大学物理真空中的静电场总结

1 / 65 大学物理真空中的静电场总结 第七章、静 一、两个基本物理量 1、电场强度 电 场 、 试验电荷在电场中不同点所受电场力的大小、方向都可能不同；而在 同一点，电场力的大小与试验电荷电量成正比，若试验电荷异号，则所 受电场力的方向相反。我们就用 F q F 来表示电场中某点的电场强度，用 q 2 / 65 E 表示，即 E? 对电场强度的理解： 反映电场本身性质，与所放电荷无关。 E 的大小为单位电荷在该点所受电场力 ,E的方向为正电荷所受电场力 的方向。 单位为 N/C或 V/m 电场中空间各点场强的大小和方向都相同称为匀强电场 、点电荷的电场强度 以点电荷 Q 所在处为原点 O,任取一点 P(场点 ),点 O 到点 P的位矢为 r,把试 验电荷 q 放在 P点 ,有库仑定律可知 ,所受电场力为： 3 / 65 E? F1Q ?2 q4?0r 常见电场公式 无限大均匀带电板附近电场： E? ? 20 2、电势 、电场中给定的电势能的大小除与电场本身的性质有关外，还与检验电荷 4 / 65 有关，而比值 Epa0 则与电荷的大小和正负无关，它反映了静电场中某给 定点的性质。为此我们用一个物理量 -电势来反映这个性质。即 V? 、对电势的几点说明 单位为伏特 V Ep E 通常选取无穷远处或大地为电势零点，则有 : V? p ?E?dr p ? 5 / 65 即 P点的电势等于场强沿任意路径从 P点到无穷远处的线积分。 常见电势公式 点电荷电势分布： V? 半径为 R 的均匀带点球面电势分布： V? q4?0r q4?0Rq4?0r ?0?r?R? V? ?r?R? 二、四定理 1、场强叠加定理 点电荷系所激发的电场中某点处的电场强度等于各个点电6 / 65 荷单独存在时对 该点的电场强度的矢量和。即 E?E1?E2?.?En 2、电势叠加定理 V1 、 V2 .Vn 分别为各点电荷单独存在时在 P 点的 电势点电荷系 的电场中，某点的电势等于各点电荷单独 存在时在该点电势的代数和。 3、高斯定理 在真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电通量等于该闭合曲面包围的所 有电荷 的代数和除以说明： 高斯定理是反映静电场性质的一条基本定理。 通过任意闭合曲面的电通量只取决于它所包围的电荷的7 / 65 代数和。 高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面。 ? 三、静电平衡 1、静电平衡 当一带电体系中的电荷静止不动，从而 电场分布不随时间变化时，带电 体系即达到了静电平衡。 说明： 导体的特点是体内存在自由电荷。在电场作用下，自由电荷可以移动， 从而改变电荷分布；而电荷分布的改变又影响到电场分布。 均匀导体的静电平衡条件：体内场强处处为零。 导体是个等势体，导体表面是个等势面。 导体外靠近其表面的地方场强处处与表面垂直。 8 / 65 2、静电平衡时导体上的电荷分布 在达到静电平衡时，导体内部处处没有净电荷，电荷只分布在导体的表 面。 说明： 在静电平衡状态下，导体表面之外附近空间的场强 E与该处导体表面 的面电荷密度 ?的关系为： E? ? 表面曲率的影响表面曲率较大的地方， ?较 大；曲率较小的地方， ?较小 3、导体壳 腔内无带电体 当导体壳内没有其他带电体时，在静电平衡下，导体壳的内9 / 65 表面上处处 没有电荷，电荷只能分布在外表面；空腔内没有电场 腔内有带电体 当导体壳腔内有其他带电体时，在静电平衡状态下，导体壳的内表面所 带电荷与腔内电荷的代数和为 0 静电屏蔽 封闭导体壳内部的电场不受外电场的影响； 接地封闭导体壳外部的场不受壳内电荷的影响。 四、电通量、电容及电场中的能量计算 1、电通量 取电场中任一面元 ds，通过此面元的电场线条数即定义为通过这一面元的电 10 / 65 通量 d? 通过任意曲面的电通量为： ?e?d?e?E?ds s 对封闭曲面来说， ?e?E?ds s 并且，对于封闭曲面，取其外法线矢量为正方向，即穿入为负、穿出为正。 2、电容 使导体每升高单位电势所需要的电量 单位：法拉 F、 ?F、pF 电容 C 是与导体的形状、大小有关的一个常数，与 q、 V无关 3、电容器 两个带有等量异号电荷的导体所组成的系统。 说明： 11 / 65 电容器的电容与两导体的尺寸、形状、相对位置有关 通常在电容器两金属极板间夹有一层电介质，也可以就是空气或真空。 电介质会影响电容器的电容。 平行板电容器 C?0 S d 球形电容器 C?4、静电场中的能量 ?q?1?1? ?4?RARB? 电容器的电能为： We? 12 CU 2 12 / 65 1 能量密度 (单位体积内的电场能量 )为 :We? 2 E 2 五、静电场中的电介质 第七章、静 电 场 一、 两个基本物理量 1、电场强度 、 试验电荷在电场中不同点所受电场力的大小、方向都可能不同；而在 同一点，电场力的大小与试验电荷电量成正比，若试验电荷异号，则所 13 / 65 受电场 力的方向相反。我们就用 F q F 来表示电场中某点的电场强度，用 q E 表示，即 E? 对电场强度的理解： 反映电场本身性质，与所放电 荷无关。 E 的大小为单位电荷在该点所受电场力 ,E的方向为正电荷所受电场力 的方向。 单位为 N/C或 V/m 电场中空间各点场强的大小和方向都相同称为匀强电场 、点电 荷的电场强度 14 / 65 以点电荷 Q 所在处为原点 O,任取一点 P(场点 ),点 O 到点 P的位矢为 r,把试 验电荷 q 放在 P 点 ,有库仑定律可知 ,所受电场力为： E? F1Q? 2q4?0r 常见电场公式 无限大均匀带电板附近电场： E? ? 20 2、电势 、电场中给定的电势能的大小除与电场本身的性质有关15 / 65 外，还与检验电荷 有关，而比值 Epa0 则与电荷的大小和正负无关，它反映 了静电场中某给 定点的性质。为此我们用一个物理量 -电势来反映这个性质。即 V? 、对电势的几点说明 单位为伏特 V 通常选取无穷远处或大地为电势零点，则有 : V? Ep Ep ?E?dr p ? 16 / 65 即 P点的电势等于场强沿任意路径从 P点到无穷远处的线积分。 常见电势公式 点电荷电势分布： V? 半径为 R 的均匀带点球面电势分布： V? q4?0Rq4?0r q4?0r ?0?r?R? ?r?R? V? 二、四定理 1、场强叠加定理 点电荷系所激发的电场中某点处的电场强度等于各个点电荷单独存在时对 该点的电场强度的矢量和。即 17 / 65 E?E1?E2?.?En 2、电势叠加定理 V1 、 V2 .Vn 分别为各点电荷单独存在时在 P 点的电势点电荷系 的电场中，某点的电势等于各点电荷单独 存在时在该点电势的代数和。 3、高斯定理 在真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电通量等于该闭合曲面包围的所 有电荷的代数和除以 ?0 说明： 高斯定理是反映 (来自 : 海达 范文 网 :大学物理真空中的静电场总结 )静电场性质的一条基本定理。 18 / 65 通过任意闭合曲面的电通量只取决于它所包围的电荷的代数和。 高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面。 三、静电平衡 1、静电平衡 当一带电体系中的电荷静止不动，从而电场分布不随时间变化时，带电 体系即达到了静电平衡。 说明： 导体的特点是体内存在自由电荷。在电场作用下，自由电荷可以移动， 从而改变电荷分布；而电荷分布的改变又影响到电场分布。 均匀导体的静电平衡条件：体内场强处处为零。 导体是个等势体，导体表面是个等势面。 导体外靠近其表面的地方场强处处与表面垂直。 2、静电平衡时导体上的电荷分布 在达到静电平衡时，导体内部处处没有净电荷，电荷只分布19 / 65 在导体的表 面。 说明： 在静电平衡状态下，导体表面之外附近空间的场强 E与该处导体表面 的面电荷密度 ?的关系为： E? ? 表面曲率的影响表面曲率较大的地方， ?较 大；曲率较小的地方， ?较小 3、导体壳 腔内无带电体 当导体壳内没有其他带电体时，在静电平衡下，导体壳的内表面上处处 没有电荷，电荷只能分布在外表面；空腔内没有电场 腔内有带电体 当导体壳腔内有其他带电体时，在静电平衡状态下，导体壳的内表面所 带电荷与腔内电荷的代数和为 0 静电屏蔽 20 / 65 封闭导体壳内部的电场不受外电场的影响； 接地封闭导体壳外部的场不受壳内电荷的影响。 四、电通量、电容及电场中的能量计算 1、电通量 取电场中任一面元 ds，通过此面元的电场线条数即定义为通过这一面元的电 通量 d? 通过任意曲面的电通量为： ?e?d?e?E?ds s 对封闭曲 面来说， ?e?E?ds s 并且，对于封闭曲面，取其外法线矢量为正方向，即穿入为负、穿出为正。 2、电容 21 / 65 使导体每升高单位电势所需要的电量 单位：法拉 F、 ?F、 pF 电容 C 是与导体的形状、大小有关的一个常数，与 q、 V无关 3、电容器 两个带有等量异号电荷的导体所组成的系统。 说明： 电容器的电容与两导体的尺寸、形状、相对位置有关 通常在电容器两金属极板间夹有一层电介质，也可以就是空气或真空。 电介质会影响电容器的电容。 平行板电容器 C?0 S d 球形电容器 C?4、静电场中的能量 22 / 65 ?q?1?1? ?4?RARB? 12 电容器的电能为： We?CU 2 1 能量密度 (单位体积内的电场能量 )为 :We? 2 E 2 五、静电场中的电介质 电介质即绝缘体。电介质内没有可以自由移动的电荷。在电场作用下，电介质中的电荷只能在分子范围内移动 1、电介23 / 65 质的极化 在电场中，电介质表面上出现电荷分布，由于这些电荷仍束缚在每个分 子中，故称之为束缚电荷或极化电荷。 无极分子：分子正负电荷中心重合； 有极分子：分子正负电荷中心不重合。 2、极化强度矢量 电偶极子排列的有序程度反映了介质被极化的程度，排列得越有序说明被 极化得越厉害。 量度了电介质极化状态 单位： C/m 3、电解质极化规律 对于大多数各向同性介质，有： P?0E 其中 ?为极化率，与电介 质的种类有关 4、有电介质时的高斯定理 定义 ?r?1?为相对电容率， ?r?0 为电容率，定义24 / 65 D?E?r?0E为 电位移矢量，有： D?ds?q s s 2 六、应用 1、尖端放电：导体尖端附近的电场特别强，使空气分子电离，产生放电现 象。 2、负离子发生器 3、静电喷药 4、静电除尘 5、静电复印 6、压电晶体振荡器 7、电声换能器 第九章 真空中的静电场 一 选择题 25 / 65 B 1 图中所示为一沿 x轴放置的 “ 无限长 ” 分段均匀带电直线，电荷线 ?E密度分别为 ?(x 0)和 ? (x 0)，则 Oxy坐标平面上点 (0， a)处的场强为 ? (A) 0 (B) i 2?0a ?i?j? (C) i (D) 4?0a4?0a 【提示】：左侧与右侧半无限长带电直线在 (0， a)处产生的场强大小 E、 E大小为： E?E? 26 / 65 矢量叠加后，合场强大小为： ? ，方向如图。 E 合 ? 2?0a B 2 半径为 R的 “ 无限长 ” 均匀带电圆柱体的静电场中各点的电场强度的大小 E与距轴线的距离 r的关系曲线为： 【提示】：由场分布的轴对称性，作闭合圆柱面为高斯面。 据 Guass 定理： ?iE?dS=? S 27 / 65 qi ?0 ?r2L r?R时，有： E?2?rL=，即： E=?r 2?0?0 ?R2L?R2 r?R时，有： E?2?rL=，即： E= ?02?0r C 3 如图所示，一个电荷为 q的点电荷位于立方体的 A 角上，则通过侧面 abcd 的电场强度通量等于： 28 / 65 qq (A) (B) 6?012?0 (C) qq (D) 24?048?0 【提示】：添加 7 个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使 A 处于大立方体的中心。则大立 方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。由 Gauss 定理知，通过该高斯面的电通 量为 q ?0 。再据对称性可知，通过侧面 abcd的电场强度通量等于 29 / 65 q 。 24?0 D 4 在点电荷 +q的电场中，若取图中 P点处为电势零点 ， 则 M点的电势为 qq(A) (B) 4?0a8?0a ?q?q(C) (D) 4?0a8?0a 【提 示】： VM? ? 30 / 65 P M ?aE?dl? q4?0r 2a ?2 ?q8?0a B 5 如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为 R1、带电荷 Q1，外球面半径为 R2、带有电荷 Q2设无穷远处为电势零点，则在内球面之内、距离球心为 r处的P 点的电势 U为： (A) 31 / 65 Q1?Q2Q1Q1Q2 (B) (C) 0 (D) ? 4?0R14?0R24?0R14?0r 【提示】：根据带点球 面在求内外激发电势的规律，以及电势叠加原理即可知结果。 C 6如图所示，在真空中半径分别为 R和 2R的两个同心球面，其上分别均匀地带有电荷 +q和 3q今将一电荷 为 +的带电粒子从内球面处由静止释放，则该粒子到达外球面时的动能为： QqQqQq3Qq (A) (B) (C) (D) 4?0R2?0R8?0R8?0R 32 / 65 【提示】：静电力做功 QUAB?Q(VA?VB)等于动能的增加。 其中： VA? q4?0R ? ?3q?qq?3q?2q ?； VB? 4?R8?0?R4?0?2R4?0?2R8?0R0?2 代上即得结果。 1 如图所示，真空中两个正点电荷 Q，相距 2R若以其中一点电荷所在处 O 点为中心，以 R 为半径作高斯球面 S，则通过该 ? 33 / 65 球面的电场强度通量 Q/?0；若以 r0 表示高斯面外法线方向的单位矢 ? 量，则高斯面上 a、 b 两点的电场强度分别为 0；5Qr0/18?0R2 ? 【提示】：直接由高斯定理和场强叠加原理得到。 2 两个平行的 “ 无限大 ” 均匀带电平面， 其电荷面密 + ? 度分别为 ?和 2?，如图所示，则 A、 B、 C三个区域的电场强度分别为： EA ? 3?3?， EB ?， EC (设方向向右为正 ) 2?02?02?0 34 / 65 A B C 【提示】： A、 B、 C 三个区域的场强，为两 “ 无限大 ” 均匀带电平面在该区域独自产生场强的矢量叠加。 3 真空中电荷分别为 q1 和 q2 的两个点电荷，当它们相距为r 时，该电荷系统 qq 的相互作用电势能 W=12。 (设当两个点电荷相距无穷远时电势能为零 )。 4?0r【提示】：根据电势能的定义，即将 q1和 q2 的两个点电荷从该位置移至无穷远处电场力所做功。 4 AC 为一根长为 2l 的带电细棒，左半部均匀带有负电荷，右半部均匀带有正电荷。电荷线密度分别为 ?和 ?，如图所示。 O点在棒的延长线上，距 A端的距离为 l P点在棒的垂直平分线上，到棒的垂直距离为 l以棒 的中点 B 为电势的零点。则 O点电势 Uo 35 / 65 ?3 ln； P点电势 Up _0_ 4?04 【提示】： 根据对称性及电势叠加原理，易知 P点电势为 0，O 点电势为： ? 2l l 3l?dx?dx ? 4?0x2l4?0x 36 / 65 ?-1 5 一均匀静电场，电场强度 E?400i?600j? Vm ，则点 a(3,2)和点 b(1,0) 之间的电势差 Uab 2103 (点的坐标 x,y以米计 )。 【提示】： Uab? b ? a ?(1,0)(1,0)? E?dl?(400i?600j)?(dxi?dyj)?400dx?600dy 2103 V (3,2) (3,2) 37 / 65 6 真空中有一半径为 R的半圆细环，均匀带电 Q，如图所示。设无穷 远处为电势零点，则圆心 O点处的电势 U Q/?4?0R?，若将一带电量为 q 的点电荷从无穷远处移到圆心 O 点，则电场力做功 A ?qQ/?4?0R?。 【提示】：由电势叠加原理求得 O 点电势，而电场力做的功等于电势能的减少。 1 将一 “ 无限长 ” 带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为 ?，四分之一圆弧 AB 的半径为 R，试求圆心 O 点的场强 【解】：在 O 点建立坐标系如图所示。 半无限长直线 A 在 O点产生的 场强： ?E1? E2?E3? ? ? 38 / 65 ? ?i?j? 4?0R ? ?i?j? 4?0R 半无限长直线 B在 O点产生的场强： 四分之一圆弧段在 O 点产生的场强： ? ?i?j? 4?0R 39 / 65 ? 由场强叠加原理， O 点合场强为： E?E1?E2?E3? ? ?i?j? 4?0R 2 真空中一立方体形的高斯面 ,边长 a m，位于图中所示位置已知空间的场强分布为： Ex=bx , Ey=0 , Ez=0 常量 b 1000 N/(C m)试求通过该高斯面的电通量 y 【解】：通过 x a 处平面 1 的电场强度通量 ?1 = -E1 S1= -b a3 40 / 65 通过 x = 2a 处平面 2 的电场强度通量 ?2 = E2 S2 = ?b a3 其它平面的电场强度通量都为零因而通过该高斯面的总电场强度通量为 ?=?1+?2 = ?b a3-b a3 = b a3 =1 N m2/C 3 带电细线弯成半径为 R的半圆形，电荷线密度为 ?=?0sin?，式中 ?0为一常数， ?为半径 R与 x轴所成 的夹角，如图所示试求环心 O 处的电场强度 【解】：在 ?处取电荷元，其电荷为 dq =?dl = ?0Rsin?d? 它在 O点产生的场强为 dE? 在 x、 y轴上的二个分量 41 / 65 ?0sin?d?dq ?2 4?0R4?0R dEx= dEcos? dEy= dEsin? 对各分量分别求和： ?0 sin?cos?d? 0 ?04?0R?0?02 Ey?sin?d?04?0R8?0R Ex? E?Exi?Eyj? 42 / 65 ? ?0? j 8?0R ? 4 如图所示，在电矩为 p 的电偶极子的电场中，将一电荷为q的点电荷从 A点沿半径为 R的圆弧 (圆心与电偶极子中心重合， R电偶极子正负电荷之间距离 )移到 B点，求此过程中电场力所作的功 【解】：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势 式中 r为从电偶极子中心到场点的矢径 于是知： A、 B 两点电势分别为 43 / 65 ? ? U?p?r/?4?0r3? UB?p/?4?0R? ?p?p? 2 UA?p/?4?0R? 2 q 从 A 移到 B电场力作功 (与路径无关 )为 A?q?UA?UB?qp/?2?0R2? 真空中的静电场答案 44 / 65 练习一 一 填空题 1 q2?q3 ?0 2.不一定 3. q6?03? 4. qr4?0R 3 ? 45 / 65 3?2?0 。 EB? ? 2?0 ,EC? 2?0 。 6. 0， R? ?0r 二 计算题 46 / 65 1 解 F0?r? q0q4?or 2 由对称性可知 ? Fy?0 Fx?2F0cos? F ? F x 沿 x轴方向。 不做 2.解： E0?E1?E2 E1 为带正电荷闭合圆环在圆心 o 点的电场强度 E2 为带负电荷空隙在圆心 o 点的电场强度 E1 ?0 47 / 65 Q q E2?2 2 4?oR 4?oR 所以 E?E ?l 2 方向指向空隙 3解 取线元 dl，有： 48 / 65 4 解 作半径 r 的同心球面，由高斯定理： 若 r 若 R1 若 rR2，则： 练习二 一 填空题 1 ?8?10?15J ?5?104V/m 2.有源场 有位场 3.电势降低的方向 4 . 。 二 .计算题 1.解 49 / 65 电场分布：由高斯定理得 当 r?R1 E1?0 当 R2?r?R1 E2? Q4?0r 2 当 r?R2 E3?0 电势分布 由叠加原理 当 r?R1 V1? Q4?0R2 Q4?0R2 ? Q4?0R1 Q4?0r 当 R2?r?R1 V2? 50 / 65 ? 当 r?R2 V3?0 2.解 取同心球面为高斯面得 当 r?R E1? ?V 4?0rQ4?0r R 22 ? Qr4?0R 3 当 r?R E2? 51 / 65 当 r?R V1? ?4? r QrR0 3 ? dr? ?4? R Qr0 2 52 / 65 ? 3Q8?0R ? Qr 23 4?0R 当 r?R VQ2? 4? 0r当 r?R VQR?4?0R 3 解 (1) 设内、外球面所带电荷