高中数学必修5自主学习导学案：2.6数列求通项公式的典型方法.doc

2.6 数列求通项公式的典型方法（学生版）数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前项和公式都可以看作项数的函数，是函数思想在数列中的应用 数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前项和可视为数列的通项求数列通项公式方法较多，归纳起来常用的方法主要有一下几种：归纳法、公式法、累加法、累乘法、构造法、取倒数法、取对数法、不动点法等等1归纳法【例1】已知数列试写出其一个通项公式：_练习1已知数列，试写出下列数列的一个通项公式：_练习2数列1，的一个通项公式是()Aan(1)n1 Ban(1)n1 Can(1)n1 Dan(1)n12公式法 利用an或利用等差、等比通项公式.【例2】已知下面各数列的前项和为的公式，求的通项公式(1)Sn2n23n； (2)Sn3n2.练习1已知下面各数列an的前n项和Sn的公式，求数列an的通项公式(1) Snn2n； (2) Snn2n1.【例3】已知数列an的前n项和Sn2an1，求an通项公式练习1设数列an的前n项和为Sn，已知a11，an1Sn(n1,2,3，)求证：数列是等比数列3累加法累加法主要解决形如形式的递推数列的求通项问题，该数列的具有典型的特点：可以求和其解题步骤是：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解【例4】已知数列满足，求【例5】已知数列满足，求练习1 已知数列满足，求数列的通项公式。练习2已知数列中，满足,求数列的通项公式练习3已知数列中，满足,求数列的通项公式4累乘法累加法主要解决形如形式的递推数列的求通项问题，该数列的具有典型的特点：可以求积其解题步骤是：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐差相加乘)求解【例6】已知数列满足，求练习1已知数列满足，求。练习2已知， ，求5构造等差、等比数列（构造法）构造法主要解决形如类型的问题，其基本策略是对进行变形，使其可以变为一个新的等比或等差数列，求出新的等差或等比数列的通项公式，进而求出的通项公式类型1：，基本策略：若数列满足，则可考虑待定系数法设，构造新的辅助数列是首项为公比为q 的等比数列，求出再进一步求通项【例7】已知数列中，求.练习1已知数列an满足a11，求的通项公式练习2已知数列an的前n项和满足，求的通项公式类型2： 【例8】已知数列满足，求数列的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式练习1数列满足，且，求数列的通项公式练习2已知数列满足，求数列的通项公式。6取倒数法【例9】已知数列an满足a12，an1，则数列是否为等差数列？说明理由练习1求数列的通项公式.练习2已知数列an满足a13，anan12an11(n2)(1)求a2，a3，a4；(2)求证：数列是等差数列，并写出an的一个通项公式2.6 数列求通项公式的典型方法（教师版）数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前项和公式都可以看作项数的函数，是函数思想在数列中的应用 数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前项和可视为数列的通项求数列通项公式方法较多，归纳起来常用的方法主要有一下几种：归纳法、公式法、累加法、累乘法、构造法、取倒数法、取对数法、不动点法等等1归纳法【例1】已知数列试写出其一个通项公式：_解：练习1已知数列，试写出下列数列的一个通项公式：_解： 练习2数列1，的一个通项公式是()Aan(1)n1 Ban(1)n1 Can(1)n1 Dan(1)n1解析：可用验证法取n1，只有D适合故选D.答案：D2公式法 利用an或利用等差、等比通项公式.【例2】已知下面各数列的前项和为的公式，求的通项公式(1)Sn2n23n； (2)Sn3n2.解：(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，a1也满足此式，an4n5. (2)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn13n2(3n12)23n1，a1不满足此等式，an练习1已知下面各数列an的前n项和Sn的公式，求数列an的通项公式(1) Snn2n；(2) Snn2n1.解析：(1)当n2时，anSnSn1(n2n)(n1)2(n1)2n.当n1时，a1S1121221，即a1能合并到an2n中去an2n(n1) (2)当n1时，a1S112，当n2时，anSnSn1n2n1(n1)2(n1)1n.当n1时不符合上式an【例3】已知数列an的前n项和Sn2an1，求an通项公式证明：Sn2an1，Sn12an11，an1Sn1Sn(2an11)(2an1)2an12an.an12an，又S12a11a1，a110.又由an12an知an0，2，an是等比数列，an12n12n1.练习1设数列an的前n项和为Sn，已知a11，an1Sn(n1,2,3，)求证：数列是等比数列证明：an1Sn1Sn，an1Sn，Sn1SnSn，n(Sn1Sn)(n2)Sn，nSn12(n1)Sn，2，又10，数列是以1为首项，2为公比的等比数列.3累加法累加法主要解决形如形式的递推数列的求通项问题，该数列的具有典型的特点：可以求和其解题步骤是：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解【例4】已知数列满足，求解：由已知易得：，所以，上面各式相加得：，故【例5】已知数列满足，求解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，练习1 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则，所以数列的通项公式为。练习2已知数列中，满足,求数列的通项公式解：由条件知：，分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，练习3已知数列中，满足,求数列的通项公式解：依题意，分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，4累乘法累加法主要解决形如形式的递推数列的求通项问题，该数列的具有典型的特点：可以求积其解题步骤是：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐差相加乘)求解【例6】已知数列满足，求解析：由得：，方法二：练习1已知数列满足，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即，又，练习2已知， ，求解：5构造等差、等比数列（构造法）构造法主要解决形如类型的问题，其基本策略是对进行变形，使其可以变为一个新的等比或等差数列，求出新的等差或等比数列的通项公式，进而求出的通项公式类型1：，基本策略：若数列满足，则可考虑待定系数法设，构造新的辅助数列是首项为公比为q 的等比数列，求出再进一步求通项【例7】已知数列中，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.练习1已知数列an满足a11，求的通项公式解析：，是以为首项，2为公比的等比数列 即练习2已知数列an的前n项和满足，求的通项公式解析：由，且，类型2： 【例8】已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式练习1数列满足，且，求数列的通项公式 练习2已知数列满足，求数列的通项公式。解：设 将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入式得由及式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。6取倒数法【例9】已知数列an满足a12，an1，则数列是否为等差数列？说明理由解：数列是等差数列理由如下：a12，an1.(常数) 是以为首项，公差为的