北京2013届石景山上学期期末高三数学(理科).doc

石景山区20122013学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）2013.01一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1设集合，,则（ ）A B C D2. 若复数, ,则（ ）A B C D3为平行四边形的一条对角线，（ ） A B C D4. 设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A若，则 B若，则 C若，则 D若，则开始输出y输入x否是结束5执行右面的框图，若输出结果为3， 则可输入的实数值的个数为（ ）A1 B2 C3 D46若从1,2,3,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ）A60种 B63种 C65种 D66种7某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）正（主）视图侧（左）视图俯视图223231A B C D8. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论： ； ； ； 整数属于同一“类”的充要条件是“”其中，正确结论的个数为（）A BC D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分 PABCOD9已知不等式组表示的平面区域的面积为，则 ；若点，则 的最大值为 . 10如右图，从圆外一点引圆的割线和，过圆心，已知，则圆的半径等于 11在等比数列中，则公比 ； 12 在中，若，则边上的高等于 13已知定点的坐标为，点F是双曲线的左焦点，点是双曲线右支上的动点，则的最小值为 14. 给出定义：若 (其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：的定义域是，值域是；点是的图像的对称中心，其中；函数的最小正周期为； 函数在上是增函数 则上述命题中真命题的序号是 三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题共13分） 已知函数（）求的定义域及最小正周期；（）求在区间上的最大值和最小值ABCDE图1图2A1BCDE16（本小题共14分）如图1，在Rt中，D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2（）求证： 平面；（）若，求与平面所成角的正弦值；（） 当点在何处时，的长度最小，并求出最小值 17（本小题共13分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为.（）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（）求的值；（）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为，求的分布列和数学期望.18（本小题共13分）已知函数是常数（）求函数的图象在点处的切线的方程；（）证明函数的图象在直线的下方； （）讨论函数零点的个数19（本小题共14分） 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点（）求椭圆的方程；（）求的取值范围；（）若直线不过点，求证：直线的斜率互为相反数20（本小题共13分）定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”（）已知是首项为，公差为的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求的取值范围；（）已知数列的首项为，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；（）若是（）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项?(解题中可用以下数据 :)石景山区20122013学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案2013.01一、选择题共8小题，每小题5分，共40分题号12345678答案BADCCABC二、填空题共6小题，每小题5分，共30分 题号91011121314答案2；69 (9题、11题第一空2分,第二空3分)三、解答题共6小题，共80分15（本小题共13分）（）因为，所以.所以函数的定义域为2分5分 7分 （）因为，所以 9分当时，即时，的最大值为； 11分当时，即时，的最小值为. 13分16（本小题共14分）（）证明： 在中，.又.由. 4分A1BCDExzy（）如图,以为原点，建立空间直角坐标系 5分 设为平面的一个法向量，因为所以，令，得. 所以为平面的一个法向量 7分设与平面所成角为则所以与平面所成角的正弦值为 9分（）设,则 12分当时, 的最小值是 即为中点时, 的长度最小,最小值为 14分17（本小题共13分）记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件，依题意有且相互独立.（）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为.3分（）设“三人中只有甲破译出密码”为事件，则有， 5分所以，. 7分（）的所有可能取值为. 8分所以，= . 11分分布列为：12分所以，. 13分2 （本小题共13分）（） 1分，所以切线的方程为，即 3分（）令则最大值6分，所以且，即函数的图像在直线的下方 8分（）令， . 令 ， 则在上单调递增，在上单调递减，当时，的最大值为. 所以若，则无零点；若有零点，则10分若，由（）知有且仅有一个零点.若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知有且仅有一个零点（或：直线与曲线有一个交点）.若，解得，由函数的单调性得知在处取最大值，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点；又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点.综上所述，当时，无零点；当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点. 13分19（本小题共14分） （）设椭圆的方程为，因为，所以，又因为，所以，解得，故椭圆方程为4分（）将代入并整理得，解得 7分（）设直线的斜率分别为和，只要证明设，则 9分 所以直线的斜率互为相反数 14分20（本小题共13分）（）显然对任意正整数都成立，即是三角形数列。因为，显然有，由得 解得.所以当时，是数列的