高一数学-2014-2015学年南京市高一下期末数学试卷.doc

2014-2015学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1不等式0的解集为2数列an是等比数列，若a3=1，a5=4，则a7的值为3在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a2+b2ab=c2，则角C的大小为4点P（3，2）到直线l：3x+4y26=0的距离为5函数y=x+ （x1）的最小值为6过点P（，1），倾斜角为120的直线方程为7若等差数列an的前n项和为Sn，a8=2a3，则的值是8若三条直线ax+2y+8=0，4x+3y10=0和2xy=0相交于一点，则实数a的值为9下列命题：如果一条直线平行于平面内的一条直线，那么这条直线与这个平面平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行；如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直；如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直其中正确的命题的序号为10已知经过A（1，a），B（a，8）两点的直线与直线2xy+1=0平行，则实数a的值为11在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c若bcosC+ccosB=csinA，则的最大值为12若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm的半圆，则这个圆锥的体积为cm313已知x0，y0，且xy=x+2y，则x+y的最小值为14已知an=3n，bn=3n，nN*，对于每一个kN*，在ak与ak+1之间插入bk个3得到一个数列cn设Tn是数列cn的前n项和，则所有满足Tm=3cm+1的正整数m的值为二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）（2015春南京期末）已知直线l：x2y+2m2=0（1）求过点（2，3）且与直线l垂直的直线的方程；（2）若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，求实数m的取值范围16（14分）（2015春南京期末）一副直角三角板（如图1）拼接，将BCD折起，得到三棱锥ABCD（如图2）（1）若E，F分别为AB，BC的中点，求证：EF平面ACD；（2）若平面ABC平面BCD，求证：平面ABD平面ACD17（14分）（2015春南京期末）如图，在平面四边形ABCD中，AD=，CD=，ABD=60，ADB=75，ADC=120（1）求BD的长；（2）求ABC的面积18（16分）（2015春南京期末）如图，用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间堆放谷物已知木板的长BC紧贴地面且为4米，宽BE为2米，墙角的两堵墙面所成二面角为120，且均与地面垂直，如何放置木板才能使这个空间的体积最大，最大体积是多少？19（16分）（2015春南京期末）已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，满足S3=a4+4，且a2，a6，a18成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和Tn；（3）设cn=，若cn为等差数列，求实数t的值20（16分）（2015春南京期末）设等比数列an的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项数列bn的前n项和Sn=n2，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）若不等式bnSn+6对任意nN*恒成立，求实数的取值范围；（3）若cn=从数列cn中取出若干项（奇数项与偶数项均不少于两项），将取出的项按照某一顺序排列后构成等差数列当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列2014-2015学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1不等式0的解集为（1，0）考点： 其他不等式的解法 专题： 不等式的解法及应用分析： 不等式0，即 x（x+1）0，由此求得它的解集解答： 解：不等式0，即 x（x+1）0，求得1x0，故答案为：（1，0）点评： 本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题2数列an是等比数列，若a3=1，a5=4，则a7的值为16考点： 等比数列的性质；等比数列的通项公式 专题： 等差数列与等比数列分析： 根据等比数列的性质进行求解即可解答： 解：在等比数列中，a3a7=（a5）2，即a7=16，故答案为：16点评： 本题主要考查等比数列性质的应用，利用等比中项的性质是解决本题的关键比较基础3在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a2+b2ab=c2，则角C的大小为考点： 余弦定理 专题： 解三角形分析： 利用余弦定理即可得出解答： 解：由余弦定理可得：cosC=，C（0，），C=故答案为：点评： 本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4点P（3，2）到直线l：3x+4y26=0的距离为5考点： 点到直线的距离公式 专题： 直线与圆分析： 把已知条件代入点到直线的距离公式，化简可得解答： 解：由题意结合点到直线的距离公式可得：点P（3，2）到直线l：3x+4y26=0的距离d=5故答案为：5点评： 本题考查点到直线的距离公式，属基础题5函数y=x+ （x1）的最小值为7考点： 基本不等式 专题： 不等式的解法及应用分析： 变形利用基本不等式的性质即可得出解答： 解：x1，x+10函数y=x+=（x+1）+11=7，当且仅当x=3时取等号故答案为：7点评： 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6过点P（，1），倾斜角为120的直线方程为x+y+2=0考点： 直线的点斜式方程 专题： 直线与圆分析： 由直线的倾斜角求出斜率，用点斜式写出直线方程即可解答： 解：直线l的倾斜角为120，直线的斜率为k=tan120=，又直线l过点（3，1），直线l的方程为：y1=（x+3），即x+y+2=0，故答案为：x+y+2=0点评： 本题考查了求直线方程的问题，由直线的倾斜角可以得斜率，由斜率与一点可以写出直线方程，是基础题7若等差数列an的前n项和为Sn，a8=2a3，则的值是6考点： 等差数列的性质 专题： 计算题；等差数列与等比数列分析： 由a8=2a3，得出a1=3d，再利用等差数列的前n项和的公式，即可得出结论解答： 解：由an为等差数列，且a8=2a3，得到a1+7d=2（a1+2d），a1=3d，=6，故答案为：6点评： 本题考查学生掌握等差数列的通项公式及前n项和的公式，是一道中档题8若三条直线ax+2y+8=0，4x+3y10=0和2xy=0相交于一点，则实数a的值为12考点： 两条直线的交点坐标 专题： 直线与圆分析： 联立4x+3y10=0，2xy=0，解得（x，y），由于三条直线ax+2y+8=0，4x+3y10=0，2xy=0相交于一点，把点代入ax+2y+8=0，即可解得a解答： 解：联立4x+3y10=0，2xy=0，得，解得，三条直线ax+2y+8=0，4x+3y10=0，2xy=0相交于一点，把点（1，2）代入ax+2y+8=0，可得a+4+8=0，解得a=12故答案为：12点评： 本题考查了直线的交点、方程组的解法，属于基础题9下列命题：如果一条直线平行于平面内的一条直线，那么这条直线与这个平面平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行；如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直；如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直其中正确的命题的序号为考点： 空间中直线与平面之间的位置关系 专题： 综合题；空间位置关系与距离分析： 对四个选项分别进行判断，即可得出结论解答： 解：如果平面外一条直线平行于平面内的一条直线，那么这条直线与这个平面平行，故不正确；垂直于同一条直线的两个平面互相平行，根据面面平行的判定定理可知正确；平面内无数条直线均为平行线时，不能得出直线与这个平面垂直，故不正确；如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直，利用平面与平面垂直度判定定理可知正确故答案为：点评： 本题主要考查了直线与平面平行的性质，直线与平面垂直的判定和平面与平面垂直的判定考查了基础知识的综合运用10已知经过A（1，a），B（a，8）两点的直线与直线2xy+1=0平行，则实数a的值为2考点： 直线的一般式方程与直线的平行关系 专题： 直线与圆分析： 由题设条件知，两直线平行故两直线的斜率相等，由此方程求a的值即可解答： 解：直线2xy+1=0的斜率为1，由平行直线斜率相等得：2=，a=2故答案为：2点评： 本题考查两直线平行的条件，由斜率相等建立方程求参数，属于直线中的基本题型11在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c若bcosC+ccosB=csinA，则的最大值为考点： 正弦定理 专题： 解三角形分析： 根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinC的值进而求得C，利用正弦定理将所求转化为sin（A+）即可求其最大值解答： 解：bcosC+ccosB=csinA，由正弦定理可得：sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sinCsinA，sinA0，sinC=1，C=，利用正弦定理可得：=sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+），则=sin（A+）的最大值为故答案为：点评： 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查12若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm的半圆，则这个圆锥的体积为cm3考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 专题： 空间位置关系与距离分析： 利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积解答： 解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为2cm的半圆，所以圆锥的底面周长为：2cm，底面半径为：1cm，圆锥的高为：cm；圆锥的体积：V=12=故答案为：点评： 本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型13已知x0，y0，且xy=x+2y，则x+y的最小值为3+2考点： 基本不等式 专题： 不等式的解法及应用分析： x0，y0，且xy=x+2y，可得y=0，解得x2变形x+y=x+=（x2）+3，利用基本不等式的性质即可得出解答： 解：x0，y0，且xy=x+2y，y=0，解得x2则x+y=x+=（x2）+3+3=3+2，当且仅当x=2+，y=1时取等号x+y的最小值为3+2故答案为：3+2点评： 本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力与计算能力，属于中档题14已知an=3n，bn=3n，nN*，对于每一个kN*，在ak与ak+1之间插入bk个3得到一个数列cn设Tn是数列cn的前n项和，则所有满足Tm=3cm+1的正整数m的值为3考点： 数列递推式 专题： 等差数列与等比数列分析： 由题意确定数列cn的项，然后分类求解满足Tm=3cm+1的正整数m的值解答： 解：an=3n，bn=3n，由题意知，c1=a1=3，c2=c3=c4=3，c5=a2=9，c6=c7=c8=c9=c10=c11=3，c12=a3=27，则当m=1时，T1=33c2=9，不合题意；当m=2时，T2=63c3=9，不合题意；当m=3时，T3=9=3c4=9，适合题意当m4时，若cm+1=3，则Tm123cm+1，不适合题意，从而cm+1必是数列an中的某一项ak+1，则Tm=a1+3+3+3+a2+3+3+3+3+3+3+a3+3+3+a4+3+a5+3+a6+ak1+3+ak，=（3+32+33+3k）+31+2+（k1）=，又3cm+1=3ak+1=33k+1，=33k+1，即53k=k2k1，上式显然无解即当m4时，Tm3cm+1，综上知，满足题意的正整数m的值为3故答案为：3点评： 本题考查等差、等比数列的前n项和公式，考查数列的分组求和，同时考查逻辑推理能力，关键是对题意的理解，属有一定难度题目二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）（2015春南京期末）已知直线l：x2y+2m2=0（1）求过点（2，3）且与直线l垂直的直线的方程；（2）若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，求实数m的取值范围考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的截距式方程 专题： 不等式的解法及应用；直线与圆分析： （1）由直线l：x2y+2m2=0的斜率为，可得所求直线的斜率为2，代入点斜式方程，可得答案；（2）直线l与两坐标轴的交点分别为（2m+2，0），（0，m1），则所围成的三角形的面积为|2m+2|m1|，根据直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，构造不等式，解得答案解答： 解：（1）直线l：x2y+2m2=0的斜率为，与直线l垂直的直线的斜率为2，（2分）因为点（2，3）在该直线上，所以所求直线方程为y3=2（x2），故所求的直线方程为2x+y7=0 （6分）（2）直线l与两坐标轴的交点分别为（2m+2，0），（0，m1），（8分）则所围成的三角形的面积为|2m+2|m1|（10分）由题意可知|2m+2|m1|4，化简得（m1）24，（12分）解得m3或m1，所以实数m的取值范围是（，1）（3，+） （14分）点评： 本题考查的知识点是直线的点斜式方程，直线与直线的交点，解不等式，是直线与不等式的综合应用，难度中档16（14分）（2015春南京期末）一副直角三角板（如图1）拼接，将BCD折起，得到三棱锥ABCD（如图2）（1）若E，F分别为AB，BC的中点，求证：EF平面ACD；（2）若平面ABC平面BCD，求证：平面ABD平面ACD考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 专题： 证明题；空间位置关系与距离分析： （1）利用三角形中位线的性质，可得EFAC，即可证明EF平面ACD；（2）若平面ABC平面BCD，可得CD平面ABC，CDAB，因为ABAC，所以AB平面ACD，即可证明：平面ABD平面ACD解答： 证明：（1）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EFAC （2分）又EF平面ACD，AC平面ACD，所以EF平面ACD （6分）（2）因为平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCD=BC，CD平面BCD，CDBC，所以CD平面ABC （8分）因为AB平面ABC，所以CDAB （10分）又因为ABAC，ACCD=C，AC平面ACD，CD平面ACD，所以AB平面ACD （12分）又AB平面ABD，所以平面ABD平面ACD （14分）点评： 本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题17（14分）（2015春南京期末）如图，在平面四边形ABCD中，AD=，CD=，ABD=60，ADB=75，ADC=120（1）求BD的长；（2）求ABC的面积考点： 解三角形 专题： 应用题；解三角形分析： （1）求出，ABD=60，BAD=1806075=45，利用正弦定理，求BD的长；（2）利用ABD的面积+BCD的面积ACD的面积，即可求ABC的面积解答： 解：（1）在ABD中，AD=，ABD=60，BAD=1806075=45，由正弦定理得 =，所以BD=2（4分）（2）在ABD中，AD=，BD=2，ADB=75，所以ABD的面积S1=ADBDsinADB=（8分）又ACD的面积S2=ADDCsinADC=，（10分）BCD的面积S3=1（12分）所以ABC的面积S=S1+S3S2=（14分）点评： 本题考查正弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题18（16分）（2015春南京期末）如图，用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间堆放谷物已知木板的长BC紧贴地面且为4米，宽BE为2米，墙角的两堵墙面所成二面角为120，且均与地面垂直，如何放置木板才能使这个空间的体积最大，最大体积是多少？考点： 基本不等式在最值问题中的应用 专题： 不等式的解法及应用分析： 方法一、设AB=x米，AC=y米，所围成的直三棱柱空间的体积为V立方米，由体积公式可得V=xysin2=xy再由余弦定理，结合重要不等式，可得xy的最大值，进而得到体积的最大值；方法二、设ABC=，所围成的直三棱柱空间的体积为V立方米运用正弦定理，以及体积公式，运用三角函数的化简，结合正弦函数的值域，即可得到最大值解答： 解法一：设AB=x米，AC=y米，所围成的直三棱柱空间的体积为V立方米，所以V=xysin2=xy 由题意得42=x2+y22xycos，即x2+y2+xy=16，因为x2+y22xy，所以162xy+xy，即xy，当且仅当x=y=时，不等式取等号所以V= 答：当AB=AC=米时，所围成的直三棱柱空间最大，最大体积为立方米解法二：设ABC=，所围成的直三棱柱空间的体积为V立方米由正弦定理得=，则AC=sin，AB=sin（），所以V=ABACsinBE=sinsin（）2=sinsin（）=sin（cossin）=sin2（1cos2）=sin（2+） 因为0，即 2+，所以当且仅当2+=，即=时，V取得最大值 答：当ABC=时，所围成的直三棱柱空间最大，最大体积为立方米点评： 本题考查基本不等式在最值问题中的运用，考查运算能力，属于中档题19（16分）（2015春南京期末）已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，满足S3=a4+4，且a2，a6，a18成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和Tn；（3）设cn=，若cn为等差数列，求实数t的值考点： 等差关系的确定；数列的求和 专题： 综合题；等差数列与等比数列分析： （1）求出首项与公差，可求求数列an的通项公式；（2）设bn=，利用错位相减法求数列bn的前n项和Tn；（3）设cn=，若cn为等差数列，则2c2=c1+c3，即可求实数t的值解答： 解：（1）设等差数列an的公差为d（d0），由S3=a4+4，得3a1+3d=a1+3d+4，即a1=2又a2，a6，a18成等比数列，（a1+5d）2=（a1+d）（a1+17d），整理得：d=2，an=2+2（n1）=2n；（2）bn=，Tn=1+，Tn=+两式相减，整理可得Tn=4；（3）Sn=2n+=n2+ncn=，若cn为等差数列，则2c2=c1+c3，即2=+，t=点评： 本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，考查学生的计算能力，属于中档题20（16分）（2015春南京期末）设等比数列an的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项数列bn的前n项和Sn=n2，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）若不等式bnSn+6对任意nN*恒成立，求实数的取值范围；（3）若cn=从数列cn中取出若干项（奇数项与偶数项均不少于两项），将取出的项按照某一顺序排列后构成等差数列当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列考点： 数列的应用 专题： 点列、递归数列与数学归纳法分析： （1）通过23a3=8a1+a5，进而计算即得结论；（2）通过Sn=n2可知b1=S1=1，bn