复变函数总结资料

1 / 50 复变函数总结资料 第一章 复数的运算与复平面上的拓扑 1.复数的定义 一对有序实数构成复数 z?x?iy, 其中x?Re?z?,y?Im?z?.i2?1， X 称为复数的实部， y 称为复数的虚部。 复数的表示方法 1） 模： z? 2）幅角：在 z?0 时，矢量与 x 轴正向的夹角，记为是位于(?,?中的幅角。 arg?z?Arg?z?；主值 3） arg?z?与 2 / 50 arctan y x 之间的关系如下： y x； 当 x?0, argz?arctan ? y?0,argz?arctan?x?0,? ?y?0,argz?arctan? 当 y ?xy?x 3 / 50 4）三角表示 ： z?z?cos?isin?，其中 ?argz；注：中间一定是 “+” 5 ）指数表示： 2.复数的四则运算 1 ） . 加 减 法 ： 若 z1?x1?iy1,z2?x2?iy2 ，则z1?z2?x1?x2?i?y1?y2? 2） .乘除法： 3）若 z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则 z1z2?x1x2?y1y2?i?x2y1?x1y2? z?zei? ，其中 ?argz ； 。 z1x1?iy1?x1?iy1?x2?iy2?x1x2?y1y2y1x2?y2x1 4 / 50 ?i2222z2x2?iy2x2?iy2x2?iy2x2?y2x2?y2 4）若 z1?z1ei?1,z2?z2ei?2 , 则 z1z2?z1z2ei?1?2? ； z1i?1?2?z1?ez2z2 5.无穷远点得扩充与扩充复平面 复平面对内任一点 z, 用直线将 z 与 N 相连 , 与球面相交于P 点 , 则球面上除 N 点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系 , 而 N点本身可代表无穷远点 , 记作 ?.这样的球面称作复球面 5 / 50 这样的球面称作复球面 . 扩充复平面 -引进一个 “ 理想点 ”: 无穷远点 复平面的开集 与闭集 复平面中领域，内点，外点，边界点，聚点，闭集等概念 复数序列的极限和复数域的完备性 复数的极限，柯西收敛定理，魏尔斯特拉斯定理，聚点定理等从实数域里的推广，可以结合实数域中的形式来理解。 第二章 复变量函数 1.复变量函数的定义 设 G 是一个复数 z?x?iy 的集合 . 如果有一个确定的法则存在 , 按这个法则 , 对于集合 G 中的每一个复数 z, 就有一个或几个复数 w?u?iv 与 之对应 , 那末称复变数 w 是复变数 z 的函数 (简称复变函数 ), 记作 w?f(z). 1）复变函数的反演变换 2）复变函数性质 反函数 有界性 周期性， 3）极限与连续性 极限： 6 / 50 设函数 w?f(z) 定义在 z0 的去心邻域 连续性 0?z?z0? 内 , 如果有一确定的数 A 存在 , 对于任意给定的 ?0, 相 应 地 必 有 一 正 数 ?(?) 使 得 当 0?z?z0?(0?)时 ,有 f(z)?A? 那末称 A 为 f(z) 当 z 趋向于 z0 时的极限 . 如果 limf(z)?f(z0), 那末我们就说 f(z) z?z0 在 z0 处连续 . 如果 f(z) 在区域 D 内处处连续 , 我们说 f(z) 在 D 内连续 . 2.复变量函数的形式偏导 1）复初等函数 ez?ex?cosy?isiny?e 7 / 50 2)指数函数：，在 z 平面处处可导，处处解析；且注： e 是以2?i为周期的周期函数。 3)对数函数： 主值： z z ?e z 。 Lnz?lnz?i(argz?2k?)(k?0,?1,?2?) ； 。 lnz?lnz?iargz 8 / 50 Lnz 的每一个主值分支 lnz 在除去原点及负实轴的 z 平面内处处解析，且 ?lnz? 1 z； 注：负复数也有对数存在。 4)乘幂与幂函数： ab?ebLna (a?0)； zb?ebLnz (z?0) b ?b?1 9 / 50 注：在除去原点及负实轴的 z平面内处处解析，且 ?z?bz。 eiz?e?izeiz?e?iz5)三角函数： sinz?2i,cosz?2,tgz?sinzcosz,ctgz? coszsinz sinz,cosz 在 z 平 面 内 解 析 ，且 ?sinz?cosz,?cosz? ?sinz 注：有界性 sinz?1,cosz?1 不再成立； ez?e?zez?e?z 10 / 50 6）双曲函数 shz?2,chz? 2； shz 奇函数， chz 是偶函数。 shz,chz 在 z 平面内解析 ?shz?chz,?chz? ?shz 第三章 解析函数的定义 1.复变量函数的导数 设函数 w?f(z) 定义于区域 D, z0 为 D 中的一 点 ,点 z0?z 不出 D 的范围 , f(z0?z)?f(z0) 如果极限 ?limz?0?z 存在 , 那末就称 f(z) 在 z0 可导 .这个极限值称为 f(z) 在 z0 的导数 , 11 / 50 复变量函数的解析性 如果函数 f(z)在 z0 及 z0 的邻域内处处可 导 , 那末称 f(z)在 z0 解析 . 如果函数 f(z)在区域 D内每一点解析 , 则称 f(z)在区域 D内解析 . 或称 f(z)是区域 D 内的一 个解析函数 (全纯函数或正则函数 ). 2.函数可导与解析的充要条件 1）函数可导的充要条件： f?z?u?x,y?iv?x,y? 在 z?x?iy可导 ?u?x,y?和 v?x,y?在 ?x,y?可微，且在 ?x,y? 处满足C?D条件： ?u?v?,?x?y 12 / 50 ?u?v?u?v?f?z?i?y? x 此时， 有 ?x?x。 2）函数解析的充要条件： f?z?u?x,y?iv?x,y? 在区域内解析 ?u?x,y?和 v?x,y?在 ?x,y?在 D 内可微，且满足 C?D条件： ?u?v ?,?x?y f?z? ?u?v ?y?x ； ?u?v?i 13 / 50 ?x?x。 此时 注意： 若 u?x,y?,v?x,y? 在区域 D 具有一阶连续偏导数，则 u?x,y?,v?x,y? 在区 域 D 内是可微的。因此在使用充 要条件证明时，只要能说明u,v 具有一阶连续偏导且满足 C?R 条件时，函数 f(z)?u?iv一定是可导或解析的。 解析映射的几何意义 保角性：任何两条相交曲线的夹角在解析映射下的夹角保持不变 14 / 50 第四章 柯西定理和柯西公式 1 复变函数积分的性质 f?z?dz?1） cc c?1 f?z?dz ； c c ?1 ?f?z?g?z?dz?f?z?dz?g?z?dz,?,?2）是常数； 15 / 50 ?3） 若曲线 c 由 c1与 c2 连接而成，则 c 2复变函数积分的一般计算法 c c f?z?dz?f?z?dz?f?z?dz c1 c2 。 f?z?dz?udx?vdy?i?vdx?udy?1）化为线积分：； c 2）参数方法：设曲线 c： 16 / 50 z?z?t?(?t?) ? ，其中 ?对应曲线 c的起点， ?对 ?应曲线 c 的终点，则 ?c 3.积分与路径无关的条件和原函数 1）条件：见书中定理命题 这几个定理及命题都只有理论上的意义。 柯西 -古尔萨定理及其应用 4柯西 古萨基本定理： f?z?dz?fz?t?z?(t)dt 设 f?z? 在单连域 B内解析， c为 B 内任一闭曲线，则 ?f?z?dz?0 17 / 50 c 5复合闭路定理： 设 f?z? 在多连域 D内解析， c为 D 内任意一 条简单闭曲线， c1,c2,?cn 是 c 内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以 c1,c2,?cn 为边界的区域全含于 D 内，则 ?f?z?dz,?f?z?dz? c n k?1ck 18 / 50 其中 c 与 ck均取正向； ?f?z?dz?0 ? ?1 cc?，其中由及 (k?1,2,?n)所组成的复合闭路。 6闭路变形原理 ： 一个在区域 D 内的解析函数 f?z? 沿闭曲线 c的积分，不 因 c 在 D 内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中 c不经过使的奇点。 7解析函数沿非闭曲线的积分： 设 19 / 50 f?z? 不解析 f?z? Gzfz 在单连域 B内解析， ?为 ?在 B (z1,z2?B) ?内的一个原函数，则 说明：解析函数数即可。 8. 柯西积分公式：设 z2 z1 20 / 50 f?z?dz?G?z2?G?z1? f?z? 沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函 f?z? 在区域 D 内解析， c 为 D内任一正向简单闭曲线， c f?z? ?2?if?z0?cz?zz0 的内部完全属于 D， 0 为 c 内任意一点，则 9高阶导数公式：解析函数 f?z? 的导数仍为解析函数，它的 n阶导数为 sf(?) 21 / 50 第一章 复数 1 i2=-1 i?1 欧拉公式 z=x+iy 实部 Re z 虚部 Im z 2 运算 z1?z2?Rez1?Rez2 Imz1?Imz2 ?z1?z2?Re?z1?z2?Im?z1?z2?Rez1?Rez2?Imz1?Imz2? z1?z2 ?x1?iy1?x2?iy2?x1x2?ix1y2?ix2y1?y1y2?x1x2?y1y2?i?x1y2?x2y1? z1z1z2?x1?iy1?x2?iy2?x1x2?y1y2y1x2?x1y2 22 / 50 ?i2222 z2z2z2x2?iy2x2?iy2x2?y2x2?y2 z?x?iy 共轭复数 z?z?x?iy?x?iy?x2?y2 共轭技巧 运算律 P1页 3 代数，几何表示 z?x?iy z 与平面点 ?x,y?一一对应，与向量一一对应 辐角 当 z0 时，向量 z 和 x 轴正向之间的夹角 ，记作=Arg z=?0?2k? k=123 把位于 - ?0 的 ?0叫做 Arg z辐角主值 记作 ?0=argz0 4 如何寻找 arg z 23 / 50 例： z=1-i ? z=i ? 4 ? 2? z=1+i 4 z=-1 5 极坐标： x?rcos? ， y?rsin? z?x?iy?r?cos?isin? 24 / 50 i? 利用欧拉公式 e? cos?isin? 可得到 z?re i? z1?z2?r1ei?1?r2ei?2?r1r2ei?1?ei?2?r1r2ei?1?2? 6 高次幂及 n次方 zn?z?z?z?z?rnein?rn?cosn?isinn? 凡是满足方程 ?z 的 值称为 z的 n 次方根，记作 n ?nz 25 / 50 z?rei?2k?n 即 r? n ?2k?n? ? ?r ?2k? n 1n 第二章解析函数 1 极限 2 函数极限 复变函数 对于任一 Z?D 都有 W? 与其对应 ?f?z? 注：与实际情况相比，定义域，值域变化 例 f?z?z 26 / 50 limf?z? z?z0 称 f?z?当 z?z0时以 A为极限 z?z0 当 ?f?z0?时，连续 例 1 证明 f?z?在每一点都连续 证： f?z?f?z0?z?z0?z?z0?0 z?z0 所以 f?z?在每一点都连续 3 导数 f?z0?lim z?z0 f?z?f?z0?df?z? ? z?z0zz?z0 27 / 50 例 2 f?z?C 时有 ?C?0 证：对 ?z有 lim ?z?0 f?z?z?f?z?C?C ?lim?0 所以 ?C?0 ?z?0?z?z 例 3 证明 f?z?不可导 解：令 ?z?z0 f?z?f?z0?z?z0z?z0x?iy ? z?z0z?z0z?z0?x?iy 当 ?0时，不存在，所以不可导。 定理： f?z?u?x,y?iv?x,y?在 z?x?iy处可导 ?u， v 在 ?x,y?28 / 50 处可微，且满足 C-R 条件 ?u?v?u?v?u?v ?i ? 且 f?z? ?x?x?x?y?y?x 例 4 证明 f?z?不可导 解： f?z?x?iy 其中 u?x,y?x v?x,y?y u,v 关于 x,y可微 ?u?v ?1?1 不满足 C-R 条件 所以在每一点都不可导 ?x?y 例 5 f?z?Rez 29 / 50 解： f?z?Rez?x u?x,y?x v?x,y?0 ?u?v?1?0 不满足 C-R 条件 所以 在每一点都不可导 ?x?y 例 6： f?z?z 2 解： f?z?z 2 ?x2?y2 其中 u?x,y?x2?y2 v?x,y?0 根据 C-R条件可得 2x?0,2y?0?x?0,y?0 所以该函数在 z?0处可导 4 解析 若 f?z?在 z0 的一个邻域内都可导，此时称 f?z?在 z0 处解析。 用 C-R 条件必须明确 u,v 30 / 50 四则运算 ?f?g?f?g? ?f?g?z?f?g?g?z? ?kf ? ?kf? ?zn?nzn?1 ? z ?f?g?f?g?f?g? e ?e z ? ?f?f?g?f?g? 31 / 50 ? ?2?g?g? 例：证明 f?z?ez e ?e z z 解： f?z?ez?excosy?iexsiny 则 u?x,y?excosy v?x,y?exsiny ?u?v ?excosy?excosy ?x?y ?u?v ?exsiny?exsiny 任一点 z?x?iy 处满足 C-R条件 ?y?x 32 / 50 z 所以 e处处解析 f?z? ?u?v?i?excosy?iexsiny?ez ?x?x 练习：求下列函数的导数 f?z?z?z 2 2232233223 解 : f?z?z?z?x?y?x?iy?x?ixy?xy?iy?x?xy?ixy?y 2 ? u?x,y?x3?xy2 v?x,y?x2y?y3 所以 33 / 50 ?u ?2xy ?y ?u?v?3x2?y2 ?x2?3y2 ?x?y C-R 方程可得 ? ?v ?2xy 根据 ?x ?u?v?3x2?y2?x2?3y2 ?x?y ?u?v ?2xy?2xy ?x?0,y?0 ?y?x 34 / 50 所以当 z?0时 f?z?存在导数且导数为 0，其它点不存在导数。 初等函数 常数 指数函数 ez?ex?cosy?isiny? 定义域 e 1?e z z2 ? ?ez1?z2 ez?2?i?ez?cos2?isin2?ez?ez?ez 对数函数 称满足 z?e?的 ?叫做 z 的对数函数，记作 ?lnz 35 / 50 分类：类比 z的求法 目标：寻找 ?arg?幅角主值 ?i? 可用： z?e z?re ?u?iv i?u?iv ?eu?eiv?rei? ?r?eu,ei?eiv 过程： z?re?e?e ?u?lnr,v?2k? k?0,?1,?2? 所 以 ?u?iv?lnr?i?2k?lnr?i?rgz?lnz?i?argz?2k? k?0,?1,?2? 例：求 Ln?1? Ln?1?i? Ln?i? 的值 36 / 50 arg?1? Ln?1?ln?i?arg?1?2k?i?2k?1? k?0,?1,?2? arg?1?i? ? 4 Ln?1?i?ln?i?i?arg?1?i?2k?arg?i? 1? ln2?i?2k? k?0,?1,?2? 2?4? ? 2 ? 37 / 50 Ln?i?lni?i?argi?2k?1?i?2k? k?0,?1,?2? ?2? 幂函数 对于任意复数 ?，当 z?0时 ?z?e?Lnz 例 1：求 i 解 1?i 的值 ： i1?i?elni 1?i ?e?1?i?L?e 38 / 50 ?lni?i?1?i?n?i?i ?e ? ?1?i?i?2k?Ar ?2 ? ?e ? ?i?1?2k? ?2 ? 39 / 50 k?0,?1,?2? 例 2：求 ?1?i? 3?i ?eln?1?i? 3?i ?e?3?i?ln?1?i?e 1?3?i?ln2?i?2k? ? ? ?2 ?4 40 / 50 ? 三角函数 学习复变函数的体会 我们都知道复变函数是数学专业的基础课之一，又是数学分析的后继课，所以如果数学分析没有学得透彻，明显感觉复变中有一些知识学得会很吃力。 首先，第一章就让我了解到将实数域扩大到复数域，可以解决很多我们用实 数无法解决的问题。其实复数和实数有联系也有区别。联系是复数的实部和虚部都是实数。区别是复数不能比较大小，而且复数表现形式多样，有代数形式、三角形式和指数形式，可以互相转换，使用上也各有其便。此外，如果规定非零复数 z 的主辐角 arg z 合条件 0arg z 2 ，则它与 Arctgy/x 的主值 arctgy/x 的关系如下： 当 z 在第一象限时； /2 当 x=0,y0时； 41 / 50 当 z在第二、三象限时； /2 当 x=0,y argtgy/x- 当 z 在第四象限时； 和实数不同，复数还可以表示向量， Z1-Z2 表示 Z2 到 Z1 这个向量， Z1 -Z2 表示这两点的距离。显然它可以引出邻域这个概念，也是复变函数极限论的基础。这里，三角不等式就不多说了。复数在代数和几何上的应用，主要是灵活的应用复数的一些基本性质与复数的向量表示， 适当的旋转一个向量，即是此向量所表示的复数适当地乘以一个单位复数。接着便是曲线的概念，特别是简单闭曲线、光滑或逐段光滑曲线和区域单连通和多连通几个基础几何概念，容易记不住。此外，通过学习复变函数 W=f(z)，可看成从 Z 平面上的点集 E到 W平面上的点集 F的满变换，使一些问题形象化。复变函数的极限概念与事变函数的概念形式上尽管一样，但实际上前者比后者要求苛刻的多。复变函数极限存在，等价于其实部和虚部极限都存在，复变函数连续，等价于其实部和虚部都连续。最后，我还初步了解到复球面和无穷远点的概念。 42 / 50 相比于第一章，第二章就有点渐渐走进复变函数这门学科的感觉。解析函数，一个之前 从未听过的数学名词。它和实变函数一样，也有导数，虽然定义形式上，二者情形一样，但从实质上讲，复变函数在一点可导可比实 变函数严格的多。在实变函数中找一个处处连续却处处不可导的函数很不容易，但在复变函数中却很简单。最最重要的是，实函中的微分中值定理不能直接用到复函中。解析函数有很多很好的性质， C.-R.条件是判断函数可微和解析的主要条件。函数 f(z)在区域 D内可微等价于 D内解析，但是在一点可导推不出在那一点解析。定理是判断可微的充要条件，我觉得很好用。此外，定理是刻画函数 f(z)在区域 D 内解析的充要条件，定理是充分条件，这些定理到后面经常要用到。初等单值函数和初等多值函数是数学分析中基本函数的延伸。指数函数令人印象深刻的就是 它 2i的周期， 正、余弦函数在复数域内不能在断言：|sinz|1,|cosz|1 。单值函数学起来较为简单，多值函数却让人有点迷糊。如根式函数 ?z 及对数函数 ?Lnz它们出现多值的原因就是 z确定后其辐角不唯一确定。因此适当割破 z平面，就能将它们分成单值连续解析分支，从而能取出适合指定条件的单值解析分支。而这里支割线的确立，对我而言，是一个难点，经常难以把握。对于复对数，我知道43 / 50 了一个非零复数的对数仍是复数，而且是无穷多值的， “ 负数无对数 ” 的说法，如今在复数域内应该为 “ 负数无实对数 ” 。反三角函数和一般幂 函数都是以对数函数表示的，就不再多说。幂函数 ?zn的 z 单叶性区域，是顶点在原点 Z=0，张度不超过 2/n 的角形区域。指数函数 ?e的单叶性 区域，是 Z平面上平行于实轴的宽不超过 2 的带型区域。 下面的学习就跟数学分析联系的相当紧密。如复曲线积分仍是作为一种和的极限来定义的，它的积分问题，可以转化为两个二元实函数的积分问题，但这个通过后面的学习，我不常用这个。从积分路径 C 入手，运用参数方程的方法才是我们常用的。关于路径 C:| z?a|=?可代之包围 a的任意曲线。此外，积分估值定理也很有用，掌握的好的话，对于做证明题，是得心应手的。最重要的一点是数学分析中的积分中值定理不能推广到复数域当中来。柯西积分定理及从两个方面的推论更是学习复变的重要基础，通过后面的学习，我发现这几 个定理是被反复利用的。此外，柯西积分公式是解析函数的积分表达式，因而是研究解析函数的重要工具，它告诉我们解析函数在区域内部的值可以通过它在区域边界上的44 / 50 值来表示。而且它的证明方法也是我们学习复变函数需要掌握的一种方法。复连续函数的原函数和不定积分同数学分析中一样引入，从而我们也得到了复数域中的牛顿莱布尼兹公式，这样便可以将积分问题转化为找原函数问题。解析函数的高阶导数公式是以柯西积分公式为工具来证明的，由此我了解到解析函数的无穷可微性以及它各阶导函数的解析性。借助连续函数的原函数和 解析函数的无穷可微性，还得出了柯西积分定理的逆定理。柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计，说明了与解析区域的大小密切相关，并且还得到了刘维尔定理，一个用于证明的很好的定理。 二十世纪以来，复变函数已被 广泛的应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学的其他分支也日系密切，并且还开辟了一些新的分支，如复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等。复变函数也是我国数学工作者从事研究所取得最有成效的数学分支之一，我想以后的学习研究不能只光靠老一辈的人在奋斗，通过对前几章复变函数论的学习和体会，我想学术的研究更需要我们年轻一代敢去想，敢去做，敢去创新，我国的数学研究方面应该会有更多的突破！ 45 / 50 复变函数论总结 摘要：对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结，对这一章也有了深入的认识，通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式，学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开，以及应用留数定理计算实变函数定积分，傅立叶积分与傅立叶变换。 关键词：复数；导数；解析；积分；柯西公式、定理；幂级数展开；留数；傅立叶积分与傅立叶变换 1 引言 复变函数论主要内容 第一章 复变函