动点问题汇总.docx

动点问题汇总一、如图1，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）（1）试说明ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设M运动t秒时，MON的面积为S 求S与t的函数关系式； 设点M在线段OB上运动时，是否存在S4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；在运动过程中，当MON为直角三角形时，求t的值思路点拨1第（1）题说明ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点2不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论3将S4代入对应的函数解析式，解关于t的方程4分类讨论MON为直角三角形，不存在ONM90的可能满分解答（1）直线与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）RtBOC中，OB3，OC4，所以BC5点A的坐标是（-2，0），所以BA5因此BCBA，所以ABC是等腰三角形（2）如图2，图3，过点N作NHAB，垂足为H在RtBNH中，BNt，所以如图2，当M在AO上时，OM2t，此时定义域为0t2如图3，当M在OB上时，OMt2，此时定义域为2t5 图2 图3把S4代入，得解得，（舍去负值）因此，当点M在线段OB上运动时，存在S4的情形，此时如图4，当OMN90时，在RtBNM中，BNt，BM ，所以解得如图5，当OMN90时，N与C重合，不存在ONM90的可能所以，当或者时，MON为直角三角形 图4 图5二、已知RtABC中，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N（1）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图1，求证：；思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决可将沿直线对折，得，连，只需证，就可以了请你完成证明过程（2）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 思路点拨1本题的证明思路是构造ACMDCM，证明BCNDCN2证明BCNDCN的关键是证明3证明的结论是勾股定理的形式，基本思路是把三条线段AM、BN、MN集中在一个三角形中，设法证明这个三角形是直角三角形满分解答（1）如图3，将沿直线对折，得，连，则因此，又由，得 由，得又，所以因此，所以在Rt中，由勾股定理，得即 图3 图4（2）关系式仍然成立如图4，将沿直线对折，得，连，则所以，又由，得 由，得又，所以因此，又由于，所以在Rt中，由勾股定理，得即三、太原2008 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点（1）求点A、B、C的坐标（2）当CBD为等腰三角形时，求点的坐标（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E、D、O、A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由图1思路点拨1数形结合，由两条直线的解析式组成的方程组的解，就是点A的坐标2分类讨论等腰三角形CBD，按照顶角的顶点分三种情况讨论3在计算点D的坐标时，构造以C为顶点的直角三角形，灵活运用三边比3454画平行四边形时，是点E决定点D的位置：过点O作AC的平行线交AB于E，由OE与AD平行且相等得到点D的两个位置，这样就容易得到三个平行四边形满分解答（1）在中，当时，所以点的坐标为在中，当时，所以点的坐标为（4，0）解方程组 得，所以点的坐标为（2）因为点D在直线上，设点D的坐标为当CBD为等腰三角形时，有以下三种情况：如图2，当DBDC时，设底边BC上的高为DM在RtCDM中，所以这时点D的坐标为如图3，当CDCB5时，点D恰好落在y轴上，此时点D的坐标为（0，3）根据对称性，点D关于点C对称的点D的坐标为（8，3）如图4，当BCBD时，设BC、DC边上的高分别为DM、BN在RtBCN中，BC5，所以CN4，因此DC8在RtDCM中，DC8，所以，这时点D的坐标为综上所述，当CBD为等腰三角形时，点D的坐标为、（0，3）、（8，3）或 图2 图3 图4（3）如图5，以点E、D、O、A为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形：当四边形AEOD为平行四边形时，当四边形ADEO为平行四边形时，当四边形AODE为平行四边形时，考点伸展如图5，第（3）题这样解：在ABC中，已知BC5，BC边上的高为，解得AB，AC由，得，所以由，得，所以结合图5，可以计算出，或四、河北2009如图1，在RtABC中，C90，AC3，AB5点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止设P、Q运动的时间是t秒（t0）（1）当t2时，AP_，点Q到AC的距离是_；（2）在点P从C向A运动的过程中，求APQ的面积S与t的函数关系式（不必写出t的取值范围）；（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值思路点拨1第（1）题求点Q到AC的距离，暗示了第（2）题求APQ的高的方法2分类讨论直角梯形QBED的存在性，按照DE与AB、AC平行的可能性分两种情况，列方程的依据是RtAQP的三边比为3453分类讨论DE经过点C，按照P运动的方向分两种情况，列方程的依据是PCQC满分解答（1）1；（2）如图2，作QFAC于F在RtABC中，AC3，AB5，所以BC4，在RtAQF中，AQt，所以因此（3）如图3，当DE/QB时，AQP90在RtAQP中，AP，AQt，所以解得如图4，当DE/BC时，APQ90在RtAQP中，AP，AQt，所以解得 图2 图3 图4（4）或考点伸展第（4）题可以这样解：过点Q作QGBC于G，那么如图5，点P由C向A运动，DE经过点C，此时PCt由，得解得如图6，点P由A向C运动，DE经过点C，此时PC6t由，得解得情形还可以用几何说理解答：由于CQCPAQ，所以QACQCA根据等角的余角相等，因此BBCQ所以CQBQ于是得到Q是AB的中点， 图5 图6五、（2012四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BCCD上滑动，且E、F不与BCD重合（1）证明不论E、F在BCCD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BCCD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值【答案】解：（1）证明：如图，连接AC四边形ABCD为菱形，BAD=120，BAE+EAC=60，FAC+EAC=60，BAE=FAC。BAD=120，ABF=60。ABC和ACD为等边三角形。ACF=60，AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。（2）四边形AECF的面积不变，CEF的面积发生变化。理由如下：由（1）得ABEACF，则SABE=SACF。S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作AHBC于H点，则BH=2，。由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短故AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又SCEF=S四边形AECFSAEF，则此时CEF的面积就会最大SCEF=S四边形AECFSAEF。CEF的面积的最大值是。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证ABC、ACD为等边三角形，得ACF =60，AC=AB，从而求证ABEACF，即可求得BE=CF。（2）由ABEACF可得SABE=SACF，故根据S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据SCEF=S四边形AECFSAEF，则CEF的面积就会最大。六、（2012四川南充8分）在RtPOQ中，OP=OQ=4,M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与POQ的两直角边分别交于点A、B，(1)求证：MA=MB(2)连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。请说明理由。【答案】解：（1）证明：连接OM 。 RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点， PQ=4，OM=PM=PQ=2，POM=BOM=P=450 。 PMA+AMO=OMB+AMO，PMA=OMB。PMAOMB（ASA）。 MA=MB。(2) AOB的周长存在最小值。理由如下:PMAOMB ， PA=OB。 OA+OB=OA+PA=OP=4。令OA=x， AB=y，则y2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+88。当x=2时y2有最小值8，从而 y的最小值为2。AOB的周长存在最小值，其最小值是4+2。【考点】直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。【分析】（1）连接OM，证PMA和OMB全等即可。(2) 先计算出OP=OA+OB=OA+PA=4，再令OA=x，AB=y，则在RtAOB中，利用勾股定理得y2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+8求出最值即可。七、铁岭201025（12分）如图，一个直角三角形纸片的顶点A在MON的边OM上移动，移动过程中始终保持ABON于点B,ACOM于点A.MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点.（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系,并说明理由.（2）点A在移动的过程中,若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？ （3）若MON=45，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想. (1) AE=AD 2分(2)菱形 3分FG (法一)：连接DF、EF 点F与点A关于直线OP对称，E、D在OP上，AE=FE,AD=FD . 5分由（1）得AE=ADAE=FE=AD=FD四边形ADFE是菱形 7分（法二）：连接AF交DE于点G,连接DF,EF.点F与点A关于直线OP对称可知：AFDE, AE=FE, 3分AG=FG,又AE=ADDG=EG四边形ADFE是平行四边形 6分AFDE 平行四边形ADFE是菱形 7分（3）OC= AC+AD 8分(法一)：证明：连接EF. 点F与点A关于直线OP对称, AO=OFACOM, MON=45 OAC=90ACO=MON=45 OF = AO = AC 10分由（2）知四边形ADFE是菱形EFAB AD=EFABONABC=90EFC=ABC =90ACO=45ACO=CEFFC = EF =AD 又OC=OF+FCOC = AC+AD 12分（法2）证明：连接EF.ACOM, MON=45OAC=90ACO =MON =45 AO=AC 由（2）知四边形ADFE是菱形EFAB AD=EFABONABC=90EFC=ABC=90ACO=45FEC = ACO =45 9分FC=FE=AD AOE=FOEOE=OE, OAC=OFE=90OAEOFE 11分OA=OFOF=AC又OF+FC=OCAC+AD=OC 12分（法3）证明：延长EA到G点，使AG=AE OAE=90 OAGEOG=OE AOG=EOA AOC=45,OP平分AOC AOE=22.5 AOG=22.5G=67.5 COG=G=67.5CG=OC 10分 由（1）得AD=AEAD=AE=AGAC+AD=OC 八、大连2009 24如图14，矩形ABCD中，AB = 6cm，AD = 3cm，点E在边DC上，且DE = 4cm动点P从点A开始沿着ABCE的路线以2cm/s的速度移动，动点Q从点A开始沿着AE以1cm/s的速度移动，当点Q移动到点E时，点P停止移动若点P、Q同时从点A同时出发，设点Q移动时间为t (s)，P、Q两点运动路线与线段PQ围成的图形面积为S (cm2)，求S与t的函数关系式图 1424解：在RtADE中，1分当03时，如图1 2分过点Q作QMAB于M，连接QPABCD， QAM=DEA，又AMQ=D=90， AQMEAD，3分4分当3时，如图2 5分方法1 ：在RtADE 中，过点Q作QMAB于M， QNBC于N， 连接QBABCD， QAM=DEA， 又AMQ=ADE=90， AQMEAD， ，6分，QN=7分+（）8分方法2 ：过点Q作QMAB于M， QNBC于N，连接QBABBC， QAM=DEA， 又AMQ=ADE=90，AQMEAD， ，6分，QN=7分+（）8分当5时 方法1 ：过点Q作QHCD于H 如图3由题意得QHAD，EHQEDA，10分11分方法2：连接QB、QC，过点Q分别作QHDC于H，QMAB于M，QNBC于N 如图4由题意得QHAD，EHQEDA，10分11分九、大连201024.如图15，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，动点P从点A出发沿AB向点B移动，（点P与点A、B不重合），作PD/BC交AC于点D，在DC上取点E，以DE、DP为邻边作平行四边形PFED，使点F到PD的距离，连接BF，设（1）ABC的面积等于 （2）设PBF的面积为，求与的函数关系，并求的最大值；（3）当BP=BF时，求的值FHPACBED图1524.解：（1）121分（2）作于，分别交于点， 四边形是矩形2分得3分4分5分=6分 ，当时，7分（3）延长交于由（2）知四边形和四边形均为矩形由，得由（2）知，得8分 四边形是平行四边形9分在中，即10分（舍去）11分十、2011大连23如图10，某容器由A、B、C三个长方体组成，其中A、B、C的底面积分别为25cm2、10cm2、5cm2，C的容积是容器容积的（容器各面的厚度忽略不计）现以速度v（单位：cm3/s）均匀地向容器注水，直至注满为止图11是注水全过程中容器的水面高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：s）的函数图象在注水过程中，注满A所用时间为_s，再注满B又用了_s；Ot/sh/cm101812图11求A的高度hA及注水的速度v；求注满容器所需时间及容器的高度图10ABC24如图12，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，2）、（1，0）、（4，0）P是线段OC上的一动点（点P与点O、C不重合），过点P的直线xt与AC相交于点Q设四边形ABPQ关于直线xt的对称的图形与QPC重叠部分的面积为S点B关于直线xt的对称点B的坐标为_；ABCOxy图12求S与t的函数关系式十一、（2012辽宁大连11分）如图，ABC中，C90，AC8cm，BC6cm，点P、Q同时从点C出发，以1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动，当点Q到达点 B时，点P、Q同时停止运动。过点P作AC的垂线l交AB于点R，连接PQ、RQ，并作PQR关于直线l对称的图形，得到PQR。设点Q的运动时间 为t(s)，PQR与PAR重叠部分的面积为S(cm2)。（1）t为何值时，点Q恰好落在AB上？（2）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）S能否为cm2？若能，求出此时的t值，若不能，说明理由。【答案】解：（1）如图，连接QQ，点Q恰好落在AB上时，由AC8，BC6，根据轴对称的性质，得CQ=CP=t，BQ=6t，QQ=2t，QQCA。BQQBCA，即。 解得，。 当时，点Q恰好落在AB上。（2）当时，点Q在PAR内，PQR与PAR重叠部分即PQR。PA=8t，PARCAB，即。PQR与PAR重叠部分的面积。当时，点Q在PAR外，如图，PQR与PAR重叠部分即RDP。设AB与PQ相交于点D，过点D作DHCA于点H。由CP=CQ，C=900得QPC=450，根据轴对称的性质，得QPA=PDH=450。DH=PH。设DH=PH=x，则HA=8tx。PHBC，DHABCA，即。综上所述，S与t的函数关系式为。（3）存在。或时，S=。十二、2013辽宁大连，24，11分）如图，一次函数yx4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，P是射线BO上的一个动点（点P不与点B重合），过点P作PCAB，垂足为C，在射线CA上截取CDCP连接PD，设BPt（1）t为何值时，点D恰好与点A重合?（2）设PCD与AOB重叠部分的面积为s，求s与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围OABCDPxy第24题图解：（1）如图1，由yx4知：当x0时，y4；当y0时，x3.OA3，OB4，AB5.PCBAOB90,PBOABO，PCBAOB.，即.PC，BC.当点D与点A重合时，BCCDBA，即=5. t.OABCDPxy第24题图1（2）当0t时（如图1），SPCCD（）2t2.当t4时，（如图2），设PD与x轴相交于点E，作EFCD，垂足为F.由（1）知ADBCCDBA55.EFABOA，EAFBAO，AFEAOB.，即EFAF（FDAD）.CDCP，PCD90，PDCDPC4590DEF.DEF45FDE.FDEF（FDAD）EF（5）.EF4（5）.SPCCDADEFt2(5)4（5）t228t50.OABCDPxy第24题图2EF当4t时（如图3），设PC与x轴相交于点E.则ACABBC5t.同理ECAC（5t）.SACEC（5t）（5t）t.OABCDPxy第24题图3E综上，S十三、2013营口25如图1，为等腰直角三角形，,是边上的一个动点（点与、不重合），以为一边在等腰直角三角形外作正方形连接、. （1）猜想图1中线段、的数量关系及所在直线的位置关系,直接写出结论；将图中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、图3的情形. 图2中交于点，交于点，请你判断中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断. 图1图2图3图4ABDEFH OC（2）将原题中的等腰直角三角形改为直角三角形，,正方形改为矩形，如图4，且，交于点，交于点，连接、，求的值.解:（1） (2分)图2 仍然成立. （3分) 证明：是等腰直角三角形,四边形是正方形即 （4分) 又, (6分)ABDEFH OC图4（2）证明：连接四边形是矩形 又 即, (9分) 又, (10分),在Rt中,在Rt中,=（14分）十四、盘锦2013如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF.如图，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；如图，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；在的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由。 第25题 图 第25题 图（1）证法一：如图四边形ABCD是正方形，AB=BC,ABC=PBA=90又BP=BF PBAFBC 1分PA=FC PAB=FCB 又PA=PE PE=FC 2分PAB+APB= 90 第25题 图FCB+APB= 90 又EPA=90APB+EPA+FPC=180即EPC+PCF=180 EPFC 4分四边形EPCF是平行四边形. 5分证法二：延长CF与AP相交于点G，如图 四边形ABCD是正方形，AB=BC, ABC=PBA=90 又BP=BF PBAFCB 1分 第26题 图 PAB=FCB,AP=CF又PA=PE PE=FC 2分 PAB+APB=90FCB+APB=90 PGC=90PGC=APE=90EPFC 4分四边形EPCF是平行四边形. 5分（2）证法一：结论：四边形EPCF是平行四边形，如图 6分 四边形ABCD是正方形，AB=BC, ABC=CBF=90 又BP=BF PBAFBC 7分PA=FC PAB=FCB 又PA=PE PE=FC 8分FCB+BFC= 90EPB+APB= 90 第25题图BPE=FCB EPFC 9分四边形EPCF是平行四边形. 10分证法二：结论：四边形EPCF是平行四边形 6分延长AP与FC相交于点G如图 四边形ABCD是正方形，AB=BC, ABC=CBF=90 又BP=BF PBAFBC 7分 PA=FC PAB=FCB 又PA=PE PE=FC 8分FCB+BFC=90PAB+BFC=90PGF=90PGF=APE=90EPFC 9分 第25题图四边形EPCF是平行四边形. 10分(3)解：设BP=x，则PC=3-x 平行四边形PEFC的面积为S, 11分 S=PCBF=PCPB= 12分 当时, = 13分当BP=时，四边形PCFE的面积最大，最大值为. 14分十五、锦州2013（12分）（2013锦州）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AMEF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；（3）如图2，将RtABC沿斜边AC翻折得到RtADC，E，F分别是BC，CD边上的点，EAF=BAD，连接EF，过点A作AMEF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系并证明你的猜想考点：四边形综合题分析：（1）延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，根据四边形ABCD是正方形求出AD=AB，D=DAB=ABE=ABQ=90，证ADFABQ，推出AQ=AF，QAB=DAF，求出EAQ=F，证EAQEAF，推出EF=BQ即可；（2）根据EAQEAF，EF=BQ得出BQAB=FEAM，求出即可；（3）延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，根据折叠和已知得出AD=AB，D=DAB=ABE=90，BAC=DAC=BAD，证ADFABQ，推出AQ=AF，QAB=DAF，求出EAQ=FAE，证EAQEAF，推出EF=BQ即可解答：（1）EF=BE+DF，证明：如答图1，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，四边形ABCD是正方形，AD=AB，D=DAB=ABE=ABQ=90，在ADF和ABQ中，ADFABQ（SAS），AQ=AF，QAB=DAF，DAB=90，FAE=45，DAF+BAE=45，BAE+BAQ=45，即EAQ=FAE，在EAQ和EAF中EAQEAF，EF=BQ=BE+EQ=BE+DF（2）解：AM=AB，理由是：EAQEAF，EF=BQ，BQAB=FEAM，AM=AB（3）AM=AB，证明：如答图2，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，折叠后B和D重合，AD=AB，D=DAB=ABE=90，BAC=DAC=BAD，在ADF和ABQ中，ADFABQ（SAS），AQ=AF，QAB=DAF，FAE=BAD，DAF+BAE=BAE+BAQ=EAQ=BAD，即EAQ=FAE，在EAQ和EAF中EAQEAF，EF=BQ，EAQEAF，EF=BQ，BQAB=FEAM，AM=AB十六、抚顺201325.在RtABC中，ACB=90，A=30，点D是AB的中点，DEBC,垂足为点E，连接CD.（1）如图1，DE与BC的数量关系是 ；（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系.图2图1图3在RtABC中，ACB=90，A=30，点D是AB的中点，DEBC，垂足为点E，连接CD（1）如图1，DE与BC的数量关系是DE=BC；（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形分析：（1）由ACB=90，A=30得到B=60，根据直角三角形斜边上中线性质得到DB=DC，则可判断DCB为等边三角形，由于DEBC，DE=BC；（2）根据旋转的性质得到PDF=60，DP=DF，易得CDP=BDF，则可根据“SAS”可判断DCPDBF，则CP=BF，利用CP=BCBP，DE=BC可得到BF+BP=DE；（3）与（2）的证明方法一样得到DCPDBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，则BFBP=BC，所以BFBP=DE解答：解：（1）ACB=90，A=30，B=60，点D是AB的中点，DB=DC，DCB为等边三角形，DEBC，DE=BC；（2）BF+BP=DE理由如下：线段DP绕点D逆时针旋转60，得到线段DF，PDF=60，DP=DF，而CDB=60，CDBPDB=PDFPDB，CDP=BDF，在DCP和DBF中，DCPDBF（SAS），CP=BF，而CP=BCBP，BF+BP=BC，DE=BC，BC=DE，BF+BP=DE；（3）如图，与（2）一样可证明DCPDBF，CP=BF，而CP=BC+BP，BFBP=BC，BFBP=DE故答案为DE=BC十七、2012锦州25.已知：在ABC中，BAC=90,AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）.以AD为边作正方形ADEF，连接CF.(1)如图1，当点D在线段BC上时，求证： BDCF. CF=BC-CD.(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；(3)如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系.若连接正方形对角线AE、DF,交点为O,连接OC,探究AOC的形状，并说明理由.第25题图图2图3图1（1）BAC=90，AB=ACABC=ACB=45四边形ADEF是正方形AD=AF，DAF=90BAD=BAC-DAC CAF=DAF-DACBAD=CAFBADCAF 3分ACF=ABD=45，ACF+ACB=90 BDCF 4分 由BADCAF可得BD= CFBD=BC-CDCF=BC-CD 6分 （2）CF=BC+CD 7分 （3）CF=CD-BC 8分BAC=90，AB=ACABC=ACB=45则ABD=180-45=135四边形ADEF是正方形AD=AF，DAF=90BAD=DAF -BAF CAF=BAC -BAFBAD=CAFBADCAF 9分ACF=ABD=180-45=135FCD=ACF -ACB =90则FCD为直角三角形正方形ADEF中，O为DF中点OC=DF 10分在正方形ADEF中，OA=AE ，AE=DFOC= OA 11分AOC是等腰三角形 12分十八、2011营口25. 已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PEPD总成立(1)如图(1)，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)；(2)如图(2)，当点P运动到CA的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；(3)如图(3)，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图(3)画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)(1)(2)(3)(1)PEPB，PEPB.(2分)(2) (1)中的结论成立四边形ABCD是正方形，AC为对角线，CDCB，ACDACB.(3分)又PCPC，PDCPBC.(4分)PDPB.(5分)PEPD，PEPB.(6分)法一：由，得PDCPBC.PDCPBC. (7分)又PEPD，PDEPED.(8分)PDEPDCPECPBC180.EPB36