酉变换与正交变换.ppt

2019年11月24日4时19分,酉变换与正交变换(续),2019年11月24日4时19分,上节回顾：酉变换,数域F上内积空间V上的保长变换,数域F上内积空间V上的保内积变换,数域F上内积空间V上保长变换与保内积变换等价性,2019年11月24日4时19分,上节回顾：酉变换,数域F上内积空间保长同构,数域F上有限n维内积空间保长同构性质及判定方法,VFn,两有限维内积空间保长同构的充要条件维数相同。,2019年11月24日4时19分,上节回顾：酉变换,酉变换定义,复数域上内积空间V到V自身上的保长线性变换,酉变换判定定理,定理U是n维酉空间V上的线性变换,则下列等价U是一个酉变换;,U把标准正交基变为标准正交基;U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.,2019年11月24日4时19分,证明(续)5)1):,2019年11月24日4时19分,2019年11月24日4时19分,2019年11月24日4时19分,正交变换,正交变换定义,实数域上内积空间V到V自身上的保长线性变换,2019年11月24日4时19分,正交变换,性质1正交矩阵的行列式只可能为1或-1.,正交变换进行分类:如果正交变换A在某一组基下的矩阵的行列式为1,则称A为第一类正交变换;如果行列式为-1,则称A为第二类正交变换.,2019年11月24日4时19分,正交变换,性质2正交矩阵的特征值的绝对值等于1.,2019年11月24日4时19分,正交变换,性质3正交矩阵的对应于不同特征的特征向量正交.,2019年11月24日4时19分,作业,Page2949.4.2,9.4.3,2019年11月24日4时19分,第五节实对称矩阵相似对角化,一.实对称矩阵的特征值和特征向量,二.实对称矩阵正交相似于对角矩阵,2019年11月24日4时19分,特征值、特征向量,A=,(EA)=0,|EA|=0,特征方程(characteristicequation),特征多项式(characteristicpolynomial),EA,特征矩阵,特征值,特征向量,2019年11月24日4时19分,一.实对称矩阵的特征值和特征向量,证明,定理1.实对称矩阵的特征值均为实数.,2019年11月24日4时19分,一.实对称矩阵的特征值和特征向量,定理2.设1,2是实对称矩阵A的两个不同的特征值,p1,p2是对应与它们的特征向量,则p1与p2正交.,事实上,1p1T=(Ap1)T=p1TAT=p1TA,于是(12)p1Tp2=0,但是12,故p1Tp2=0.,从而1p1Tp2=p1TAp2=p1T(2p2)=2p1Tp2.,2019年11月24日4时19分,定理3.对于任意n阶实对称矩阵A,存在正交矩阵Q,使得Q1AQ=diag(1,2,n),其中1,2,n为A的全部特征值,Q=(q1,q2,qn)的列向量组是A的对应于1,2,n的标准正交特征向量.,求正交矩阵的一般步骤-三步,求A的特征值-求每个特征值的特征向量并化为标准正交向量组-写出正交阵Q与对角阵,二.实对称矩阵正交相似于对角矩阵,2019年11月24日4时19分,5实对称矩阵的相似对角化,例1.把A=,正交相似对角化.,解:|EA|=(2)(4)2.所以A的特征值为1=2,2=3=4.(2EA)x=0的基础解系1=(0,1,1)T.(4EA)x=0的基础解系2=(1,0,0)T,3=(0,1,1)T.由于1,2,3已经是正交的了,将它们单位化即可得,400031013,2019年11月24日4时19分,5实对称矩阵的相似对角化,注:对于2=3=4,若取(4EA)x=0的基础解系2=(1,1,1)T,3=(1,1,1)T,则需要将它们正交化.取1=2,再单位化,即得,=,111,Q=(q1,q2,q3),2019年11月24日4时19分,5实对称矩阵的相似对角化,例2.设3阶实对称矩阵A的特征多项式为,(1)2(10),且3=(1,2,2)T是对应于=10的特征向量.(1)证明:是对应于=1的特征向量与3正交;(2)求A.,证明(1):由定理3可知()成立.,()因为=1是A的二重特征值,所以A有两个线性无关的特征向量1,2对应于=1.,注意到1,2,3线性无关,而,1,2,3线性相关,可设=k11+k22+k33,故=k11+k22是对应于=1的特征向量.,由3,=3,1=3,2=0得k3=0,2019年11月24日4时19分,5实对称矩阵的相似对角化,解(2):由(1)可知对应于=1两个线性无关的,将正交向量组1,2,3单位化得正交矩阵,例2.设3阶实对称矩阵A的特征多项式为,(1)2(10),且3=(1,2,2)T是对应于=10的特征向量.(1)证明:是对应于=1的特征向量与3正交;(2)求A.,特征向量