垂直关系的判定课时作业(含答案)

1 / 16 垂直关系的判定课时作业 (含答案 ) 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 课时提升作业 (九 ) 垂直关系的判定 一、选择题 (每小题 3 分，共 18 分 ) 1.(XX淮北高一检测 )三棱锥的四个面中直角三角形最多有 ( ) 个个个个 【解析】选 D.在正方体 ABcD-A1B1c1D1 中，选取顶点 D1， D，A， B 构成三棱锥 D1-DAB，易知其四个面全是直角三角形 . 2.下列说法中正确的个数是 ( ) 如果直线 l与平面 内的两条相交直线都垂直，则 l ； 如果直线 l 与平面 内的任意一条直线垂直，则 l ； 如果直线 l 不垂直于 ，则 内没有与 l 垂直的直线； 如果直线 l 不垂直于 ，则 内也可以有无数条直线与l 垂直 . 个个个个 【解析】选 D.由直线和平面垂直的定理知 对，由直线与平面垂直的定义知 正确，当 l 与 不垂直时， l 可能与 内的无数条直线垂直，故 不对， 正确 . 3.(XX辽宁高考 )已知 m， n 表示两条不同的直线， 2 / 16 表示平面，下列说法正确的是 ( ) A.若 m ， n ，则 mn B.若 m ， n ，则 mn c.若 m ， mn ， 则 n D.若 m ， mn ，则 n 【解析】选 B.如图，正方体 ABcD-A1B1c1D1 中， 直线 AA1， AB1分别与平面 cc1D1D平行，但是直线 AA1， AB1相交，故选项 A 错误； 根据线面垂直的定义，一条直线垂直一个平面，则该直线垂直于平面内的任一条直线，可见选项 B 正确； 直线 AA1 平面 ABcD， AA1Bc ，但直线 Bc 平面 ABcD，故选项 c 错误； 直线 AA1 平面 cc1D1D， AA1cD ，但直线 cD平面 cc1D1D，故选项 D 错误 . 4.(XX泰安高一检测 )三棱 锥 P-ABc中， ABc=90 ，PA=PB=Pc，则下列说法正确的是 ( ) A.平面 PAc 平面 ABcB.平面 PAB 平面 PBc 平面 平面 PAB 【解析】选 A.如图，因为 ABc=90 ， PA=PB=Pc，所以点 P在底面的射影落在 ABc 的斜边的中点 o 处，连接 oB， oP，则 PooB ，又 PA=Pc，所以 PoAc ，且 AcoB=o ， 3 / 16 所以 Po 平面 ABc，又 Po平面 PAc， 所以平面 PAc 平面 ABc. 5.在 ABc 中， AB=Ac=5， Bc=6， PA 平面 ABc， PA=8，则 P到 Bc的 距离是 ( ) 【解析】选 D.如图所示，作 PDBc 于 D，连接 AD， 因为 PA 平面 ABc， 所以 PABc ， PDPA=P ， 所以 cB 平面 PAD， 所以 ADBc. 因为 AB=Ac，所以 cD=BD=3. 在 RtAcD 中， Ac=5， cD=3，所以 AD=4， 在 RtPAD 中， PA=8， AD=4， 所以 PD=4. 6.(XX兰州高一检测 )长方体 ABcD-A1B1c1D1 中，AB=AD=2， cc1=，则二面角 c1-BD-c 的大小为 ( ) 【解析】选 A.因为 ABcD-A1B1c1D1 是长方体， 所以 cc1 平面 ABcD，所以 BDcc1. 因为 ABcD是矩形，且 AB=AD， 所以 ABcD是正方形， 所以 BDAc. 又 Accc1=c ， 4 / 16 所以 BD 平面 AA1c1c， 所以 coc1 是二面角 c1-BD-c 的平面角， Rtcc1o 中 c1co=90 ， cc1=， oc=Bc=2= ， 所以 tancoc1= ， 所以 coc1=30. 二、填空题 (每小题 4 分，共 12 分 ) 7.(XX杭州高二检测 )四棱锥 P-ABcD 的 底面 ABcD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PA=a， PB=PD=a，则 Pc=_. 【解析】连接 Ac，因为 PA=AB=a， PB=a， 所以 PA2+AB2=PB2， 所以 PAAB ，同理可证 PAAD ， 又 ABAD=A ，所以 PA 平面 ABcD， 所以 PAAc ，故 Pc=a. 答案： a 8.(XX西安高一检测 )平行四边形 ABcD 的对角线交于点 o，点 P 在 ABcD 所在平面外，且 PA=Pc， PD=PB，则Po与平面 ABcD的位置关系是 _. 【解析】因为 Ao=co， PA=Pc， 5 / 16 所以 PoAc ， 因为 Bo=Do， PD=PB，所以 PoBD. 又 AcBD=o ，所以 Po 平面 ABcD. 答案： Po 平面 ABcD 9.如图，正四棱锥 P-ABcD 中， Po 底面 ABcD， o 为正方形ABcD的中心， Po=1， AB=2，则二面角 P-AB-D的大小为 _. 【解题指南】先找二面角的平面角，然后放在直角三角形中求解 . 【解析】如图所示，取 AB中点 E，连接 PE， oE. 由 o 为正方形 ABcD 的中心知 ABEo. 由 PA=PB， E 为 AB中点，知 ABEP ， 所以 PEo 为二面角 P-AB-D 的平面角， 在 RtPEo 中， tanPEo=1. 所以 PEo=45. 答案： 45 三、解答题 (每小题 10分，共 20分 ) 10.如图，在锥体 P-ABcD中， ABcD 是菱形，且 DAB=60 ，PA=PD， E， F 分别是 Bc， Pc的中点 . 证明： AD 平面 DEF. 【证明】取 AD 的中点 G，连接 PG， BG， 6 / 16 因为 PA=PD，所以 ADPG. 设菱形 ABcD边长为 1，在 ABG 中， 因为 GAB=60 ， AG=， AB=1， 所以 AGB=90 ，即 ADGB. 又 PGGB=G ，所以 AD 平面 PGB， 所以 ADPB. 因为 E， F 分别是 Bc， Pc的中点， 所以 EFPB ， ADEF ， 又 DEGB ， ADGB ，所以 ADDE ， 又 DEEF=E ，所以 AD 平面 DEF. 11.(XX江苏高考 )如图，在直三棱柱 ABc-A1B1c1 中，A1B1=A1c1， D， E 分别是棱 Bc， cc1 上的点 (点 D 不同于点c)，且 ADDE ， F 为 B1c1的中点 . 求证： (1)平面 ADE 平面 Bcc1B1. (2)直线 A1F 平面 ADE. 【解题指南】 (1)关键在平面 ADE与平面 Bcc1B1中的一个平面上找一条直线与另一个平面垂直 . (2)关键在平面 ADE 内找一条直线与直线 A1F平行 . 【证明】 (1)D， E 分别是棱 Bc， cc1 上的点 (点 D 不同于点c)，且 ADDE ， 又因三棱柱 ABc-A1B1c1 为直三棱柱， 所以有 BB1 平面 ADc，即有 ADBB1. 7 / 16 又在平面 Bcc1B1 内 BB1与 DE必相交， 所以 AD 平面 Bcc1B1. 又 AD平面 ADE，所以平面 ADE 平面 Bcc1B1. (2)在直三棱柱 ABc-A1B1c1 中， A1B1=A1c1，所以有 AB=Ac. 又由 (1)知 AD 平面 Bcc1B1，所以 ADBc ， 所以 D 为边 Bc 上的中点， 连接 DF，得 AA1FD 为平行四边形，故 A1FAD ，又 AD 平面ADE， A1F平面 ADE，所以直线 A1F 平面 ADE. 【拓展延伸】利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧 证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直 .三角形全等，等腰三角形、梯形底边的中线、高，菱形、正方形的对角线，三角形中的勾股定 理等都是找线线垂直的方法 . 一、选择题 (每小题 4 分，共 16 分 ) 1.下列命题正确的是 ( ) 过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直； 如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平面平行； 过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂8 / 16 直； 如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内 . A.B.c.D. 【解析】选 D.过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，所以 不对；若 ， a ，则 a 或 a ，所以 不对；当平面外的直线是平面的垂线时，能作无数个平面与已知平面垂直，否则只能作一个，所以 也不对 . 2.(XX汉中高一检测 )设 ， ， 为两两不重合的平面， l， m， n 为两两不重合的直线，给出下列三个命题： 若 ， ，则 ； 若 ， l ，则 l ； 若 =l ， =m ， =n ， l ，则 mn. 其中真命题的个数为 ( ) 【解析】选 c. 中 与 可能相交， 正确 . 3.(XX吉安高二检测 )已知 PA 矩形 ABcD 所在的平面如图所示，图中互相垂直的平面有 ( ) 对 对 对 对 【解析】选 c.因为 DAAB ， DAPA ， ABPA=A ， 9 / 16 所以 DA 平面 PAB，同理 Bc 平面 PAB， AB 平面 PAD， Dc平面 PAD， 所以平面 ABcD 平面 PAD，平面 ABcD 平面 PAB，平面 PBc平面 PAB，平面 PDc 平 PAD，平面 PAB 平面 PAD. 4.如图，四边形 ABcD中， AB=AD=cD=1， BD=， BDcD ，将四边形 ABcD沿对角线 BD折成四面体 A -BcD，使平面 ABD平面 BcD，则下列 结论正确的是 ( ) cBD B.BAc=90 c.ADc 是正三角形 D.四面体 A -BcD的体积为 【解析】选 B.若 AcBD ，又已知 BDcD ， 则 BD 平面 AcD ， 即 BDAD ，与已知 BD 与 AD 不垂直矛盾，故 AcBD不正确 . 由 BDcD ，平面 ABD 平面 BcD，我们易得 cD 平面 ABD ， 所以 cDAB ，又由 AB=AD=1， BD=， 可得 ABAD ， 又 ADcD=D ， 则 AB 垂直于平面 AcD ，所以 BAc=90 ， 故 B 正 确 . 10 / 16 由 cD 平面 ABD 得 cDAD ， 即 ADc 是直角三角形，故 c 错误； 因为四面体 A -BcD的体积 V=cDSABD= ，所以 D 错误；故选 B. 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分 ) 5.(XX哈尔滨高一检测 )四棱锥 V-ABcD中，底面 ABcD是边长为 2 的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角 V-AB-c 的大小为 _. 【解析】取 AB， cD的中点 E， F，连接 VE， VF， EF， 因为底面 ABcD是边长为 2 的正方形， 侧面都是棱长为的等腰三角 形， 所以 VEAB ， EFAB ， 所以 VEF 即为二面角 V-AB-c 的平面角 . 又 EF=Bc=2， VE=2=VF， 故 VEF 为等边三角形，所以 VEF=60. 答案： 60 6.(XX马鞍山高一检测 )在空间四边形 ABcD 中，ABD ， cBD 都是边长为 1 的正三角形，且平面 ABD 平面cBD， E， F， G， H为空间四边形 AB， AD， cD， Bc边上的中点，则四边形 EFGH的面积是 _. 【解析】依题意，作图如下： 取 BD的中点为 o，连接 Ao， co， 11 / 16 因为 ABD ， cBD 都是边长为 1 的正三角形， 所以 AoBD ， coBD ， Aoco=o ， 所以 BD 平面 Aoc， Ac平面 Aoc， 所以 BDAc. 因为 E， F， G， H 为空间四边形 AB， AD， cD， Bc边上的中点， 所以 EFGHBD=， FGEHAc， 因为 BDAc ，故 EFFG ，即四边形 EFGH为矩形 . 在等腰直角三角形 Aoc中， Ac2=Ao2+co2=+=， 所以 Ac=，故 FG=， 所以四边形 EFGH的面积 S=EFFG=. 答案： 三、解答题 (每小题 12分，共 24分 ) 7.(XX宿州高一检测 )在三棱柱 ABc-A1B1c1 中，AA1Bc ， A1Ac=60 ， AA1=Ac=Bc=1， A1B=. (1)求证：平面 A1Bc 平面 Acc1A1. (2)如果 D 为 AB的中点，求证： Bc1 平面 A1Dc. 【证明】 (1)在 A1Ac 中， A1Ac=60 ， AA1=Ac=1， 所以 A1c=1，在 A1Bc 中， Bc=1， A1c=1， A1B=， 因为 Bc2+A1c2=A1B2，所以 BcA1c ， 又 AA1Bc ， AA1A1c=A1 ， 所以 Bc 平面 Acc1A1， 12 / 16 因为 Bc平面 A1Bc， 所以平面 A1Bc 平面 Acc1A1. (2)连接 Ac1，交 A1c于 o，连接 Do， 则由 D 为 AB中点， o 为 Ac1中点得， oDBc1 ， oD平面 A1Dc， Bc1平面 A1Dc， 所以 Bc1 平面 A1Dc. 【变式训练】如图，已知三棱锥 P-ABc， AcB=90 ，D 为 AB的中点，且 PDB 是正三角形， PAPc. 求证： (1)PA 平面 PBc. (2)平面 PAc 平面 ABc. 【解题指南】 (1)关键是根据 PDB 是正三角形， D 是 AB 的中点 证明 PAPB. (2)关键是证明 Bc 平面 PAc. 【证明】 (1)因为 PDB 是正三角形， 所以 BPD=60. 因为 D 是 AB的中点， 所以 AD=BD=PD.又 ADP=120 ， 所以 DPA=30 ， 所以 DPA+BPD=90 ，即 APB=90 ， 所以 PAPB. 又 PAPc ， PBPc=P ， 所以 PA 平面 PBc. 13 / 16 (2)因为 PA 平面 PBc， 所以 PABc. 因为 AcB=90 ， 所以 AcBc. 又 PAAc=A ， 所以 Bc 平面 PAc. 因为 Bc平面 ABc， 所以平面 PAc 平面 ABc. 8.(XX武汉高二检测 )如图，在四面体 ABoc 中，ocoA ， ocoB ， AoB= 120 ，且 oA=oB=oc=1， (1)设 P 为 Ac的中点，证明：在 AB上存在一点 Q，使 PQoA ，并计算的值 . (2)求二面角 o-Ac-B 的平面角的余弦值 . 【解析】 (1)在平面 oAB内作 oNoA 交 AB于 N，连接 Nc， 又 oAoc ， oNoc=o ， 所以 oA 平面 oNc. 因为 Nc平面 oNc， 所以 oANc ， 取 Q 为 AN的中点，连接 PQ. 则 PQNc ，所以 PQoA. 在等腰 AoB 中， 14 / 16 AoB=120 ，所以 oAB=oBA=30. 在 RtAoN 中， oAN=30 ，所以 oN=AN=AQ. 在 oNB 中， NoB=120 -90=30=NBo ， 所以 NB=oN=AQ，所以 =3. (2)连接 PN， Po.因为 ocoA ， ocoB ， oAoB=o ，所以 oc 平面 oAB. 又 oN平面 oAB，所以 ocoN ， 又由 oNoA ， oAoc=o ，所以 oN 平面 Aoc. 所以 oP