2018年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷理科一及答案.docx

2018年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A=x|2x0，B=x|（）x1，则（）AAB=x|0x2BAB=x|x0CAB=x|x2DAB=R2（5分）已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足z+3i=a+ai，若复数z是纯虚数，则（）Aa=3Ba=0Ca0Da03（5分）我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理，该图中用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）ABCD4（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S9=6，则tan a5=（）ABCD5（5分）已知函数f（x）=x+（aR），则下列结论正确的是（）AaR，f（x）在区间（0，+）内单调递增BaR，f（x）在区间（0，+）内单调递减CaR，f（x）是偶函数DaR，f（x）是奇函数，且f（x）在区间（0，+）内单调递增6（5分）（1+x）（2x）4的展开式中x项的系数为（）A16B16C48D487（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A+4+4B2+4+4C2+4+2D2+2+48（5分）若a1，0cb1，则下列不等式不正确的是（）Alog2018alog2018bBlogbalogcaC（ac）ac（ac）abD（cb）ac（cb）ab9（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的n值为11，则判断框中的条件可以是（）AS1022？BS2018？CS4095？DS4095？10（5分）已知函数f（x）=2sin（x+）（0，|）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，则（）Ag（x）=2sin（2x+）Bg（x）=2sin（2x+）Cg（x）=2sin2xDg（x）=2sin（2x）11（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，则+的值为（）ABC1D212（5分）已知数列an中，a1=2，n（an+1an）=an+1，nN*，若对于任意的a2，2，nN*，不等式2t2+at1恒成立，则实数t的取值范围为（）A（，22，+）B（，21，+）C（，12，+）D2，2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知向量=（1，），=（3，1），若向量2与=（1，2）共线，则向量在向量方向上的投影为 14（5分）若实数x，y满足，则z=x3y+1的最大值是 15（5分）过双曲线=1（a0，b0）的下焦点F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，则双曲线的离心率为 16（5分）一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）如图，在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosA=bcosC+ccosB（1）求角A的大小；（2）若点D在边AC上，且BD是ABC的平分线，AB=2，BC=4，求AD的长18（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱CC1地面ABC，且CC1=2AC=2BC，ACBC，D是AB的中点，点M在侧棱CC1上运动（1）当M是棱CC1的中点时，求证：CD平面MAB1；（2）当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为时，求二面角AMB1C1的余弦值19（12分）第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制），如茎叶图所示（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取1人记X表示选取4人的成绩的平均数，求P（X87）；记表示测试成绩在80分以上的人数，求的分布和数学期望20（12分）已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且PF1F2的面积的最大值为2（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+2（k0）与椭圆C交于不同的两点M，N，若在x轴上存在点G，使得|GM|=|GN|，求点G的横坐标的取值范围21（12分）设函数f（x）=ex2aln（x+a），aR，e为自然对数的底数（1）若a0，且函数f（x）在区间0，+）内单调递增，求实数a的取值范围；（2）若0a，试判断函数f（x）的零点个数请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+=1，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin（+）=3（1）求直线l的直角坐标方程和椭圆C的参数方程；（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|2x+y1|的最大值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x2|（1）求不等式f（x）+f（2+x）4的解集；（2）若g（x）=f（x）f（2x）的最大值为m，对任意不相等的正实数a，b，证明：af（b）+bf（a）m|ab|2018年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A=x|2x0，B=x|（）x1，则（）AAB=x|0x2BAB=x|x0CAB=x|x2DAB=R【解答】解：集合A=x|2x0=x|x2，B=x|（）x1=x|x0，则AB=x|0x2，AB=R故选：D2（5分）已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足z+3i=a+ai，若复数z是纯虚数，则（）Aa=3Ba=0Ca0Da0【解答】解：由z+3i=a+ai，得z=a+（a3）i，又复数z是纯虚数，解得a=0故选：B3（5分）我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理，该图中用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）ABCD【解答】解：设直角三角形的长直角边为a=4，短直角边为b=3，由题意c=5，大方形的边长为a+b=3+4=7，小方形的边长为c=5，则大正方形的面积为49，小正方形的面积为25，满足题意的概率值为：1=故选：B4（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S9=6，则tan a5=（）ABCD【解答】解：由等差数列的性质可得：S9=6=9a5，a5=则tan a5=tan=故选：C5（5分）已知函数f（x）=x+（aR），则下列结论正确的是（）AaR，f（x）在区间（0，+）内单调递增BaR，f（x）在区间（0，+）内单调递减CaR，f（x）是偶函数DaR，f（x）是奇函数，且f（x）在区间（0，+）内单调递增【解答】解：当a0时，函数f（x）=x+在区间（0，+）内单调递增，当a0时，函数f（x）=x+在区间（0，上单调递减，在，+）内单调递增，故A，B均错误，aR，f（x）=f（x）均成立，故f（x）是奇函数，故C错误，故选：D6（5分）（1+x）（2x）4的展开式中x项的系数为（）A16B16C48D48【解答】解：（2x）4展开式的通项公式为 Tr+1=24r（x）r，（1+x）（2x）4的展开式中x项的系数为23+24=16，故选：A7（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A+4+4B2+4+4C2+4+2D2+2+4【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体其直观图如下所示：其表面积S=212+221+21=2+4+4，故选：B8（5分）若a1，0cb1，则下列不等式不正确的是（）Alog2018alog2018bBlogbalogcaC（ac）ac（ac）abD（cb）ac（cb）ab【解答】解：根据对数函数的单调性可得log2018alog2018b正确，logbalogca正确，a1，0cb1，acab，ac0，（ac）ac（ac）ab，故C不正确，cb0，（cb）ac（cb）ab正确，故选：C9（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的n值为11，则判断框中的条件可以是（）AS1022？BS2018？CS4095？DS4095？【解答】解：第1次执行循环体，S=3，应不满足输出的条件，n=2，第2次执行循环体，S=7，应不满足输出的条件，n=3，第3次执行循环体，S=15，应不满足输出的条件，n=4，第4次执行循环体，S=31，应不满足输出的条件，n=5，第5次执行循环体，S=63，应不满足输出的条件，n=6，第6次执行循环体，S=127，应不满足输出的条件，n=7，第7次执行循环体，S=255，应不满足输出的条件，n=8，第8次执行循环体，S=511，应不满足输出的条件，n=9，第9次执行循环体，S=1023，应不满足输出的条件，n=10，第10次执行循环体，S=2047，应不满足输出的条件，n=11第11次执行循环体，S=4095，应满足输出的条件，故判断框中的条件可以是S4095？，故选：C10（5分）已知函数f（x）=2sin（x+）（0，|）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，则（）Ag（x）=2sin（2x+）Bg（x）=2sin（2x+）Cg（x）=2sin2xDg（x）=2sin（2x）【解答】解：根据函数f（x）=2sin（x+）（0，|）的部分图象，可得=+，=2，根据+=2（）+=0，=，故f（x）=2sin（2x+）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，故g（x）=2sin（2x+）=2sin（2x+）故选：A11（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，则+的值为（）ABC1D2【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），过点F作斜率为1的直线l：y=x1，可得，消去y可得：x26x+1=0，可得xP+xQ=6，xPxQ=1，|PF|=xP+1，|QF|=xQ+1，|PF|QF|=xQ+xP+xPxQ+1=6+1+1=8，则+=1故选：C12（5分）已知数列an中，a1=2，n（an+1an）=an+1，nN*，若对于任意的a2，2，nN*，不等式2t2+at1恒成立，则实数t的取值范围为（）A（，22，+）B（，21，+）C（，12，+）D2，2【解答】解：根据题意，数列an中，n（an+1an）=an+1，即nan+1（n+1）an=1，则有=，则有=（）+（）+（）+（a2a1）+a1=（）+（）+（）+（1）+2=33，2t2+at1即32t2+at1，对于任意的a2，2，nN*，不等式2t2+at1恒成立，2t2+at13，化为：2t2+at40，设f（a）=2t2+at4，a2，2，可得f（2）0且f（2）0，即有即，可得t2或t2，则实数t的取值范围是（，22，+）故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知向量=（1，），=（3，1），若向量2与=（1，2）共线，则向量在向量方向上的投影为0【解答】解：向量=（1，），=（3，1），向量2=（1，21），向量2与=（1，2）共线，21=2，即=向量=（1，），向量在向量方向上的投影为|cos，=0故答案为：014（5分）若实数x，y满足，则z=x3y+1的最大值是【解答】解：实数x，y满足，对应的可行域如图：线段AB，z=x3y+1化为：y=，如果z最大，则直线y=在y轴上的截距最小，作直线l：y=，平移直线y=至B点时，z=x3y+1取得最大值，联立，解得B（，）所以z=x3y+1的最大值是：故答案为：15（5分）过双曲线=1（a0，b0）的下焦点F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，则双曲线的离心率为【解答】解：过双曲线=1（a0，b0）的下焦点F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，则|AB|=，以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2，可得：，c2a22ac=0，可得e22e1=0，解得e=1+，e=1舍去故答案为：1+16（5分）一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为4【解答】解：设该项长方体底面边长为x米，由题意知其高是：=62x，（0x3）则长方体的体积V（x）=x2（62x），（0x3），V（x）=12x6x2=6x（2x），由V（x）=0，得x=2，且当0x2时，V（x）0，V（x）单调递增；当2x3时，V（x）0，V（x）单调递减体积函数V（x）在x=2处取得唯一的极大值，即为最大值，此时长方体的高为62x=2，其外接球的直径2R=2，R=，其外接球的体积V=4故答案为：4三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）如图，在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acosA=bcosC+ccosB（1）求角A的大小；（2）若点D在边AC上，且BD是ABC的平分线，AB=2，BC=4，求AD的长【解答】解：（1）2acosA=bcosC+ccosB，2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，sinA0，cosA=，A=（2）在ABC中，由余弦定理的cosA=，解得AC=1+或AC=1（舍）BD是ABC的平分线，=，AD=AC=18（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱CC1地面ABC，且CC1=2AC=2BC，ACBC，D是AB的中点，点M在侧棱CC1上运动（1）当M是棱CC1的中点时，求证：CD平面MAB1；（2）当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为时，求二面角AMB1C1的余弦值【解答】证明：（1）取线段AB的中点E，连接DE，EMAD=DB，AE=EB，DEBB1，ED=，又M为CC1的中点，四边形CDEM是平行四边形CDEM，又EMMAB1，CDMAB1CD平面MAB1；解（2）CA，CB，CC1两两垂直，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱CC1地面ABC，可得MAC为直线AM与平面ABC所成的角，设AC=1，tan，得CM=C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），B1（0，1，2），M（0，0，）设AMB1的法向量为，可取又平面B1C1CB的法向量为cos=二面角AMB1C1为钝角，二面角AMB1C1的余弦值为19（12分）第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制），如茎叶图所示（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取1人记X表示选取4人的成绩的平均数，求P（X87）；记表示测试成绩在80分以上的人数，求的分布和数学期望【解答】解：（1）众数为76，中位数为76，抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生中任选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为=，该校这次测试成绩在70分以上的约有：3000=2000人（2）由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94，当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类：一类是：82，88，93，94，共1种；另一类是：76，88，93，94，共3种P（X87）=由题意得的可能取值为0，1，2，3，4，P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，P（=4）=，的分布列为： 0 1 2 3 4 P E（）=220（12分）已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且PF1F2的面积的最大值为2（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+2（k0）与椭圆C交于不同的两点M，N，若在x轴上存在点G，使得|GM|=|GN|，求点G的横坐标的取值范围【解答】解：（1）显然当点P位于短轴端点时，PF1F2的面积取得最大值，解得，椭圆的方程为=1（2）联立方程组，消元得（8+9k2）x2+36kx36=0，直线l恒过点（0，2），直线l与椭圆始终有两个交点，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，设MN的中点为E（x0，y0），则x0=，y0=kx0+2=|GM|=|GN|，GEMN，设G（m，0），则kGE=，m=，当k0时，9k+2=12当且仅当9k=，即k=时取等号；m0，当k0时，9k+2=12，当且仅当9k=，即k=时取等号；0m点G的横坐标的取值范围是，0）（0，21（12分）设函数f（x）=ex2aln（x+a），aR，e为自然对数的底数（1）若a0，且函数f（x）在区间0，+）内单调递增，求实数a的取值范围；（2）若0a，试判断函数f（x）的零点个数【解答】解：（1）函数f（x）在区间0，+）内单调递增，f（x）=ex0在区间0，+）恒成立，即aexx在0，+）恒成立，记g（x）=exx，则g（x）=ex10恒成立，故g（x）在0，+）递减，故g（x）g（0）=1，a1，故实数a的范围是1，+）；（2）0a，f（x）=ex，记h（x）=f（x），则h（x）=ex+0，知f（x）在区间（a，+）递增，又f（0）=10，f（1）=e0，f（x）在区间（a，+）内存在唯一的零点x0，即f（x0）=0，于是x0=ln（x0+a），当axx0时，f（x）0，f（x）递减，当xx0时，f（x）0，f（x）递增，故f（x）min=f（x0）=2aln（x0+a）=x0+a+3a23a，当且仅当x0+a=1