻:两个最小项如果只有一个因子不同,则称这两个最小项逻辑相邻；,几何相邻：直接相邻、上下相邻、左右相邻、四角相邻。,卡诺图特点:几何上相邻的最小项在逻辑上也是相邻的。,图形法化简函数,因为卡诺图中几何上相邻的最小项在逻辑上也是相邻的。因此可以利用公式和消去一个变量，达到化简的目的。,图形法化简函数,用卡诺图化简逻辑函数,画逻辑函数的卡诺图,画包围圈，其原则为：要将所有的1方格都画入包围圈；包围圈个数越少越好；包围圈越大越好；同一个一方格可以多次参加画圈，但每个圈中都要有新的一方格；先画大圈，后画小圈，单独的一方格也不要漏掉；包围圈内的方格个数只能是1、2、4、8。,每个圈写出一个乘积项。按取同去异原则。,最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式,根据函数画卡诺图的方法,1.已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格填1，其余格均填0。,2.若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为1的那些最小项对应的方格填1，其余格均填0。,3.函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式，再用直接法填写。,图形法化简函数,例1：图中给出输入变量A、B、C的真值表，填写函数的卡诺图并化简。,1,1,1,得：,图形法化简函数,例2：将F(A，B，C，D)=m（0，1，4，6，7，9，10，11，12，13，14，15）化为最简与非与非式,解：,AC,AD,BC,化简得：,最简与非与非式为：,图形法化简函数,解：,图形法化简函数,利用卡诺图化简逻辑函数F（A，B，C，D）=m(1,5,6,7,11,12,13,15),ACD,多余包围圈,圈法次序：,先圈大圈？,检查：发现大圈为冗余。,先弱后强。弱者：只有一种圈法。,原则：,红“1”为强，黑“1”为弱,2.都强：先画一圈，然后先弱后强。,m1的两种圈法,解：,图形法化简函数,A,1,例2用卡诺图法化简逻辑函数,输入变量的某些取值组合在正常情况下不可能出现，这些组合对应的最小项称为约束项,具有无关项的逻辑函数化简,输入变量的某些取值组合，输出结果可以是任意的，这些组合对应的最小项称为任意项,约束项和任意项统称为无关项,具有无关项的逻辑函数化简,实例：交通灯控制系统（假设只有红、绿两种信号灯）,F=m（1）+d（0，3）,约束项的性质：约束项恒等于零。,例：已知函数：,求其最简与或式。,解：,填函数的卡诺图,化简,F(A,B,C,D)=m(0,2,3,4,6,8,10)+d(11,12,14,15),具