高等数学第二章极限与连续续.ppt

第二章,极限与连续,4极限的运算法则,为了简单起见，下面极限省略了极限过程，所述极限均指同一极限过程。,注：应用极限的四则运算法则的前提是极限limf(x)和limg(x)都存在。,例1求,解,例2求,解,例3求,解,例4求,分析不能直接运用极限运算定理.先约分再求极限.,解,“”,例5求,解,例6求,解,例7求,解,一般地,对有理函数,正整数,有,例8求,解,=1.,通分,练习：求极限,解原式=,=0.,（2）,（2）,5极限的存在准则和两个重要极限,注：对于自变量的其它变化,函数极限的情形也有类似的结论.,且,则,5.1极限存在准则,准则1（夹逼准则）设函数,存在,并有,由于数列是特殊函数,这个极限存在准则同时,也适用于数列,即有,准则1*（夹逼准则）设有数列,满足条件,且,由牛顿二项公式，得,由夹逼准则得,所以,准则2单调有界数列必有极限。,5.2两个重要的极限,1,该极限的结构形式：,例1求,解,例2求极限,解,3,例3求极限,例4求,于是,例5求,解,练习：求下列极限：,1cos2x=sin2x,=,sin(x)=sinx,(1),作为准则2的应用,我们可以得到另一个重要的极限:,结构形式：,2.,e是一个无理数，e=2.7182818284590,例6：求极限,解：原式=,1,解法二：原式=,=e-1,例7求,解,解原式=,1,=e2,例8求极限,1+1,=e2,练习：求下列极限：,解：(1)原式=,=,=e-1,(2),(2)原式=,=e3,(1),(3),(4),(3),(4),解,6函数的连续性,6.1函数的连续性概念,1）f(x)在点x0的邻域有定义；,x0称为函数f(x)的连续点.,例：x0=1是函数f(x)=12x2的连续点。,1.函数f(x)在一点x=x0连续的定义,(1)定义1若函数y=f(x)满足条件：,则称函数f(x)在点x=x0处连续,注：判断是否连续的方法是求极限.,3）f(x)在点x0的极限值等于在这一点的函数值.,解(1)f(x)的定义域为R,从而在0的邻域内有定义；(2)f(x)在0点的极限为,f(x)=,=2,即极限存在；,要连续则0点的函数值要等于极限值：即,f(0)=2,k=,当k=2时，f(x)在x=0处连续,(2)增量的概念,于是x=x0+x,y=f(x0+x)f(x0),例：对给定的函数f(x)=12x2,f(1+0.5)f(1),=12(1.5)21+2,=2.5,当x0=1,x=0.5时，有,又,从而得,2.左连续和右连续,3.函数在区间上连续的概念,注意函数的连续性是一点一点地定义的,即函数,的连续性是一个局部的概念.,的间断点.,1)间断点概念,4.间断点及其分类,通常把间断点分为以下两种类型：,2)间断点分类,注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数,的定义,则可使其变为连续点.,又,的第二类间断点。,若为间断点,指出其类型.,例4讨论函数,解因为,的间断点。又,小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,(见下图),可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,6.2连续函数的运算及其初等函数的连续性,1、连续函数的四则运算,则,2、复合函数的连续性,即连续函数的复合函数仍是连续函数.,3、反函数的连续性,定理3单调连续函数的反函数在相应区间内仍是单调连续函数.,连续函数。,单调递减函数有类似结果。,则其反函数,上是连续的,且为,由函数连续性的定义可以证明,指数函数,上单调递增的连续函数.,同样，由定理2得反三角函数,在它们的定义域内是连续的。,在,4、一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,即若是初等函数的定义区间内的点，则,5、利用连续性求函数的极限,例6计算,解由对数函数和三角函数的连续性知,6.3闭区间上连续函数的性质,一、最大值和最小值定理与有界性定理,使得,推论闭区间上的连续函数在该区间上一定有有界.,由定理4可得：,注意定理中的条件是充分的。,考察下列2个函数：,在闭区间上有间断点,没有最大值和最小值.,几何上表示：连续变化的变量从一个值变到另一个值的过程中，一定要经过一切中间值而决不会漏掉任何一个。,几何上表示：,推论2闭区间上的连续函数一定可以取得其最,大值与最小值之间的一切值。,证令,练习题,解原式,（1）,（2）,（3）求极限,解：原式=,（4）,a3b3=(ab)(a2+ab+b2),解原式=,1,=0,（5）,分别讨论x0及x1时f(x)的极限是否存在？,解：,两个重要极限,（6）,解原式=,cosx(1cos2x),1cosx,（7）,解,原式=,=,=,e,e,=e,（8）,解原式=,x(ln(x+1)