文科数学高考压轴题.doc

1.（门头沟一模20.） （本小题满分14分）已知数列的前项和为，满足下列条件；点在函数的图象上；（I）求数列的通项及前项和；（II）求证：解：（I）由题意2分，当时整理得5分，又，所以或时，得，7分时，得，9分（II）证明：时，所以11分，时，13分，因为所以，综上14分2.（2011年高考20）（本小题共13分）若数列满足，则称为数列，记.（）写出一个E数列A5满足；（）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；（）在的E数列中，求使得=0成立得n的最小值.解：（）0，1，0，1，0是一具满足条件的E数列A5.（答案不唯一，0，1，0，1，0；0，1，0，1，2；0，1，0，1，2；0，1，0，1，2，0，1，0，1，0都是满足条件的E的数列A5）（）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以所以A5是首项为12，公差为1的等差数列所以a2000=12+（20001）1=2011充分性，由于a2000a10001，a2000a10001,a2a11所以a2000at19999，即a2000a1+1999又因为a1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999故是递增数列综上，结论得证.（）对首项为4的E数列Ak，由于所以，所以对任意的首项为4的E数列Am，若则必有.又的E数列所以n是最小值是9.3.（2012年高考，20）（本小题共13分）设是如下形式的2行3列的数表，满足性质，且。记为的第行各数之和，为第列各数之和；记为，中的最小值。（）对如下数表，求的值（）设数表形如其中。求的最大值；（）对所有满足性质的2行3列的数表，求的最大值4（海淀一模20. ）（本小题满分13分）已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称 为“一阶比增函数”.() 若是“一阶比增函数”，求实数的取值范围；() 若是“一阶比增函数”，求证：，；（）若是“一阶比增函数”，且有零点，求证：有解. 解：（I）由题在是增函数，由一次函数性质知当时，在上是增函数，所以 3分（）因为是“一阶比增函数”，即在上是增函数，又，有，所以， 5分所以，所以 所以8分（）设，其中.因为是“一阶比增函数”，所以当时，法一：取，满足，记由（）知，同理，所以一定存在，使得，所以 一定有解 13分法二：取，满足，记因为当时，所以对成立只要 ，则有，所以 一定有解 5.（朝阳二模20）（本小题满分13分）已知实数（且）满足 ，记.（）求及的值；（）当时，求的最小值；（）当为奇数时，求的最小值注：表示中任意两个数,（）的乘积之和.解：（）由已知得3分 （）时，固定，仅让变动，那么是的一次函数或常函数，因此同理以此类推，我们可以看出，的最小值必定可以被某一组取值的所达到，于是当（）时，因为，所以，且当，时，因此7分（）.固定，仅让变动，那么是的一次函数或常函数，因此同理以此类推，我们可以看出，的最小值必定可以被某一组取值的所达到，于是当（）时，当为奇数时，因为，所以，另一方面，若取，那么，因此13分6.（朝阳一模，20）（本小题满分13分）由按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为，设，其中.（）若，求的值；（）求证：；（）求的最大值. (注：对任意，都成立.)解：（）.3分（）证明：由及其推广可得， =. 7分（）的倍与倍共个数如下：其中最大数之和与最小数之和的差为，所以，对于，所以的最大值为. 13分注：使得取得最大值的有序数组中，只要保证数字1，2，3，4互不相邻，数字7，8，9，10也互不相邻，而数字5和6既不在7，8，9，10之一的后面，又不在1，2，3，4之一的前面都符合要求.7.（大兴一模20）（13分）（2013大兴区一模）已知数列an的各项均为正整数，且a1a2an，设集合Ak=x|x=iai，i=1或i=0，或i=1（1kn）性质1：若对于xAk，存在唯一一组i，（i=1，2，k）使x=iai成立，则称数列an为完备数列，当k取最大值时称数列an为k阶完备数列性质2：若记mk=ai（1kn），且对于任意|x|mk，kZ，都有xAK成立，则称数列Pan为完整数列，当k取最大值时称数列an为k阶完整数列性质3：若数列an同时具有性质1及性质2，则称此数列an为完美数列，当K取最大值时an称为K阶完美数列；（）若数列an的通项公式为an=2n1，求集合A2，并指出an分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；（）若数列an的通项公式为an=10n1，求证：数列an为n阶完备数列，并求出集合An中所有元素的和Sn（）若数列an为n阶完美数列，试写出集合An，并求数列an通项公式解：（）；为2阶完备数列，阶完整数列，2阶完美数列； （）若对于，假设存在2组及（）使成立，则有，即，其中，必有，所以仅存在唯一一组（）使成立，即数列为阶完备数列； ，对，则，因为，则，所以，即 （）若存在阶完美数列，则由性质1易知中必有个元素，由（）知中元素成对出现（互为相反数），且，又具有性质2，则中个元素必为，。 下面用数学归纳法证明显然时命题成立，假设当（时命题成立，即，当时，只需证由于对称性只写出了元素正的部分，其中既中正的部分的个元素统一为，其中则中从，到这个元素可以用唯一表示其中，中从（+1）到最大值这个元素可用唯一表示其中中正的部分个元素都存在唯一一组（）使成立，所以当时命题成立。即为阶完美数列， 8.（东城二模，20，本小题共13分）已知数列，（） 求，； 是否存在正整数，使得对任意的，有解：（）； （）假设存在正整数，使得对任意的，有 则存在无数个正整数，使得对任意的，有 设为其中最小的正整数若为奇数，设（），则与已知矛盾若为偶数，设（），则， 而从而 而，与为其中最小的正整数矛盾综上，不存在正整数，使得对任意的，有13分9.（东城一模，20）（本小题共13分）设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中 称为数组的“元”，称为的下标. 如果数组中的每个“元”都是来自 数组中不同下标的“元”，则称为的子数组. 定义两个数组，的关系数为. （）若，设是的含有两个“元”的子数组，求的最大值；（）若，且，为的含有三个“元”的子数组，求的最大值.解：（）依据题意，当时，取得最大值为2 （）当是中的“元”时，由于的三个“元”都相等，及中三个“元”的对称性，可以只计算的最大值，其中由，得 当且仅当，且时，达到最大值，于是 当不是中的“元”时，计算的最大值，由于，所以 ，当且仅当时，等号成立即当时，取得最大值，此时综上所述，的最大值为110.（丰台二模20.）已知等差数列的通项公式为an=3n-2，等比数列中，.记集合 ，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列.（）求数列的通项公式；（）求数列的前50项和；（）把集合中的元素从小到大依次排列构成数列，写出数列的通项公式，并说明理由.解：（）设等比数列的公比为q，则q3=8，q=2，bn=2n-1， 3分（）根据数列an和数列的增长速度，数列的前50项至多在数列an中选50项，数列an的前50项所构成的集合为1，4，7，10，148，由2n-1128，故数列cn的前50项应包含数列an的前46项和数列bn中的2，8，32，128这4项 6分所以S50=3321; 8分（）据集合B中元素2，8，32，128A，猜测数列的通项公式为dn =22n-1 9分dn=b2n ，只需证明数列bn中，b2n-1A，b2nA（） 11分 证明如下：b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=34n-1，即b2n+1=b2n-1+34n-1，若mN*，使b2n-1=3m-2，那么b2n+1=3m-2+34n-1=3(m+4n-1)-2，所以，若b2n-1A，则b2n+1A因为b1A，重复使用上述结论，即得b2n-1A（）。同理，b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=24n-24n-1=324n-1，即b2n+2=b2n+324n-1，因为“324n-1” 数列的公差3的整数倍，所以说明b2n 与b2n+2同时属于A或同时不属于A，当n=1时，显然b2=2A，即有b4=2A，重复使用上述结论，即得b2nA，dn =22n-1； 14分11. （丰台一模20)设满足以下两个条件的有穷数列为n（n=2,3,4,）阶“期待数列”： ； .（）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（）记n阶“期待数列”的前k项和为，试证：.解：（）数列为三阶期待数列1分数列为四阶期待数列,3分(其它答案酌情给分)（）设该2013阶“期待数列”的公差为， 因为,，即，当d=0时,与期待数列的条件矛盾，当d0时，据期待数列的条件可得 , 6分该数列的通项公式为，7分当d0时，同理可得.8分（）当k=n时，显然成立；9分,当k0且xn1，则x2=l。15.（顺义二模20（本小题满分13分）已知函数，其中为常数，函数的图象与坐标轴交点处的切线为，函数的图象与直线交点处的切线为，且。（）若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围.（）对于函数和公共定义域内的任意实数。我们把 的值称为两函数在处的偏差。求证：函数和在其公共定义域的所有偏差都大于2.解（）函数的图象与坐标轴的交点为, 又 函数的图象与直线的交点为， 又 由题意可知， 又，所以.3分不等式可化为,即 令，则， 又时，, 故在上是减函数即在上是减函数，因此，在对任意的，不等式成立，只需，所以实数的取值范围是.8分（）证明：和的公共定义域为，由（）可知， 令，则， 在上是增函数，故，即 。令，则，当时，；当时，有最大值，因此由得，即，又由得， 由得，故函数和在其公共定义域的所有偏差都大于2.13分16.（西城二模，20（本小题满分13分）已知集合是正整数的一个排列，函数 对于，定义：，称为的满意指数排列为排列的生成列（）当时，写出排列的生成列；（）证明：若和为中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（）对于中的排列，进行如下操作：将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加（）解：当时，排列的生成列为 3分（）证明：设的生成列是；的生成列是与从右往左数，设排列与第一个不同的项为与，即：，显然 ，下面证明： 5分由满意指数的定义知，的满意指数为排列中前项中比小的项的个数减去比大的项的个数由于排列的前项各不相同，设这项中有项比小，则有项比大，从而同理，设排列中有项比小，则有项比大，从而因为 与是个不同数的两个不同排列，且，所以 ， 从而 所以排列和的生成列也不同 8分（）证明：设排列的生成列为，且为中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 9分依题意进行操作，排列变为排列，设该排列的生成列为 10分所以 所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加13分17.（西城一模，20（本小题满分13分）已知集合 对于，定义；与之间的距离为（）当时，设，求；（）证明：若，且，使，则；（）记若，